คณิตศาสตร์วิศวกรรม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (−3x² − 6x + 3)/(4x² + 6x + 5)

f(x) = (−3x² − 6x + 3)/(4x² + 6x + 5)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(0.5)

f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 7.5x² + 18x − 3 หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 7.5x² + 18x − 3

x =

5.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀^π/2 x·cos x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀^π/2 x·cos x dx

I =

6.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 1 − x² กับแกน x

y = 1 − x²

A =

7.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

จงหาอาร์กิวเมนต์ θ ของ z = 2 − j9 เป็นองศา เป็นค่าหลักระหว่าง −180° และ 180°

z = 2 − j9

θ = °

8.จำนวนเชิงซ้อนยาก

สมการ z² + 5z + 8.5 = 0 มีรากเชิงซ้อนสองราก จงหามอดูลัสของมัน |z|

p = 5q = 8.5

|z| =

9.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

จงแก้ y″ + 6y′ + 9y = 0 โดย y(0) = 1 และ y′(0) = 1 จงหา y(0.5)

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 1y′(0) = 1

y(0.5) =

10.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

จงแก้ y″ + y′ + 9.25y = 0 โดย y(0) = 5 และ y′(0) = 0 (ปล่อยจากหยุดนิ่ง) จงหา y(1.5) มุมเป็นเรเดียน

y″ + y′ + 9.25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(1.5) =

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

ให้ C = AB สำหรับเมทริกซ์ที่แสดง หาสมาชิก c₂₂ (แถว 2 หลัก 2)

A = [−6 4; −2 −3]B = [−5 1; −6 −6]

c₂₂ =

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

หาค่าเฉพาะที่มากกว่า λ ของเมทริกซ์ A ที่แสดง

A = [−3 6; −9 12]

λ =

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหาค่าของ k ที่ทำให้เวกเตอร์ a = (3, 3, −1) และ b = (2, k, 2) ตั้งฉากกัน

a = (3, 3, −1)b = (2, k, 2)

k =

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

จงหาพื้นที่ A ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A(3, 0, −2), B(2, 2, −3) และ C(−3, −2, −2) พิกัดมีหน่วยเป็นเมตร

A(3, 0, −2)B(2, 2, −3)C(−3, −2, −2)

A = m²

15.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.25, 0.1, 0.3

Var(X) =

16.ความน่าจะเป็นยาก

เกมหนึ่งมีค่าเล่น €3 คุณชนะ €15 ด้วยความน่าจะเป็น 0.2 และ €30 ด้วยความน่าจะเป็น 0.01 นอกนั้นไม่ได้อะไร เงินที่จ่ายไปไม่ถูกคืน จงหากำไรสุทธิที่คาดหมาย E(G) ต่อเกม

ค่าเล่น = €3€15: p = 0.2€30: p = 0.01

E(G) = €

17.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 50, 27, 28, 50, 25, 60

n = 6

s =

18.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 100 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 97.5 คือเท่าใด

μ = 100σ = 5x = 97.5

P =

19.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.9249 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.9249

z =

20.การแจกแจงปกติยาก

น้ำหนักของถุง แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 250 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 g ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 20% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = −0.75

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(−3 + (−6)/x + 3/x²)/(4 + 6/x + 5/x²)

ให้ x → ∞

L = −3/4 = −0.75

คำตอบ

L = −0.75

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[cos x]

แทนค่า x = 0

L = 2/1 = 2

คำตอบ

L = 2

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0.5) = 0.9182

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

แทนค่า

f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182

คำตอบ

f′(0.5) = 0.9182

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 2

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 15x + 18 = 3·(x² − 5x + 6)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 2 หรือ x = 3

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 15: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(2) = −3, f″(3) = 3

x = 2

คำตอบ

x = 2

5.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.5708

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

ปฏิยานุพันธ์

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

ลิมิต

(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0.5708

คำตอบ

I = 0.5708

6.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 1.333

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ค่าศูนย์

1 − x² = 0 → x = ±1

อินทิเกรต

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

คำตอบ

A = 1.333

7.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: θ = −77.47 °

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

จตุภาค

a = 2, b = −9 → IV

มุมอ้างอิง

α = atan(9/2) = 77.47°

อาร์กิวเมนต์

θ = −α = −77.47°

คำตอบ

θ = −77.47°

ในรูปเชิงขั้ว z = 9.22∠−77.47°

8.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: |z| = 2.915

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

ตัวจำแนก

p² − 4q = 25 − 34 = −9 < 0

สูตรกำลังสอง

z = (−5 ± j√9)/2 = −2.5 + j1.5, −2.5 − j1.5

คำตอบ

|z| = √((−2.5)² + 1.5²) = √8.5 = 2.915

คำตอบ

|z| = 2.915

9.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.5) = 0.6694

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากซ้ำ

(r + 3)² = 0 → r = −3

ค่าคงที่

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 3A → B = 1 + 3 = 4

คำนวณค่า

y(0.5) = (1 + 4·0.5)·e^−1.5 = 0.6694

คำตอบ

y(0.5) = 0.6694

10.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1.5) = −0.8827

รากเชิงซ้อน

r = −0.5 ± 3j

ค่าคงที่

A = 5, B = 0.5·5/3 = 0.8333

คำนวณค่า

y(1.5) = e^−0.75(5·cos 4.5 + 0.8333·sin 4.5) = −0.8827

คำตอบ

y(1.5) = −0.8827

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: c₂₂ = 16

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

แถวคูณหลัก

c₂₂ = (−2)·1 + (−3)·(−6) = 16

คำตอบ

c₂₂ = 16

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: λ = 6

สมการลักษณะเฉพาะ

λ² − (9)λ + (18) = 0

แก้สมการ

λ = (9 ± √(9))/2 → λ = 3, 6

λ = 6

คำตอบ

λ = 6

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: k = −1.333

ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ เป็นสเกลาร์ มันให้มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว cos θ = a·b/(|a|·|b|) และเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b คือ a·b/|b| และแรงคงที่ F ที่เคลื่อนผ่านการกระจัด d ทำงาน W = F·d

ผลคูณจุดเท่ากับศูนย์

a·b = 3·2 + 3·k + (−1)·2 = 0

4 + 3·k = 0

แก้หา k

k = −4/3 = −1.333

คำตอบ

k = −1.333

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: A = 7.681 m²

ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง และ |a × b| = |a|·|b|·sin θ คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองขึง (สามเหลี่ยมมีครึ่งหนึ่งของมัน) ลำดับมีผล: b × a = −(a × b) โมเมนต์ของแรง F ที่กระทำที่จุด A รอบจุด O คือ M_O = r × F โดย r = A − O

เวกเตอร์ขอบ

AB = B − A = (−1, 2, −1)

AC = C − A = (−6, −2, 0)

ผลคูณไขว้

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 2·0 − (−1)·(−2) = −2

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−1)·(−6) − (−1)·0 = 6

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·(−2) − 2·(−6) = 14

|AB × AC| = √((−2)² + 6² + 14²) = 15.36

พื้นที่ของสามเหลี่ยม

A = ½·15.36 = 7.681 m²

คำตอบ

A = 7.681 m²

15.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 1.528

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 0·0.35 + 1·0.25 + 2·0.1 + 3·0.3 = 1.35

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.25 + 4·0.1 + 9·0.3 = 3.35

ความแปรปรวน

Var(X) = 3.35 − 1.35² = 1.528

คำตอบ

Var(X) = 1.528

16.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: E(G) = 0.3 €

ผลลัพธ์สุทธิ

G: 12 (p = 0.2), 27 (p = 0.01), −3 (p = 0.79)

ค่าคาดหมาย

E(G) = 12·0.2 + 27·0.01 − 3·0.79 = 0.3 €

คำตอบ

E(G) = 0.3 €

ค่าบวกหมายความว่าโดยเฉลี่ยคุณได้เงิน

17.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 15.09

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 240/6 = 40

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 10² + (−13)² + (−12)² + 10² + (−15)² + 20² = 1138

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1138/5) = 15.09

คำตอบ

s = 15.09

18.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.6915

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −0.5

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 1 − 0.3085 = 0.6915

คำตอบ

P = 0.6915

19.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 1.78

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = (1 + 0.9249)/2 = 0.9625

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.9625 ในตารางและอ่านค่า z

z = 1.78

คำตอบ

z = 1.78

20.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 245.8 g

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.2

z จากตาราง

z ≈ −0.84

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 250 − 0.84·5 = 245.8 g

คำตอบ

x = 245.8 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics