คณิตศาสตร์วิศวกรรม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (√(x² + 5x) − x)

f(x) = √(x² + 5x) − xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x²

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = ln(3x² + 5) หา f′(−2)

f(x) = ln(3x² + 5)x = −2

f′(−2) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = −x² − x ที่ x = 3 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = −x² − xx = 3

b =

5.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₂⁴ 4/x dx

f(x) = 4/x[2, 4]

I =

6.อินทิกรัลยาก

บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 2x กับพาราโบลา y = 2x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง

y = 2xy = 2x²

V =

7.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

จงเขียน z = 12∠−130° ในรูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb และให้ส่วนจริง a

r = 12θ = −130°

a =

8.จำนวนเชิงซ้อนยาก

จงแก้ z² + 2z + 7.25 = 0 รากคือ a ± jb จงหาส่วนจริง a

p = 2q = 7.25

a =

9.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

น้ำอัดลมหนึ่งกระป๋องอุณหภูมิ 5 °C ถูกนำออกจากตู้เย็นมาไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 25 °C หลังผ่านไป 30 min อุณหภูมิเท่ากับ 21 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 23 °C

T₀ = 5 °CT_a = 25 °CT(30) = 21 °CT = 23 °C

t = min

10.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

จงแก้ y″ + y′ + 25.25y = 0 โดย y(0) = 3 และ y′(0) = 0 (ปล่อยจากหยุดนิ่ง) จงหา y(1.5) มุมเป็นเรเดียน

y″ + y′ + 25.25y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(1.5) =

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

ให้ C = AB สำหรับเมทริกซ์ที่แสดง หาสมาชิก c₁₁ (แถว 1 หลัก 1)

A = [5 5; 4 5]B = [0 4; 4 1]

c₁₁ =

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

หาค่าเฉพาะที่มากกว่า λ ของเมทริกซ์ A ที่แสดง

A = [1 1; 5 5]

λ =

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหาโพรเจกชันสเกลาร์ comp_b a ของ a = (−4, −3, 2) บน b = (3, 0, −3) คือองค์ประกอบของ a ในทิศของ b

a = (−4, −3, 2)b = (3, 0, −3)

comp_b a =

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

สำหรับ a = (4, 0, −1) และ b = (5, 1, −1) จงหาองค์ประกอบ z ซึ่งคือ (a × b)_z ของผลคูณไขว้ a × b

a = (4, 0, −1)b = (5, 1, −1)

(a × b)_z =

15.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1

σ =

16.ความน่าจะเป็นยาก

X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = 10X + 1 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ_Y ของ Y

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.35, 0.35, 0.15Y = 10X + 1

σ_Y =

17.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 37, 60, 22, 13, 23

n = 5

s =

18.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 60 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 82.5 คือเท่าใด

μ = 60σ = 15x = 82.5

P =

19.การแจกแจงปกติปานกลาง

มวลของผู้โดยสารพร้อมสัมภาระเป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 85 kg และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 kg จงหาความน่าจะเป็น P ที่มวลรวมของ 9 ชิ้นต่ำกว่า 837 kg ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9< 837 kg

P =

20.การแจกแจงปกติยาก

น้ำหนักของถุง แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 250 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 g ลากค่าตัดให้ส่วนบน 40% ที่แรเงาอยู่ทางขวา หาค่าตัด x

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 2.5

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = 5x/(√(x² + 5x) + x)

หารด้วย x

f(x) = 5/(√(1 + 5/x) + 1)

ให้ x → ∞

L = 5/(1 + 1) = 2.5

คำตอบ

L = 2.5

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

ใช้ครั้งแรก

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

4·e^−2x/2

แทนค่า x = 0

L = 4·1/2 = 2

คำตอบ

L = 2

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(−2) = −0.7059

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่สำหรับลอการิทึม

f′(x) = 6x/(3x² + 5)

แทนค่า

f′(−2) = −12/17 = −0.7059

คำตอบ

f′(−2) = −0.7059

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = 9

จุดและความชัน

f(3) = −12

f′(x) = −2x − 1 → f′(3) = −7

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −12 − (−7)·3 = 9

คำตอบ

b = 9

5.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 2.773

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = 4·ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = 4·(ln 4 − ln 2) = 4·ln 2 = 2.773

คำตอบ

I = 2.773

6.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 1.676

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

จุดตัด

2x = 2x² → x = 0, x = 1

วิธีวงแหวน

V = π∫₀¹ ((2x)² − (2x²)²) dx

อินทิเกรต

V = π(4·1³/3 − 4·1⁵/5) = π·0.5333 = 1.676

คำตอบ

V = 1.676

7.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: a = −7.713

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

องค์ประกอบ

a = 12·cos(−130°) = −7.713

b = 12·sin(−130°) = −9.193

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

z = −7.713 − j9.193

a = −7.713

คำตอบ

a = −7.713

8.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: a = −1

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

ตัวจำแนก

p² − 4q = 4 − 29 = −25 < 0

สูตรกำลังสอง

z = (−2 ± j√25)/2 = −1 + j2.5, −1 − j2.5

คำตอบ

a = −1

คำตอบ

a = −1

9.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: t = 42.92 min

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ค่าคงที่การเย็นตัว

k = ln(-20/-4)/30 = 0.05365 min⁻¹

เวลาที่ถึงเป้าหมาย

t = ln(-20/(−2))/0.05365 = 42.92 min

คำตอบ

t = 42.92 min

10.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1.5) = 0.6241

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากเชิงซ้อน

r = −0.5 ± 5j

ค่าคงที่

A = 3, B = 0.5·3/5 = 0.3

คำนวณค่า

y(1.5) = e^−0.75(3·cos 7.5 + 0.3·sin 7.5) = 0.6241

คำตอบ

y(1.5) = 0.6241

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: c₁₁ = 20

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

แถวคูณหลัก

c₁₁ = 5·0 + 5·4 = 20

คำตอบ

c₁₁ = 20

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: λ = 6

สมการลักษณะเฉพาะ

λ² − (6)λ + (0) = 0

แก้สมการ

λ = (6 ± √(36))/2 → λ = 0, 6

λ = 6

คำตอบ

λ = 6

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: comp_b a = −4.243

ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ เป็นสเกลาร์ มันให้มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว cos θ = a·b/(|a|·|b|) และเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b คือ a·b/|b| และแรงคงที่ F ที่เคลื่อนผ่านการกระจัด d ทำงาน W = F·d

ผลคูณจุด

a·b = (−4)·3 + (−3)·0 + 2·(−3) = −18

ความยาวของ b

|b| = √(3² + 0² + (−3)²) = 4.243

โพรเจกชันสเกลาร์

comp_b a = a·b/|b| = −18/4.243 = −4.243

คำตอบ

comp_b a = −4.243

เป็นลบ: a มีองค์ประกอบที่ชี้ตรงข้ามกับ b

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: (a × b)_z = 4

ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง และ |a × b| = |a|·|b|·sin θ คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองขึง (สามเหลี่ยมมีครึ่งหนึ่งของมัน) ลำดับมีผล: b × a = −(a × b) โมเมนต์ของแรง F ที่กระทำที่จุด A รอบจุด O คือ M_O = r × F โดย r = A − O

ผลคูณไขว้ทีละองค์ประกอบ

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·(−1) − (−1)·1 = 1

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·5 − 4·(−1) = −1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·1 − 0·5 = 4

องค์ประกอบที่ถาม

(a × b)_z = 4

คำตอบ

(a × b)_z = 4

ตรวจสอบ: a × b ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณจุดของมันกับ a และกับ b จึงเป็นศูนย์

15.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ = 1.136

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 1·0.1 + 2·0.2 + 3·0.3 + 4·0.3 + 5·0.1 = 3.1

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 1·0.1 + 4·0.2 + 9·0.3 + 16·0.3 + 25·0.1 = 10.9

ความแปรปรวน

Var(X) = 10.9 − 3.1² = 1.29

σ = √1.29 = 1.136

คำตอบ

σ = 1.136

16.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ_Y = 92.2

การกระจายของ X

μ = 25, Var(X) = 85, σ_X = 9.22

การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

σ_Y = |10|·9.22 = 92.2

คำตอบ

σ_Y = 92.2

ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = 10·25 + 1 = 251

17.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 18.34

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 155/5 = 31

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 6² + 29² + (−9)² + (−18)² + (−8)² = 1346

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1346/4) = 18.34

คำตอบ

s = 18.34

18.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.9332

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = 1.5

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

คำตอบ

P = 0.9332

19.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.9772

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (837 − 765)/36 = 2

ความน่าจะเป็น

P = Φ(2) = 0.9772

คำตอบ

P = 0.9772

20.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 251.3 g

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.6

z จากตาราง

z ≈ 0.25

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 250 + 0.25·5 = 251.3 g

คำตอบ

x = 251.3 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics