ฝึกข้อสอบ FE โยธา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 30 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

ความเค้นประสิทธิผลในดิน

ความเค้นรวม: σ = Σγ_i·h_i
ความดันน้ำในช่องว่าง: u = γ_w·(z − z_w)
ความเค้นประสิทธิผล: σ′ = σ − u
น้ำ: γ_w = 9.81 kN/m³

การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

ดินที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ความเค้นสุดท้าย: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
อัตราส่วนการอัดตัวเกิน: OCR = σ′_p/σ′₀
เวลาสำหรับการอัดตัวคายน้ำ: t = T_v·H_dr²/c_v
ระยะทางระบายน้ำ: H_dr = H/2 (ระบายน้ำสองด้าน), H (ระบายน้ำด้านเดียว)
ตัวประกอบเวลา: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

สมการแมนนิง: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
อัตราการไหล: Q = A·V
รัศมีไฮดรอลิก: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y
สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ: R = D/4
ความลาดชันที่ต้องการ: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างจาก A 6 m และมีส่วนยื่นเลย B ไปถึงปลายอิสระ C จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_A โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก

AB = 6 mAC = 8 mP₁ = 70 kN ที่ 5 mP₂ = 80 kN ที่ 8 m

R_A = kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานประกอบยึดแน่นกับผนังที่ A มีบานพับภายในที่ C (ห่างจาก A 5 m) และวางบนลูกกลิ้งที่ D (ห่างจาก A 10 m) รับ แรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 7 m จาก A, แรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w บนส่วน CD ทั้งหมด และแรงกระทำเป็นจุด Q ที่ระยะ 2 m จาก A จงหาขนาดของโมเมนต์ปฏิกิริยา M_A ที่ผนัง

AC = 5 mAD = 10 mP = 20 kN ที่ 7 mw = 10 kN/m จาก 5 ถึง 10 mQ = 40 kN ที่ 2 m

M_A = kN·m

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_BC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 5 mความสูง = 3 mB อยู่ห่างจาก A 3 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 50 kN

F_BC = kN

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_AB ในชิ้นส่วน AB ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 4 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 3 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 60 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 5 kN ←

F_AB = kN

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

คานยื่นถูกยึดแน่นที่ A รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว และแรงกระทำเป็นจุด P ที่ตำแหน่ง 2 m จาก A จงหาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 1 m จากจุดรองรับแบบยึดแน่น A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 2 mP = 60 kN ที่ 2 mw = 2 kN/m จาก 0 ถึง 2 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

10 kN @ 6 m10 kN @ 2 m15 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานยื่นรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว หาระยะแอ่น δ ที่ปลายอิสระ

w = 8 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานไม้ช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 150 mm รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคานต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 จงหาความลึกที่น้อยที่สุด h_req ของหน้าตัด

w = 1.5 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)b = 150 mm

h_req = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 60 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ต้องรับ 75 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 75 kNn = 2.5L = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)

d = mm

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หน้าตัดรางรูปตัว U วางโดยด้านเปิดหงายขึ้น: แผ่นฐานกว้าง 240 mm มีขาตั้งตรงสองขา สูงรวม 70 mm ฐานและขาทั้งหมดหนา 10 mm จงหาความสูง ȳ ของเซนทรอยด์เหนือขอบล่าง

b = 240 mmh = 70 mmt = 10 mm

ȳ = mm

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

แผ่น 150 mm × 300 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 40 mm สูง 50 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 105 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 150 mmh = 300 mmช่องตัด: 40 × 50 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.ความเค้นประสิทธิผลในดินปานกลาง

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นประสิทธิผลในแนวดิ่ง σ′ ที่จุด X

z = 4 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 16 kN/m³ทราย: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดินยาก

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นรวมในแนวดิ่ง σ ที่จุด X

z = 7.5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 15.5 kN/m³ทราย: γ_sat = 20.5 kN/m³ดินเหนียว: γ_sat = 17 kN/m³

σ = kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปานกลาง

ชั้นดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติหนา 3 m มี C_c = 0.35, C_r = 0.02 และ e₀ = 0.6 ที่กึ่งกลางชั้นความเค้นประสิทธิผลแนวดิ่งคือ 115 kPa และความดันอัดตัวก่อนหน้าคือ 225 kPa อาคารใหม่เพิ่มความเค้นแนวดิ่ง 70 kPa ที่กึ่งกลางชั้น หาการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ S ใน mm

H = 3 mC_c = 0.35C_r = 0.02e₀ = 0.6σ′₀ = 115 kPaσ′_p = 225 kPaΔσ = 70 kPa

S = mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำยาก

ชั้นดินเหนียวหนา 8 m มีสัมประสิทธิ์การอัดตัวคายน้ำ c_v = 4 m²/ปี อยู่บนชั้นหินที่ไม่ซึมน้ำ โดยมีทรายอยู่ด้านบน น้ำจึงระบายออกเฉพาะด้านบน สำหรับการอัดตัวเฉลี่ย 70% ตัวประกอบเวลาคือ T_v = 0.403 ชั้นดินใช้เวลากี่ปี t จึงอัดตัวถึง 70%

H = 8 mc_v = 4 m²/ปีU = 70%T_v = 0.403ระบายน้ำด้านเดียว

t = ปี

17.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 4 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำไหลด้วย 12 L/s ผ่านท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.025 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน h_f

Q = 12 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 15 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 3 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 5) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s

Δz = 15 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง

ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูกรวดมีความกว้างก้น 5 m และความลาดข้าง 1.5:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 0.9 m แมนนิง n = 0.025 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.002 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s

b = 5 my = 0.9 mz = 1.5n = 0.025S = 0.002

Q = m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก

ท่อระบายน้ำคอนกรีตเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm (แมนนิง n = 0.013) ต้องมีความเร็วชะล้างตัวเอง 1.2 m/s เมื่อไหลเต็มท่อพอดี หาความลาดชันต่ำสุด S (ใน m/m)

D = 200 mmn = 0.013V = 1.2 m/s

S = m/m

23.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 150 L/s ต้านเฮด 70 m ขณะที่เพลาใช้ 121.2 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์

Q = 150 L/sH = 70 mP_shaft = 121.2 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 80 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 15 m ท่อยาว 500 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 6 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ประสิทธิภาพปั๊มคือ 75% หากำลังที่เพลา P_shaft ใน kW

Q = 80 L/sΔz = 15 mL = 500 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

25.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

อสังหาริมทรัพย์คาดว่าจะให้ค่าเช่าสุทธิ €2 000 ในปีหน้า ค่าเช่าคาดว่าจะเติบโต 4% ต่อปีตลอดไป ผลตอบแทนที่ต้องการคือ 10% ต่อปี จงหามูลค่า PV ของอสังหาริมทรัพย์ในวันนี้

C₁ = €2 000g = 4%r = 10%

PV = €

26.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

คุณต้องการ €100 000 ในอีก 19 ปี คุณออมเงินจำนวนเท่ากันทุกสิ้นเดือนในบัญชีที่ให้ดอกเบี้ย 4.8% ต่อปี ทบต้นรายเดือน จงหาเงินฝากรายเดือน A

FV = €100 0004.8% / 12N = 228

A = €

27.NPV และ IRRปานกลาง

การลงทุน €75 000 ให้กระแสเงินสดเมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 4 ดังนี้: €27 000, €37 000, €37 000, €35 000 ต้นทุนเงินทุนคือ 15% หามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

r = 15%CF₀ = −75 000CF₁ = 27 000CF₂ = 37 000CF₃ = 37 000CF₄ = 35 000

NPV = €

28.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุน €20 000 และให้ผลตอบแทน €12 500, €14 500 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 2 หาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 500CF₂ = 14 500

IRR = %

29.การแจกแจงปกติปานกลาง

น้ำหนักของถุงมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 250 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 g สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 250.25 และ 256.25 g เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 250σ = 5x₁ = 250.25x₂ = 256.25

P =

30.การแจกแจงปกติยาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 65 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 97.5% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5)

μ = 65σ = 10P = 97.5%

x = คะแนน

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = −15 kN

โมเมนต์รอบจุด A

ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: R_B·6 = 70·5 + 80·8

R_B = 990/6 = 165 kN

สมดุลในแนวดิ่ง

R_A = 70 + 80 − 165 = −15 kN

คำตอบ

R_A = −15 kN

R_A เป็นลบ: หมุดที่ A ต้องรั้งคานลง

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: M_A = 265 kN·m

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ บานพับภายในรับโมเมนต์ดัดไม่ได้ ซึ่งให้สมการเพิ่มหนึ่งสมการ: โมเมนต์รอบบานพับของแรงทั้งสองข้างเป็นศูนย์

ส่วน CD

บานพับไม่มีโมเมนต์ ดังนั้นโมเมนต์รอบ C บน CD เพียงส่วนเดียวต้องสมดุล

W = 10·5 = 50 kN ที่ 2.5 m จาก C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 20·2 + 50·2.5

R_D = 33 kN

V_C = 70 − 33 = 37 kN

ส่วน AC

แรงที่บานพับ V_C กระทำลงบน AC (เท่ากันและตรงข้ามกับแรงที่กระทำต่อ CD)

R_A = 40 + 37 = 77 kN

M_A = 40·2 + 37·5 = 265 kN·m

คำตอบ

M_A = 265 kN·m

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_BC = −36.06 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 30 = 20 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0.8321 = −36.06 kN

คำตอบ

F_BC = −36.06 kN (แรงอัด)

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_AB = −31.55 kN

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 − 5·2 → C_y = 42.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 42.5 = 17.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

จุดต่อ A

สมมติให้ทุกชิ้นส่วนรับแรงดึง (ดึงออกจากจุดต่อ) มีเพียง AB ที่มีองค์ประกอบแนวดิ่งที่ A

sin α = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −17.5/0.5547 = −31.55 kN

คำตอบ

F_AB = −31.55 kN (แรงอัด)

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = −61 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

เก็บส่วนปลายอิสระไว้

P: −60·1 = −60 kN·m

w: −2·1²/2 = −1 kN·m

M_x = −60 − 1 = −61 kN·m

คำตอบ

M_x = −61 kN·m

ค่าลบหมายถึงโมเมนต์ลบ: ผิวด้านบนรับแรงดึง

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: C (x = 2 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 30 kN, R₂ = 50 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 22.5, M_C = 30 kN·m, M_D = 12.5, M_E = −20, M_F = −10, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย C: M_C = 30 kN·m

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ = 6.643 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่น

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2500⁴/(8·5.88 × 10¹²) = 6.643 mm

คำตอบ

δ = 6.643 mm

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: h_req = 167 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 1.5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12.5 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1.5·4500⁴/(384·11000·12.5) = 5.825 × 10⁷ mm⁴

ความลึกที่ต้องการ

bh³/12 = I_req → h = (12·5.825 × 10⁷/150)^1/3 = 167 mm

คำตอบ

h_req = 167 mm

ในทางปฏิบัติ ให้เลือกความลึกมาตรฐานถัดไปที่สูงกว่าค่านี้

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 34.88 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·3000 = 6000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34.88 kN

คำตอบ

P_cr = 34.88 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 57.37 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2.5·75000 = 187500 N

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 57.37 mm

คำตอบ

d = 57.37 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 97.6 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: ȳ = 16.67 mm

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ให้ถือว่าฐานเต็มความกว้างและขาสองขาอยู่เหนือฐาน (สูง h − t) เพื่อไม่ให้นับซ้ำ

เบส: A₁ = 240·10 = 2400 mm², y₁ = 5 mm

ขาสองขา: A₂ = 2·10·60 = 1200 mm², y₂ = 10 + 60/2 = 40 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (2400·5 + 1200·40)/3600 = 16.67 mm

คำตอบ

ȳ = 16.67 mm

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 332.8 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (45000·150 − 2000·105)/(45000 − 2000) = 152.1 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

150·300³/12 + 45000·−2.093² = 337.7 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

40·50³/12 + 2000·−47.09² = 4.852 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 332.8 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 332.8 × 10⁶ mm⁴

13.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ′ = 45.07 kPa

ความเค้นประสิทธิผล (เทอร์ซากี): โครงสร้างของดินรับความเค้น σ′ = σ − u ความเค้นรวม σ คือน้ำหนักของทุกสิ่งเหนือจุดนั้น Σγ·h โดยใช้หน่วยน้ำหนักแห้งเหนือระดับน้ำใต้ดิน และหน่วยน้ำหนักอิ่มตัวใต้ระดับน้ำใต้ดิน ใต้ระดับน้ำใต้ดิน ความดันน้ำในช่องว่างเป็นแบบไฮโดรสแตติก: u = γ_w·(ความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน)

ความเค้นรวม

บวกน้ำหนักของดินแต่ละชั้นเหนือ X เหนือระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักแห้ง ใต้ระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักอิ่มตัว

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·1 + 19.5·3 = 74.5 kPa

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

ความเค้นประสิทธิผล

σ′ = σ − u = 74.5 − 29.43 = 45.07 kPa

คำตอบ

σ′ = 45.07 kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ = 126.5 kPa

ความเค้นรวม

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3.5

σ = 15.5·3 + 20.5·1 + 17·3.5 = 126.5 kPa

คำตอบ

σ = 126.5 kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: S = 7.743 mm

การอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ ของชั้นดินเหนียวหนา H โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลที่กึ่งกลางชั้น: σ′_f = σ′₀ + Δσ ดินเหนียวที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) ดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติจะอัดซ้ำตาม C_r จนถึงความดันอัดตัวก่อนหน้า σ′_p และเป็นไปตาม C_c เฉพาะหลังจากนั้น เวลา: t = T_v·H_dr²/c_v โดยระยะระบายน้ำ H_dr เท่ากับ H/2 เมื่อน้ำออกได้ทั้งด้านบนและล่าง และ H เมื่อระบายด้านเดียว

เปรียบเทียบกับความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_f = 115 + 70 = 185 kPa ≤ 225 kPa

การทรุดตัว

ดินเหนียวยังอยู่บนเส้นอัดซ้ำ

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·3/(1 + 0.6)·log₁₀(185/115) = 7.743 mm

คำตอบ

S = 7.743 mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: t = 6.448 ปี

ระยะทางระบายน้ำ

H_dr = H = 8 m

เวลา

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.403·8²/4 = 6.448 ปี

คำตอบ

t = 6.448 ปี

17.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 95.65 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·3 = 95.65 kN

คำตอบ

F = 95.65 kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 4.789 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·2.25 = 104.8 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.75 + 0.4219/(4.75·2.25) = 4.789 m

คำตอบ

y_cp = 4.789 m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: h_f = 2.975 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

ความเร็วเฉลี่ย

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²

V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 1.528²/(2·9.81) = 0.119 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(100/0.1)·1.528²/(2·9.81) = 2.975 m

คำตอบ

h_f = 2.975 m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Q = 185.5 L/s

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.022·150/0.25 = 13.2

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

สมการพลังงาน

ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ

15 = (13.2 + 7.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·15/20.6) = 3.78 m/s

อัตราการไหล

Q = V·π·D²/4 = 3.78·0.04909 = 0.1855 m³/s = 185.5 L/s

คำตอบ

Q = 185.5 L/s

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: Q = 8.007 m³/s

สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4

เรขาคณิต

A = (b + z·y)·y = (5 + 1.5·0.9)·0.9 = 5.715 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·0.9·√(1 + 1.5²) = 8.245 m

R = A/P = 0.6931 m

ความเร็ว

V = (1/0.025)·0.6931^2/3·0.002^1/2 = 1.401 m/s

อัตราการไหล

Q = A·V = 5.715·1.401 = 8.007 m³/s

คำตอบ

Q = 8.007 m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: S = 0.01321 m/m

รัศมีไฮดรอลิก

R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m

แก้สมการแมนนิงหา S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1.2/0.1357)² = 0.01321

คำตอบ

S = 0.01321

นั่นคือท้องน้ำลดลง 13.21 m ต่อกิโลเมตร

23.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: η = 84.99 %

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·70 = 103 kW

ประสิทธิภาพ

η = P_h/P_shaft = 103/121.2 = 84.99%

คำตอบ

η = 84.99%

24.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_shaft = 36.79 kW

ความเร็ว

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (55 + 6)·0.3305 = 20.16 m

เฮดของปั๊ม

H = Δz + h_L = 15 + 20.16 = 35.16 m

กำลังที่เพลา

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·35.16/0.75 = 36.79 kW

คำตอบ

P_shaft = 36.79 kW

25.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: PV = 33333 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

เงินงวดตลอดกาลที่เติบโต

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.1 − 0.04) = 2 000/0.06 = €33 333.33

คำตอบ

PV = €33 333.33

26.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: A = 269.4 €

อัตราต่อเดือนและจำนวนครั้งที่ฝาก

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·19 = 228

เงินฝาก

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.004/(2.485 − 1) = €269.40

คำตอบ

A = €269.40

27.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = 20795 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดแต่ละรายการ

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 27 000/1.15 = 23 478.26

CF₂/(1 + 0.15)² = 37 000/1.322 = 27 977.32

CF₃/(1 + 0.15)³ = 37 000/1.521 = 24 328.10

CF₄/(1 + 0.15)⁴ = 35 000/1.749 = 20 011.36

รวมเข้าด้วยกัน

NPV = €20 795.04

คำตอบ

NPV = €20 795.04

NPV เป็นบวก ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่าที่ต้องการ

28.NPV และ IRR

คำตอบ: IRR = 21.95 %

กำหนดช่วงของ IRR

NPV ลดลงเมื่ออัตราเพิ่มขึ้น ดังนั้น IRR จึงอยู่ระหว่างอัตราที่ให้ NPV เป็นบวกกับอัตราที่ให้ NPV เป็นลบ

NPV(20%) = 486.11

NPV(25%) = −720.00

บีบช่วงให้แคบลง

การเทียบสัดส่วนเชิงเส้นให้ค่าประมาณแรก ทำซ้ำ (หรือใช้ฟังก์ชัน IRR ของเครื่องคิดเลข) จะได้อัตราที่แน่นอน

IRR ≈ 20 + 5·486.11/(486.11 − (−720.00)) = 22.02%

ค่าที่แน่นอน: NPV(21.95%) = 0 → IRR = 21.95%

คำตอบ

IRR = 21.95%

29.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.3744

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (250.25 − 250)/5 = 0.05

z₂ = (256.25 − 250)/5 = 1.25

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(1.25) − Φ(0.05) = 0.8944 − 0.5199 = 0.3744

คำตอบ

P = 0.3744

30.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 84.6 คะแนน

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

กลับไปเป็น x

x = 65 + 1.96·10 = 84.6 คะแนน

คำตอบ

x = 84.6 คะแนน

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น การสอบ FE exam จัดโดย NCEES ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems และไม่ได้รับรอง ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil