ฝึกข้อสอบ FE โยธา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 30 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

ความเค้นประสิทธิผลในดิน

ความเค้นรวม: σ = Σγ_i·h_i
ความดันน้ำในช่องว่าง: u = γ_w·(z − z_w)
ความเค้นประสิทธิผล: σ′ = σ − u
น้ำ: γ_w = 9.81 kN/m³

การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

ดินที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ความเค้นสุดท้าย: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
อัตราส่วนการอัดตัวเกิน: OCR = σ′_p/σ′₀
เวลาสำหรับการอัดตัวคายน้ำ: t = T_v·H_dr²/c_v
ระยะทางระบายน้ำ: H_dr = H/2 (ระบายน้ำสองด้าน), H (ระบายน้ำด้านเดียว)
ตัวประกอบเวลา: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

สมการแมนนิง: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
อัตราการไหล: Q = A·V
รัศมีไฮดรอลิก: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y
สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ: R = D/4
ความลาดชันที่ต้องการ: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_B

L = 4 mP₁ = 60 kN ที่ 2 mP₂ = 25 kN ที่ 3 m

R_B = kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

L = 8 mP = 25 kN ที่ 6 mw = 4 kN/m จาก 0 ถึง 1 m

R_B = kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_BC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 8 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 6 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 45 kN

F_BC = kN

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ช่วงกว้าง = 8 mความสูง = 3 mB อยู่ห่างจาก A 1 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 25 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 5 kN ←

F_BC = kN

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาแรงเฉือน V_x ที่หน้าตัด x = 7.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 8 mw = 5 kN/m จาก 0 ถึง 8 mx = 7.5 m

V_x = kN

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

60 kN @ 12 m35 kN @ 2 m5 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานยื่นรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว และแรงกระทำเป็นจุด P ที่ปลายอิสระ จงใช้หลักการซ้อนทับหาการโก่งตัว δ ที่ปลายอิสระ

P = 14 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ b = 2.5 m จากจุดรองรับ B จงหาการโก่งตัวสูงสุด δ_max ของคาน

P = 15 kNb = 2.5 mL = 6 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 40 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หน้าตัดรางรูปตัว U วางโดยด้านเปิดหงายขึ้น: แผ่นฐานกว้าง 260 mm มีขาตั้งตรงสองขา สูงรวม 160 mm ฐานและขาทั้งหมดหนา 12 mm จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x รอบแกนแนวนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 260 mmh = 160 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 25 kN·m หาความเค้นดัด σ_ล่าง ที่ขอบล่าง

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 25 kN·m

σ_ล่าง = MPa

13.ความเค้นประสิทธิผลในดินปานกลาง

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นรวมในแนวดิ่ง σ ที่จุด X

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 15 kN/m³ทราย: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ = kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดินยาก

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นประสิทธิผลในแนวดิ่ง σ′ ที่จุด X

z = 7.5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 15.5 kN/m³ทราย: γ_sat = 19.5 kN/m³ดินเหนียว: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปานกลาง

ชั้นดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติหนา 4 m มี C_c = 0.4, C_r = 0.02 และ e₀ = 0.8 ที่กึ่งกลางชั้นความเค้นประสิทธิผลแนวดิ่งคือ 115 kPa และความดันอัดตัวก่อนหน้าคือ 155 kPa อาคารใหม่เพิ่มความเค้นแนวดิ่ง 170 kPa ที่กึ่งกลางชั้น หาการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ S ใน mm

H = 4 mC_c = 0.4C_r = 0.02e₀ = 0.8σ′₀ = 115 kPaσ′_p = 155 kPaΔσ = 170 kPa

S = mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำยาก

ในการทดสอบออดิโอมิเตอร์ในห้องปฏิบัติการ ตัวอย่างดินเหนียวหนา 20 mm ระบายน้ำที่ด้านบนและด้านล่าง อัดตัวถึง 50% ใน 15 นาที ในสนามดินเหนียวชนิดเดียวกันเป็นชั้นหนา 4 m อยู่บนชั้นหินที่ไม่ซึมน้ำ โดยมีทรายอยู่ด้านบน น้ำจึงระบายออกเฉพาะด้านบน ชั้นดินในสนามใช้เวลากี่วัน t จึงอัดตัวถึง 50%

h_lab = 20 mmt_lab = 15 minH = 4 mในสนาม: ระบายน้ำด้านเดียว

t = วัน

17.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 2.3 m/s ผ่านท่อยาว 50 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน h_f

V = 2.3 m/sL = 50 mD = 200 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

ท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm (ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.025) ต่อจากอ่างเก็บน้ำเปิดและปล่อยน้ำเป็นลำอิสระสู่อากาศ การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 3 ตัว (ตัวละ K = 0.3) และวาล์ว (K = 10) ใช้ g = 9.81 m/s² ผิวอ่างต้องสูงกว่าทางออกของท่อ H เท่าใดเพื่อให้ได้อัตราการไหล 100 L/s

Q = 100 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10

H = m

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง

ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูคอนกรีตไม่เรียบมีความกว้างก้น 1.5 m และความลาดข้าง 2:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 1.8 m แมนนิง n = 0.014 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.001 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s

b = 1.5 my = 1.8 mz = 2n = 0.014S = 0.001

Q = m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก

ท่อระบายน้ำคอนกรีตเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 375 mm (แมนนิง n = 0.013) ต้องมีความเร็วชะล้างตัวเอง 0.6 m/s เมื่อไหลเต็มท่อพอดี หาความลาดชันต่ำสุด S (ใน m/m)

D = 375 mmn = 0.013V = 0.6 m/s

S = m/m

23.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ปั๊มที่มีประสิทธิภาพ 75% ส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 150 L/s ต้านเฮด 32 m ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังที่เพลา P_shaft ที่ต้องใช้ ใน kW

Q = 150 L/sH = 32 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 12 m ท่อยาว 500 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.025 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 6 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 50 L/sΔz = 12 mL = 500 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 6

H = m

25.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

คุณต้องการเงิน €25 000 ในอีก 2 ปี บัญชีให้ดอกเบี้ย 3.6% ต่อปี ทบต้นรายเดือน วันนี้ต้องฝากเท่าใด หามูลค่าปัจจุบัน PV

FV = €25 0003.6% / 12n = 2

PV = €

26.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

คุณกู้ €5 000 ที่ดอกเบี้ย 3% ต่อปี ทบต้นรายเดือน และชำระ €225 ทุกสิ้นเดือน ต้องใช้กี่เดือนจึงชำระหนี้หมด (งวดสุดท้ายอาจน้อยกว่า) ตอบเป็นจำนวนงวดที่ชำระ N

P = €5 000A = €2253% / 12

N = งวด

27.NPV และ IRRปานกลาง

โครงการมีต้นทุนวันนี้ €500 000 ให้ €36 000 ที่สิ้นปีแรก แล้วกระแสเงินสดเติบโต 2% ต่อปีตลอดไป ต้นทุนเงินทุนคือ 11% จงหามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

C₀ = €500 000CF₁ = €36 000g = 2%r = 11%

NPV = €

28.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุน €20 000 และให้ผลตอบแทน €7 000, €15 000 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 2 หาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์

CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 15 000

IRR = %

29.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.7063 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.7063

z =

30.การแจกแจงปกติยาก

อายุการใช้งานของแบตเตอรี่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 10% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 10)

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 48.75 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·2 + 25·3

R_B = 195/4 = 48.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 48.75 = 36.25 kN

คำตอบ

R_B = 48.75 kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 19 kN

แผนภาพวัตถุอิสระ

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN กระทำที่ x̄ = 0.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·6 + 4·1·0.5

R_B = 152/8 = 19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 29 − 19 = 10 kN

คำตอบ

R_B = 19 kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_BC = −47.73 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·6 → C_y = 33.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 33.75 = 11.25 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33.75/0.7071 = −47.73 kN

คำตอบ

F_BC = −47.73 kN (แรงอัด)

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_BC = −3.173 kN

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·1 − 5·3 → C_y = 1.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 1.25 = 23.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

จุดต่อ C

sin γ = 3/7.616 = 0.3939, cos γ = 7/7.616 = 0.9191

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −1.25/0.3939 = −3.173 kN

คำตอบ

F_BC = −3.173 kN (แรงอัด)

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: V_x = −17.5 kN

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN กระทำที่ x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

ตัดที่ x = 7.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

V = R_A − (น้ำหนักบรรทุกลงทั้งหมดทางซ้ายของรอยตัด)

V_x = 20 − 5·7.5 = −17.5 kN

คำตอบ

V_x = −17.5 kN

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: F (x = 10 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 41 kN, R₂ = 104 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 72, M_C = 54, M_D = 16, M_E = −42, M_F = −120 kN·m, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย F: M_F = −120 kN·m

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ = 29.02 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 14000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

δ_P = PL³/(3EI) = 14000·2000³/(3·1.7 × 10¹²) = 21.96 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·1.7 × 10¹²) = 7.059 mm

บวกเข้าด้วยกัน

δ = 21.96 + 7.059 = 29.02 mm

คำตอบ

δ = 29.02 mm

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 70.41 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 15000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

ตำแหน่งของค่าสูงสุด

ตั้งมุมลาดเอียงในช่วงที่ยาวกว่าเท่ากับศูนย์ จะได้ตำแหน่ง

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2500²)/3) = 3149 mm

ระยะแอ่นสูงสุด

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 70.41 mm

คำตอบ

δ_max = 70.41 mm

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 6.89 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·6000 = 6000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/6000² = 6890 N = 6.89 kN

คำตอบ

P_cr = 6.89 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 1.974 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/10 = 1000

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/1000² = 1.974 MPa

คำตอบ

σ_cr = 1.974 MPa

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 17.15 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ให้ถือว่าฐานเต็มความกว้างและขาสองขาอยู่เหนือฐาน (สูง h − t) เพื่อไม่ให้นับซ้ำ

เบส: A₁ = 260·12 = 3120 mm², y₁ = 6 mm

ขาสองขา: A₂ = 2·12·148 = 3552 mm², y₂ = 12 + 148/2 = 86 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (3120·6 + 3552·86)/6672 = 48.59 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

เบส: 260·12³/12 + 3120·(6 − 48.59)² = 5.697 × 10⁶ mm⁴

ขาสองขา: 2·12·148³/12 + 3552·(86 − 48.59)² = 1.145 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.697 × 10⁶ + 1.145 × 10⁷

I_x = 1.715 × 10⁷ mm⁴ = 17.15 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 17.15 × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_ล่าง = 174.2 MPa

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

เอว: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·205 + 2400·100)/5400 = 158.3 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 300·10³/12 + 3000·(205 − 158.3)² = 6.558 × 10⁶ mm⁴

เอว: 12·200³/12 + 2400·(100 − 158.3)² = 1.617 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.558 × 10⁶ + 1.617 × 10⁷ = 2.272 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ

y = 158.3 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·158.3/2.272 × 10⁷ = 174.2 MPa

คำตอบ

σ_ล่าง = 174.2 MPa

13.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ = 132 kPa

ความเค้นประสิทธิผล (เทอร์ซากี): โครงสร้างของดินรับความเค้น σ′ = σ − u ความเค้นรวม σ คือน้ำหนักของทุกสิ่งเหนือจุดนั้น Σγ·h โดยใช้หน่วยน้ำหนักแห้งเหนือระดับน้ำใต้ดิน และหน่วยน้ำหนักอิ่มตัวใต้ระดับน้ำใต้ดิน ใต้ระดับน้ำใต้ดิน ความดันน้ำในช่องว่างเป็นแบบไฮโดรสแตติก: u = γ_w·(ความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน)

ความเค้นรวม

บวกน้ำหนักของดินแต่ละชั้นเหนือ X เหนือระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักแห้ง ใต้ระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักอิ่มตัว

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·1 + 19.5·6 = 132 kPa

คำตอบ

σ = 132 kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ′ = 85.1 kPa

ความเค้นรวม

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2.5

σ = 15.5·3 + 19.5·2 + 17.5·2.5 = 129.3 kPa

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4.5 = 44.15 kPa

ความเค้นประสิทธิผล

σ′ = σ − u = 129.3 − 44.15 = 85.1 kPa

คำตอบ

σ′ = 85.1 kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: S = 240.9 mm

การอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ ของชั้นดินเหนียวหนา H โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลที่กึ่งกลางชั้น: σ′_f = σ′₀ + Δσ ดินเหนียวที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) ดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติจะอัดซ้ำตาม C_r จนถึงความดันอัดตัวก่อนหน้า σ′_p และเป็นไปตาม C_c เฉพาะหลังจากนั้น เวลา: t = T_v·H_dr²/c_v โดยระยะระบายน้ำ H_dr เท่ากับ H/2 เมื่อน้ำออกได้ทั้งด้านบนและล่าง และ H เมื่อระบายด้านเดียว

เปรียบเทียบกับความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_f = 115 + 170 = 285 kPa > 155 kPa

การทรุดตัว

อัดซ้ำจนถึง σ′_p แล้วอัดตัวบริสุทธิ์เมื่อเกินนั้น

S = 0.02·4/(1 + 0.8)·log₁₀(155/115) + 0.4·4/(1 + 0.8)·log₁₀(285/155)

S = 5.762 + 235.1 = 240.9 mm

คำตอบ

S = 240.9 mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: t = 1667 วัน

ระยะระบายน้ำ

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m

H_dr,field = 4 m

ปรับสเกลเวลา

t = T_v·H_dr²/c_v โดยใช้ T_v และ c_v เดียวกันทั้งในห้องปฏิบัติการและในสนาม

t_field = 15·(4/0.01)² = 2.4 × 10⁶ min

t_field = 2.4 × 10⁶/1440 = 1667 วัน

คำตอบ

t = 1667 วัน

17.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 103 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

คำตอบ

F = 103 kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 14.71 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·1 = 14.71 kN

คำตอบ

F = 14.71 kN

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: h_f = 1.213 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 2.3²/(2·9.81) = 0.2696 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(50/0.2)·2.3²/(2·9.81) = 1.213 m

คำตอบ

h_f = 1.213 m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: H = 2.115 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.1/0.07069 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.025·100/0.3 = 8.333

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4

สมการพลังงาน

ลำน้ำที่ทางออกยังมีเฮดความเร็ว ไม่ใช่การสูญเสียแต่ต้องจ่ายให้

H = (1 + 8.333 + 11.4)·0.102 = 2.115 m

คำตอบ

H = 2.115 m

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: Q = 20.2 m³/s

สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4

เรขาคณิต

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 2·1.8)·1.8 = 9.18 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1.8·√(1 + 2²) = 9.55 m

R = A/P = 0.9613 m

ความเร็ว

V = (1/0.014)·0.9613^2/3·0.001^1/2 = 2.2 m/s

อัตราการไหล

Q = A·V = 9.18·2.2 = 20.2 m³/s

คำตอบ

Q = 20.2 m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: S = 0.001429 m/m

รัศมีไฮดรอลิก

R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m

แก้สมการแมนนิงหา S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.6/0.2064)² = 0.001429

คำตอบ

S = 0.001429

นั่นคือท้องน้ำลดลง 1.429 m ต่อกิโลเมตร

23.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_shaft = 62.78 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·32 = 47.09 kW

กำลังที่เพลา

P_shaft = P_h/η = 47.09/0.75 = 62.78 kW

คำตอบ

P_shaft = 62.78 kW

24.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 48.45 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (83.33 + 6)·0.408 = 36.45 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป

H = Δz + h_L = 12 + 36.45 = 48.45 m

คำตอบ

H = 48.45 m

25.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: PV = 23266 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราและจำนวนงวด

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·2 = 24

มูลค่าปัจจุบัน

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.075 = €23 265.78

คำตอบ

PV = €23 265.78

26.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: N = 23 งวด

จัดรูปสูตรเงินงวดใหม่

i = 0.0025

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0.0025/225 = 0.9444

แก้ด้วยลอการิทึม

N = −ln(0.9444)/ln(1.002) = 22.89

ปัดขึ้นเป็นจำนวนงวด

การชำระเต็ม 22 งวดยังเหลือยอดเล็กน้อย ซึ่งงวดสุดท้ายที่น้อยกว่าจะชำระให้หมด

N = 23

คำตอบ

N = 23 งวด

27.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = −100000 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าของกระแสเงินสด

PV = 36 000/(0.11 − 0.02) = 400 000.00

NPV

NPV = 400 000.00 − 500 000 = −€100 000.00

คำตอบ

NPV = −€100 000.00

NPV เป็นลบ ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนน้อยกว่าที่ต้องการ

28.NPV และ IRR

คำตอบ: IRR = 5.853 %

กำหนดช่วงของ IRR

NPV ลดลงเมื่ออัตราเพิ่มขึ้น ดังนั้น IRR จึงอยู่ระหว่างอัตราที่ให้ NPV เป็นบวกกับอัตราที่ให้ NPV เป็นลบ

NPV(5%) = 272.11

NPV(10%) = −1 239.67

บีบช่วงให้แคบลง

การเทียบสัดส่วนเชิงเส้นให้ค่าประมาณแรก ทำซ้ำ (หรือใช้ฟังก์ชัน IRR ของเครื่องคิดเลข) จะได้อัตราที่แน่นอน

IRR ≈ 5 + 5·272.11/(272.11 − (−1 239.67)) = 5.9%

ค่าที่แน่นอน: NPV(5.853%) = 0 → IRR = 5.853%

คำตอบ

IRR = 5.853%

29.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 1.05

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = (1 + 0.7063)/2 = 0.8531

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.8531 ในตารางและอ่านค่า z

z = 1.05

คำตอบ

z = 1.05

30.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 448.7 h

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

กลับไปเป็น x

x = 500 + −1.282·40 = 448.74 h

คำตอบ

x = 448.74 h

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น การสอบ FE exam จัดโดย NCEES ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems และไม่ได้รับรอง ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil