คณิตศาสตร์วิศวกรรม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

จำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงสี่เหลี่ยม: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
มอดูลัสและอาร์กิวเมนต์: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียล: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
การหาร: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
ผลคูณและผลหาร: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
เดอมัวฟร์: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
รากที่ n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
สมการกำลังสองที่ p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

วิธีการ

เลือกรูปแบบที่เหมาะกับการดำเนินการ: รูปเชิงสี่เหลี่ยม a + jb สำหรับการบวกและลบ รูปเชิงขั้ว r∠θ สำหรับการคูณ หาร เลขยกกำลัง และราก
คูณกระจายด้วย j² = −1; หารโดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
แปลงด้วย r = √(a² + b²) และ θ จากภาพร่างของจุด (ตรวจจตุภาค) และกลับด้วย a = r cos θ, b = r sin θ
สำหรับเลขยกกำลังใช้เดอมัวฟร์ (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; สำหรับ zⁿ = R∠φ ให้เขียนรายการรากทั้ง n ราก R^1/n∠((φ + 360°k)/n)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^2x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 − 1/x)^2xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²

f(x) = (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(3x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(1)

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = −x² − 4x − 6 ที่ x = 3 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = −x² − 4x − 6x = 3

b =

5.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

6.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 0.5x² และ y = 3x

y = 0.5x²y = 3x

A =

7.จำนวนเชิงซ้อนปานกลาง

แผนภาพแสดง z = 2 + j4 เมื่อ w = 0.5∠90° ให้คลิกจุดที่แทน z/w

z = 2 + j4w = 0.5∠90°

1A (−8 + j4)
2B (8 − j4)
3C (2 − j)
4D (4 + j8)

8.จำนวนเชิงซ้อนยาก

รากหนึ่งของ z³ + 2z² − 14z − 40 = 0 คือ z₁ = −3 + j สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จงหารากจริง r

z₁ = −3 + j

r =

9.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 92 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 20 °C หลังผ่านไป 27 min อุณหภูมิเท่ากับ 31 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 26 °C

T₀ = 92 °CT_a = 20 °CT(27) = 31 °CT = 26 °C

t = min

10.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 4y′ + 13y = 13 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหาค่ายอด y_max ของการตอบสนองต่อขั้น

y″ + 4y′ + 13y = 13y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

ให้ C = AB สำหรับเมทริกซ์ที่แสดง หาสมาชิก c₂₁ (แถว 2 หลัก 1)

A = [−1 −4; −3 2]B = [4 −3; 3 −2]

c₂₁ =

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

หาค่าเฉพาะที่มากกว่า λ ของเมทริกซ์ A ที่แสดง

A = [6 1; −2 3]

λ =

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

แรงคงที่ F = (−15, 5, −10) N กระทำต่อวัตถุขณะที่มันเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงจากจุด A(−4, 1, −1) ไปยังจุด B(−3, 0, 0) พิกัดมีหน่วยเป็นเมตร จงหางาน W ที่แรงทำ

F = (−15, 5, −10) NA(−4, 1, −1) mB(−3, 0, 0) m

W = J

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

จงหาปริมาตร V ของทรงหกหน้าขนานที่มีขอบจากมุมหนึ่งเป็น a = (−1, −5, 1), b = (0, −5, 3) และ c = (−3, 5, 2)

a = (−1, −5, 1)b = (0, −5, 3)c = (−3, 5, 2)

V =

15.ความน่าจะเป็นปานกลาง

ในถุงมีลูกบอลสีแดง 8 ลูกและสีน้ำเงิน 7 ลูก หยิบสองลูกโดยไม่ใส่ลูกแรกคืน ความน่าจะเป็น P ที่ทั้งสองลูกเป็นสีแดงคือเท่าใด

8 / 7

P =

16.ความน่าจะเป็นยาก

เกมหนึ่งมีค่าเล่น €5 คุณชนะ €10 ด้วยความน่าจะเป็น 0.3 และ €100 ด้วยความน่าจะเป็น 0.05 นอกนั้นไม่ได้อะไร เงินที่จ่ายไปไม่ถูกคืน จงหากำไรสุทธิที่คาดหมาย E(G) ต่อเกม

ค่าเล่น = €5€10: p = 0.3€100: p = 0.05

E(G) = €

17.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 18, 25, 51, 33, 38

n = 5

s =

18.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 54.8 คือเท่าใด

μ = 50σ = 8x = 54.8

P =

19.การแจกแจงปกติปานกลาง

X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 60 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 s Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 45 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 s จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 117.8 s ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117.8 s

P =

20.การแจกแจงปกติยาก

น้ำหนักของถุง แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 250 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 g ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 25% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.1353

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 2·(−1) = −2

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e⁻² = 0.1353

คำตอบ

L = 0.1353

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 1.125

ใช้ครั้งแรก

(1.5·e^1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

2.25·e^1.5x/2

แทนค่า x = 0

L = 2.25·1/2 = 1.125

คำตอบ

L = 1.125

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1) = −2.829

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

แทนค่า

f′(1) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829

คำตอบ

f′(1) = −2.829

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = 3

จุดและความชัน

f(3) = −27

f′(x) = −2x − 4 → f′(3) = −10

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −27 − (−10)·3 = 3

คำตอบ

b = 3

5.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 2.333

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

การแทนค่า

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

อินทิเกรตและคำนวณค่า

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2.333

คำตอบ

I = 2.333

6.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 18

จุดตัด

0.5x² = 3x → x = 0, x = 6

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [1.5x² − 0.1667x³]₀⁶ = 18

คำตอบ

A = 18

7.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: B (8 − j4)

รูปเชิงขั้ว: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยม: a = r cos θ, b = r sin θ อาร์กิวเมนต์ต้องคำนึงถึงจตุภาค: θ = atan(b/a) ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a > 0; เมื่อ a < 0 ให้บวกหรือลบ 180° ในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ การหารให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์

ผลของ w

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − 90°

จุด

z/w = 8 − j4 → B

คำตอบ

B (8 − j4)

8.จำนวนเชิงซ้อน

คำตอบ: r = 4

เดอมัวฟร์และราก: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R^1/n ที่อาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1: รากวางห่างเท่า ๆ กันบนวงกลม ห่างกัน 360°/n สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน z = −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุค a ± jb เสมอ

คู่สังยุค

z₂ = −3 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 1²) = z² + 6z + 10

แยกตัวประกอบกำลังสอง

z³ + 2z² − 14z − 40 = (z² + 6z + 10)(z − 4)

รากจริง

r = 4

คำตอบ

r = 4

ตรวจสอบด้วยผลบวกของราก: z₁ + z₂ + r = −6 + 4 = −2 = −(2)

9.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: t = 35.71 min

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ค่าคงที่การเย็นตัว

k = ln(72/11)/27 = 0.06958 min⁻¹

เวลาที่ถึงเป้าหมาย

t = ln(72/6)/0.06958 = 35.71 min

คำตอบ

t = 35.71 min

10.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y_max = 1.123

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

ค่าคงตัวและราก

y_ss = 1, r = −2 ± 3j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −0.6667

ยอด

t = π/3 = 1.047

y_max = 1·(1 + e^−2·π/3) = 1.123

คำตอบ

y_max = 1.123

11.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: c₂₁ = −6

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

แถวคูณหลัก

c₂₁ = (−3)·4 + 2·3 = −6

คำตอบ

c₂₁ = −6

12.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: λ = 5

สมการลักษณะเฉพาะ

λ² − (9)λ + (20) = 0

แก้สมการ

λ = (9 ± √(1))/2 → λ = 4, 5

λ = 5

คำตอบ

λ = 5

13.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: W = −30 J

ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ เป็นสเกลาร์ มันให้มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว cos θ = a·b/(|a|·|b|) และเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b คือ a·b/|b| และแรงคงที่ F ที่เคลื่อนผ่านการกระจัด d ทำงาน W = F·d

การกระจัด

d = B − A = (−3, 0, 0) − (−4, 1, −1) = (1, −1, 1) m

งาน

W = F·d = (−15)·1 + 5·(−1) + (−10)·1 = −30 J

คำตอบ

W = −30 J

งานเป็นลบ: แรงส่วนใหญ่กระทำสวนทางกับการเคลื่อนที่

14.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: V = 55

ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง และ |a × b| = |a|·|b|·sin θ คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองขึง (สามเหลี่ยมมีครึ่งหนึ่งของมัน) ลำดับมีผล: b × a = −(a × b) โมเมนต์ของแรง F ที่กระทำที่จุด A รอบจุด O คือ M_O = r × F โดย r = A − O

ผลคูณไขว้ b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−5)·2 − 3·5 = −25

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 3·(−3) − 0·2 = −9

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 0·5 − (−5)·(−3) = −15

ผลคูณจุดกับ a

a·(b × c) = (−1)·(−25) + (−5)·(−9) + 1·(−15) = 55

V = |55| = 55

คำตอบ

V = 55

15.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.2667

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

การหยิบครั้งแรกและครั้งที่สอง

P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0.2667

คำตอบ

P = 0.2667

16.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: E(G) = 3 €

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ผลลัพธ์สุทธิ

G: 5 (p = 0.3), 95 (p = 0.05), −5 (p = 0.65)

ค่าคาดหมาย

E(G) = 5·0.3 + 95·0.05 − 5·0.65 = 3 €

คำตอบ

E(G) = 3 €

ค่าบวกหมายความว่าโดยเฉลี่ยคุณได้เงิน

17.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 12.63

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 165/5 = 33

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−15)² + (−8)² + 18² + 0² + 5² = 638

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(638/4) = 12.63

คำตอบ

s = 12.63

18.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.2743

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = 0.6

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

คำตอบ

P = 0.2743

19.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.02275

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (117.8 − 105)/6.403 = 2

หางด้านบน

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

คำตอบ

P = 0.02275

20.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 246.7 g

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.25

z จากตาราง

z ≈ −0.67

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 250 − 0.67·5 = 246.7 g

คำตอบ

x = 246.7 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics