คณิตศาสตร์วิศวกรรม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง
ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์
หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
กฎของโลปีตาล
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ
(uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

  1. ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
  2. ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
  3. ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
  4. ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

อินทิกรัล

กฎกำลัง
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต
∫ab f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
∫ab (f − g) dx

วิธีการ

  1. เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
  2. ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
  3. ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
  4. สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
การหาร
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

  1. เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
  2. คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
  3. แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
  4. สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R1/n∠((φ + 360°k)/n)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
dy/dt = ky → y = y0ekt
ครึ่งชีวิต
k = ln 2 / t½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
ถังผสม
dm/dt = r·c − (r/V)·m

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2
det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์
(AB)ij = Σk AikBkj
ค่าเฉพาะ
det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์
xi = det(Ai)/det(A)

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด
|a| = √(ax² + ay² + az²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
ผลคูณจุด
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b
a·b/|b|
งาน
W = F·d
ผลคูณไขว้
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
พื้นที่
สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O
MO = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน
V = |a·(b × c)|

วิธีการ

  1. เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
  2. สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
  3. ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
  4. ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม
P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย
x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน
ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ
68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x
P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง
Φ(z2) − Φ(z1)
เปอร์เซ็นไทล์
x = μ + z·σ

วิธีการ

  1. แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
  3. สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
  4. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง
xyy = L

จงหาลิมิต L = limx→∞ (1 + 1/x)2x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 1/x)2xx → ∞
L =
2.ลิมิตยาก
xyx = 0

จงหาลิมิต L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x²

f(x) = (e−x − 1 + x)/x²x → 0
L =
3.อนุพันธ์ปานกลาง
xyx = 1

ให้ f(x) = ln(2x2 + 5) หา f′(1)

f(x) = ln(2x2 + 5)x = 1
f′(1) =
4.อนุพันธ์ยาก
xyx = −2

เส้นสัมผัสของ f(x) = x2 − 3x ที่ x = −2 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = x2 − 3xx = −2
b =
5.อินทิกรัลปานกลาง
xy1y = x·sin x

จงหาค่าของ I = ∫₀1 x·sin x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀1 x·sin x dx
I =
6.อินทิกรัลยาก
xy−22

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 4 − x² กับแกน x

y = 4 − x²
A =
7.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−11.51.5−1.5−1.5θz

จำนวน z = 2·e−j2.5 มีมุมเป็นเรเดียน หาส่วนจินตภาพของมัน b

r = 2θ = −2.5 rad
b =
8.จำนวนเชิงซ้อนยาก
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

จงแก้ z² + 4z + 13 = 0 รากคือ a ± jb จงหาส่วนจริง a

p = 4q = 13
a =
9.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
tyy(0) = 1y(0.5) = ?

จงแก้ y″ + 4y′ + 4y = 0 โดย y(0) = 1 และ y′(0) = 0 จงหา y(0.5)

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.5) =
10.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
tyy(0) = 1y(0.75) = ?

จงแก้ y″ + 4y′ + 29y = 0 โดย y(0) = 1 และ y′(0) = 0 (ปล่อยจากหยุดนิ่ง) จงหา y(0.75) มุมเป็นเรเดียน

y″ + 4y′ + 29y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.75) =
11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง
A =−1−31−2B =30−65

ให้ C = AB สำหรับเมทริกซ์ที่แสดง หาสมาชิก c21 (แถว 2 หลัก 1)

A = [−1 −3; 1 −2]B = [3 0; −6 5]
c21 =
12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก
A =33−1−6b =2−3

แก้ระบบสมการ 3x + 3y = 2 และ −x − 6y = −3 หา x

3x + 3y = 2−x − 6y = −3
x =
13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง
xyzab

จงหาโพรเจกชันสเกลาร์ compb a ของ a = (3, −5, −3) บน b = (5, 5, −1) คือองค์ประกอบของ a ในทิศของ b

a = (3, −5, −3)b = (5, 5, −1)
compb a =
14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก
xyzab

สำหรับ a = (−6, 0, −1) และ b = (1, −1, −5) จงหาองค์ประกอบ y ซึ่งคือ (a × b)y ของผลคูณไขว้ a × b

a = (−6, 0, −1)b = (1, −1, −5)
(a × b)y =
15.ความน่าจะเป็นปานกลาง
แดง: 5น้ำเงิน: 5

ในถุงมีลูกบอลสีแดง 5 ลูกและสีน้ำเงิน 5 ลูก หยิบสองลูกโดยไม่ใส่ลูกแรกคืน ความน่าจะเป็น P ที่ทั้งสองลูกเป็นสีแดงคือเท่าใด

5 / 5
P =
16.ความน่าจะเป็นยาก
n = 5, p = 0.6: P(X ≤ 1) = ?k012345

ทดสอบชิ้นส่วน 5 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.6 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด

n = 5p = 0.6
P =
17.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
152025303540455055

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 14, 37, 31, 50, 59, 54, 25

n = 7
s =
18.สถิติเชิงพรรณนายาก
z −2−1012

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 170 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 158 คือเท่าใด

μ = 170σ = 10x = 158
P =
19.การแจกแจงปกติปานกลาง
200 mm199.6 mmX + Y?

X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 120 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.3 mm Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 80 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.4 mm จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 199.6 mm ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 199.6 mm
P =
20.การแจกแจงปกติยาก
4 s0X − Y?

เวลาต่อรอบของนักวิ่ง A คือ X และของนักวิ่ง B คือ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ: X มีค่าเฉลี่ย 52 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 s ส่วน Y มีค่าเฉลี่ย 48 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 s จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X มากกว่า Y ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 7.389

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 + 1/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 2·1 = 2

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e2 = 7.389

คำตอบ

L = 7.389
2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.5

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

ใช้ครั้งแรก

(−1·e−x + 1)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

1·e−x/2

แทนค่า x = 0

L = 1·1/2 = 0.5

คำตอบ

L = 0.5
3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1) = 0.5714

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่สำหรับลอการิทึม

f′(x) = 4x/(2x2 + 5)

แทนค่า

f′(1) = 4/7 = 0.5714

คำตอบ

f′(1) = 0.5714
4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −4

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

จุดและความชัน

f(−2) = 10
f′(x) = 2x − 3 → f′(−2) = −7

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 10 − (−7)·(−2) = −4

คำตอบ

b = −4
5.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.3012

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

ปฏิยานุพันธ์

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

ลิมิต

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0.3012

คำตอบ

I = 0.3012
6.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 10.67

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ค่าศูนย์

4 − x² = 0 → x = ±2

อินทิเกรต

A = [4x − x³/3]−22 = 5.333 − (−5.333) = 10.67

คำตอบ

A = 10.67
7.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: b = −1.197

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

สูตรของออยเลอร์

z = 2·(cos −2.5 + j sin −2.5)

องค์ประกอบ (เรเดียน)

a = 2·cos −2.5 = −1.602
b = 2·sin −2.5 = −1.197
b = −1.197

คำตอบ

b = −1.197
8.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: a = −2

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

ตัวจำแนก

p² − 4q = 16 − 52 = −36 < 0

สูตรกำลังสอง

z = (−4 ± j√36)/2 = −2 + j3, −2 − j3

คำตอบ

a = −2

คำตอบ

a = −2
9.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.5) = 0.7358

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากซ้ำ

(r + 2)² = 0 → r = −2

ค่าคงที่

A = y(0) = 1
y′(0) = B − 2A → B = 0 + 2 = 2

คำนวณค่า

y(0.5) = (1 + 2·0.5)·e−1 = 0.7358

คำตอบ

y(0.5) = 0.7358
10.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.75) = −0.2341

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากเชิงซ้อน

r = −2 ± 5j

ค่าคงที่

A = 1, B = 2·1/5 = 0.4

คำนวณค่า

y(0.75) = e−1.5(1·cos 3.75 + 0.4·sin 3.75) = −0.2341

คำตอบ

y(0.75) = −0.2341
11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: c21 = 15

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

แถวคูณหลัก

c21 = 1·3 + (−2)·(−6) = 15

คำตอบ

c21 = 15
12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: x = 0.2

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

det A = 3·(−6) − 3·(−1) = −15

แทนหลัก x

det Aₓ = 2·(−6) − 3·(−3) = −3
x = −3/(−15) = 0.2

คำตอบ

x = 0.2
y = 0.4667
13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: compb a = −0.9802

ผลคูณจุด: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ เป็นสเกลาร์ มันให้มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว cos θ = a·b/(|a|·|b|) และเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b คือ a·b/|b| และแรงคงที่ F ที่เคลื่อนผ่านการกระจัด d ทำงาน W = F·d

ผลคูณจุด

a·b = 3·5 + (−5)·5 + (−3)·(−1) = −7

ความยาวของ b

|b| = √(5² + 5² + (−1)²) = 7.141

โพรเจกชันสเกลาร์

compb a = a·b/|b| = −7/7.141 = −0.9802

คำตอบ

compb a = −0.9802

เป็นลบ: a มีองค์ประกอบที่ชี้ตรงข้ามกับ b

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: (a × b)y = −31

ผลคูณไขว้: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง และ |a × b| = |a|·|b|·sin θ คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองขึง (สามเหลี่ยมมีครึ่งหนึ่งของมัน) ลำดับมีผล: b × a = −(a × b) โมเมนต์ของแรง F ที่กระทำที่จุด A รอบจุด O คือ MO = r × F โดย r = A − O

ผลคูณไขว้ทีละองค์ประกอบ

(a × b)x = aybz − azby = 0·(−5) − (−1)·(−1) = −1
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·1 − (−6)·(−5) = −31
(a × b)z = axby − aybx = (−6)·(−1) − 0·1 = 6

องค์ประกอบที่ถาม

(a × b)y = −31

คำตอบ

(a × b)y = −31

ตรวจสอบ: a × b ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณจุดของมันกับ a และกับ b จึงเป็นศูนย์

15.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.2222

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

การหยิบครั้งแรกและครั้งที่สอง

P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0.2222

คำตอบ

P = 0.2222
16.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.08704

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น

P(X = 0) = 0.45 = 0.01024
P(X = 1) = 5·0.6·0.44 = 0.0768

บวกเข้าด้วยกัน

P = 0.01024 + 0.0768 = 0.08704

คำตอบ

P = 0.08704
17.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 16.5

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 270/7 = 38.57

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−24.57)² + (−1.571)² + (−7.571)² + 11.43² + 20.43² + 15.43² + (−13.57)² = 1634

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1634/6) = 16.5

คำตอบ

s = 16.5
18.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.8849

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −1.2

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849

คำตอบ

P = 0.8849
19.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.7881

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (199.6 − 200)/0.5 = −0.8

หางด้านบน

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

คำตอบ

P = 0.7881
20.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.7881

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 4)/5 = −0.8

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

คำตอบ

P = 0.7881

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics