คณิตศาสตร์วิศวกรรม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (x² − 6x + 3)/(2x² + 5x + 2)

f(x) = (x² − 6x + 3)/(2x² + 5x + 2)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(3x²) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = (1 − cos 4x)/(3x²)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = (4x − 3)⁵ หา f′(−1)

f(x) = (4x − 3)⁵x = −1

f′(−1) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 6x² + 9x + 5 หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 5

x =

5.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₁⁴ x·ln x dx

∫₁⁴ x ln x dx

I =

6.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 2x² และ y = 4x

y = 2x²y = 4x

A =

7.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

กำหนด z₁ = 4∠55° และ z₂ = 0.5∠45° จงหาส่วนจริงของ w = z₁/z₂

z₁ = 4∠55°z₂ = 0.5∠45°

Re(w) =

8.จำนวนเชิงซ้อนยาก

รากหนึ่งของ z³ − 3z² − 8z − 10 = 0 คือ z₁ = −1 + j สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จงหารากจริง r

z₁ = −1 + j

r =

9.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 84 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 21 °C หลังผ่านไป 15 min อุณหภูมิเท่ากับ 33 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) จงหาค่าคงที่ k ในหน่วย min⁻¹

T₀ = 84 °CT_a = 21 °CT(15) = 33 °C

k = min⁻¹

10.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + y′ + 16.25y = 32.5 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหาค่ายอด y_max ของการตอบสนองต่อขั้น

y″ + y′ + 16.25y = 32.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

ให้ C = AB สำหรับเมทริกซ์ที่แสดง หาสมาชิก c₁₁ (แถว 1 หลัก 1)

A = [−4 5; 2 −6]B = [5 2; 3 2]

c₁₁ =

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

หาค่าเฉพาะที่มากกว่า λ ของเมทริกซ์ A ที่แสดง

A = [−2 3; 2 −1]

λ =

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหามุม θ ระหว่างเวกเตอร์ a = (−4, −3, 6) และ b = (3, 6, 2) ในหน่วยองศา

a = (−4, −3, 6)b = (3, 6, 2)

θ = °

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย n̂ ตั้งฉากกับทั้ง a = (5, 5, −2) และ b = (0, −3, −4) และมีองค์ประกอบ z เป็นบวก จงหาองค์ประกอบ x ซึ่งคือ n̂_x ของมัน

a = (5, 5, −2)b = (0, −3, −4)n̂_z > 0

n̂_x =

15.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

σ =

16.ความน่าจะเป็นยาก

ทดสอบชิ้นส่วน 10 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.7 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด

n = 10p = 0.7

P =

17.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 19, 52, 12, 29, 58, 28

n = 6

s =

18.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 60 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 72 คือเท่าใด

μ = 60σ = 12x = 72

P =

19.การแจกแจงปกติปานกลาง

X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 120 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.3 mm Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 80 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.4 mm จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 200.5 mm ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 200.5 mm

P =

20.การแจกแจงปกติยาก

ส่วนสูง X ของผู้ชายและ Y ของผู้หญิงในกลุ่มหนึ่ง เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ: X มีค่าเฉลี่ย 180 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 cm ส่วน Y มีค่าเฉลี่ย 170 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 cm จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X มากกว่า Y ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.5

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(1 + (−6)/x + 3/x²)/(2 + 5/x + 2/x²)

ให้ x → ∞

L = 1/2 = 0.5

คำตอบ

L = 0.5

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2.667

ใช้ครั้งแรก

4·sin 4x/(6x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

16·cos 4x/6

แทนค่า x = 0

L = 16/6 = 2.667

คำตอบ

L = 2.667

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(−1) = 48020

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 5·(4x − 3)⁴·4

แทนค่า

f′(−1) = 5·(−7)⁴·4 = 48020

คำตอบ

f′(−1) = 48020

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 1

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3·(x² − 4x + 3)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 1 หรือ x = 3

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 12: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(1) = −6, f″(3) = 6

x = 1

คำตอบ

x = 1

5.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 7.34

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

ปฏิยานุพันธ์

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

ลิมิต

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0.25) = 7.34

คำตอบ

I = 7.34

6.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 2.667

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

จุดตัด

2x² = 4x → x = 0, x = 2

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [2x² − 0.6667x³]₀² = 2.667

คำตอบ

A = 2.667

7.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: Re(w) = 7.878

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของ w

|w| = 4 / 0.5 = 8

θ = 55° − 45° = 10°

รูปเชิงสี่เหลี่ยม

Re(w) = 8·cos(10°) = 7.878

Im(w) = 8·sin(10°) = 1.389

Re(w) = 7.878

คำตอบ

Re(w) = 7.878

8.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: r = 5

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

คู่สังยุค

z₂ = −1 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−1)·z + ((−1)² + 1²) = z² + 2z + 2

แยกตัวประกอบกำลังสอง

z³ − 3z² − 8z − 10 = (z² + 2z + 2)(z − 5)

รากจริง

r = 5

คำตอบ

r = 5

ตรวจสอบด้วยผลบวกของราก: z₁ + z₂ + r = −2 + 5 = 3 = −(−3)

9.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: k = 0.1105 min⁻¹

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

อัตราส่วนของผลต่างอุณหภูมิ

e^−15k = 12/63

แก้หา k

k = ln(63/12)/15 = 0.1105 min⁻¹

คำตอบ

k = 0.1105 min⁻¹

10.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y_max = 3.35

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

ค่าคงตัวและราก

y_ss = 2, r = −0.5 ± 4j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −0.5A + 4B = 0 → B = −0.25

ยอด

t = π/4 = 0.7854

y_max = 2·(1 + e^−0.5·π/4) = 3.35

คำตอบ

y_max = 3.35

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: c₁₁ = −5

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

แถวคูณหลัก

c₁₁ = (−4)·5 + 5·3 = −5

คำตอบ

c₁₁ = −5

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: λ = 1

สมการลักษณะเฉพาะ

λ² − (−3)λ + (−4) = 0

แก้สมการ

λ = (−3 ± √(25))/2 → λ = −4, 1

λ = 1

คำตอบ

λ = 1

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: θ = 109.2 °

ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ เป็นสเกลาร์ มันให้มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว cos θ = a·b/(|a|·|b|) และเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b คือ a·b/|b| และแรงคงที่ F ที่เคลื่อนผ่านการกระจัด d ทำงาน W = F·d

ผลคูณจุด

a·b = (−4)·3 + (−3)·6 + 6·2 = −18

ขนาด

|a| = √((−4)² + (−3)² + 6²) = 7.81

|b| = √(3² + 6² + 2²) = 7

มุม

cos θ = −18/(7.81·7) = −0.3292

θ = arccos(−0.3292) = 109.2°

คำตอบ

θ = 109.2°

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: n̂_x = 0.7208

ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง และ |a × b| = |a|·|b|·sin θ คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองขึง (สามเหลี่ยมมีครึ่งหนึ่งของมัน) ลำดับมีผล: b × a = −(a × b) โมเมนต์ของแรง F ที่กระทำที่จุด A รอบจุด O คือ M_O = r × F โดย r = A − O

ผลคูณไขว้

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−4) − (−2)·(−3) = −26

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·0 − 5·(−4) = 20

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·(−3) − 5·0 = −15

ทำให้เป็นหนึ่งหน่วย

องค์ประกอบ z ของ a × b เป็นลบ จึงใช้ −(a × b)

|a × b| = √((−26)² + 20² + (−15)²) = 36.07

n̂ = −(−26, 20, −15)/36.07 = (0.7208, −0.5545, 0.4159)

n̂_x = 0.7208

คำตอบ

n̂_x = 0.7208

15.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ = 0.8047

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

ความแปรปรวน

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

คำตอบ

σ = 0.8047

16.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.0001437

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น

P(X = 0) = 0.3¹⁰ = 5.905 × 10⁻⁶

P(X = 1) = 10·0.7·0.3⁹ = 0.0001378

บวกเข้าด้วยกัน

P = 5.905 × 10⁻⁶ + 0.0001378 = 0.0001437

คำตอบ

P = 0.0001437

17.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 18.24

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 198/6 = 33

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−14)² + 19² + (−21)² + (−4)² + 25² + (−5)² = 1664

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1664/5) = 18.24

คำตอบ

s = 18.24

18.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.1587

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = 1

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(1) = 0.8413

P = 1 − 0.8413 = 0.1587

คำตอบ

P = 0.1587

19.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.1587

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (200.5 − 200)/0.5 = 1

หางด้านบน

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

คำตอบ

P = 0.1587

20.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.7389

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

คำตอบ

P = 0.7389

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics