ฝึกข้อสอบ FE โยธา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 30 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

ความเค้นประสิทธิผลในดิน

ความเค้นรวม: σ = Σγ_i·h_i
ความดันน้ำในช่องว่าง: u = γ_w·(z − z_w)
ความเค้นประสิทธิผล: σ′ = σ − u
น้ำ: γ_w = 9.81 kN/m³

การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

ดินที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ความเค้นสุดท้าย: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
อัตราส่วนการอัดตัวเกิน: OCR = σ′_p/σ′₀
เวลาสำหรับการอัดตัวคายน้ำ: t = T_v·H_dr²/c_v
ระยะทางระบายน้ำ: H_dr = H/2 (ระบายน้ำสองด้าน), H (ระบายน้ำด้านเดียว)
ตัวประกอบเวลา: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

สมการแมนนิง: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
อัตราการไหล: Q = A·V
รัศมีไฮดรอลิก: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y
สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ: R = D/4
ความลาดชันที่ต้องการ: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B รับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 6 m จาก A และโมเมนต์คู่ควบ ตามเข็มนาฬิกา M ที่ระยะ 3 m จาก A จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_B โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก

L = 10 mP = 80 kN ที่ 6 mM = 10 kN·m (ตามเข็มนาฬิกา) ที่ 3 m

R_B = kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_B

L = 6 mP = 35 kN ที่ 4.5 mw = 8 kN/m จาก 0 ถึง 2 m

R_B = kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

B: 25 kN ↓D: 10 kN ↓H: 30 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน FC
13ชิ้นส่วน HC

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

B: 15 kN ↓G: 35 kN ↓H: 25 kN ←

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน FC
13ชิ้นส่วน HC

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 2 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 8 mw = 6 kN/m จาก 0 ถึง 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 1.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 4 mP = 60 kN ที่ 1.5 mw = 12 kN/m จาก 0 ถึง 4 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน จงหามุมลาดเอียง θ_A ของคานที่จุดรองรับ A ในหน่วยเรเดียน

w = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w และแรงจุด P ที่กึ่งกลางช่วง ใช้การซ้อนทับหาระยะแอ่น δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

P = 29 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 25 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากลวง (หน้าตัดกล่อง) กว้างภายนอก B = 120 mm สูงภายนอก H = 150 mm และความหนาผนังสม่ำเสมอ t = 6 mm จงหารัศมีไจเรชัน r รอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน

B = 120 mmH = 150 mmt = 6 mm

r = mm

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

คานเหล็กหล่อมีหน้าตัดรูปตัว T ตามที่แสดง โดยปีกอยู่ด้านบน ความเค้นที่ยอมให้คือ 50 MPa สำหรับแรงดึง และ 120 MPa สำหรับแรงอัด จงหาโมเมนต์ดัดแอ่นลงมากที่สุด M_allow ที่คานรับได้

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

13.ความเค้นประสิทธิผลในดินปานกลาง

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความดันน้ำในช่องว่าง u ที่จุด X

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 16 kN/m³ทราย: γ_sat = 20.5 kN/m³

u = kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดินยาก

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นประสิทธิผลในแนวดิ่ง σ′ ที่จุด X

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 15 kN/m³ทราย: γ_sat = 19 kN/m³ดินเหนียว: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปานกลาง

ชั้นดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติหนา 5 m มี C_c = 0.2, C_r = 0.05 และ e₀ = 0.85 ที่กึ่งกลางชั้นความเค้นประสิทธิผลแนวดิ่งคือ 55 kPa และความดันอัดตัวก่อนหน้าคือ 115 kPa อาคารใหม่เพิ่มความเค้นแนวดิ่ง 15 kPa ที่กึ่งกลางชั้น หาการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ S ใน mm

H = 5 mC_c = 0.2C_r = 0.05e₀ = 0.85σ′₀ = 55 kPaσ′_p = 115 kPaΔσ = 15 kPa

S = mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำยาก

ในการทดสอบออดิโอมิเตอร์ในห้องปฏิบัติการ ตัวอย่างดินเหนียวหนา 19 mm ระบายน้ำที่ด้านบนและด้านล่าง อัดตัวถึง 50% ใน 5 นาที ในสนามดินเหนียวชนิดเดียวกันเป็นชั้นหนา 9.5 m อยู่บนชั้นหินที่ไม่ซึมน้ำ โดยมีทรายอยู่ด้านบน น้ำจึงระบายออกเฉพาะด้านบน ชั้นดินในสนามใช้เวลากี่วัน t จึงอัดตัวถึง 50%

h_lab = 19 mmt_lab = 5 minH = 9.5 mในสนาม: ระบายน้ำด้านเดียว

t = วัน

17.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 0.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 0.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 1.4 m/s ผ่านท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน h_f

V = 1.4 m/sL = 150 mD = 100 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

ท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm (ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018) ต่อจากอ่างเก็บน้ำเปิดและปล่อยน้ำเป็นลำอิสระสู่อากาศ การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 2 ตัว (ตัวละ K = 0.3) และวาล์ว (K = 5) ใช้ g = 9.81 m/s² ผิวอ่างต้องสูงกว่าทางออกของท่อ H เท่าใดเพื่อให้ได้อัตราการไหล 50 L/s

Q = 50 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5

H = m

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง

ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูกรวดมีความกว้างก้น 5.5 m และความลาดข้าง 3:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 1.3 m แมนนิง n = 0.025 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.002 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s

b = 5.5 my = 1.3 mz = 3n = 0.025S = 0.002

Q = m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก

ทางน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าดินสะอาดกว้าง 5 m ต้องรองรับ 11 m³/s ในการไหลสม่ำเสมอที่ความลึก 1 m แมนนิง n = 0.022 หาความลาดชันท้องน้ำที่ต้องการ S (ใน m/m)

Q = 11 m³/sb = 5 my = 1 mn = 0.022

S = m/m

23.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 80 L/s ต้านเฮด 80 m ขณะที่เพลาใช้ 76.6 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์

Q = 80 L/sH = 80 mP_shaft = 76.6 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 80 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 14 m ท่อยาว 300 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 4 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ถังบนปิดและอากาศเหนือน้ำมีความดันเกจ 100 kPa หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 80 L/sΔz = 14 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 4p_tank = 100 kPa

H = m

25.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

บัตรเครดิตคิดอัตราดอกเบี้ยตามชื่อ 18% ต่อปี ทบต้นรายเดือน จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี EAR เป็นเปอร์เซ็นต์

r = 18%m = 12

EAR = %

26.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

เงินกู้ €15 000 ผ่อนชำระเท่ากันทุกเดือนเป็นเวลา 3 ปี อัตราดอกเบี้ย 5.4% ต่อปี ทบต้นรายเดือน หาเงินผ่อนต่อเดือน A

P = €15 0005.4% / 12N = 36

A = €

27.NPV และ IRRปานกลาง

เครื่องจักรมีต้นทุนวันนี้ €100 000 ให้เงิน €29 000 ทุกสิ้นปีเป็นเวลา 4 ปี แล้วขายต่อได้ €20 000 ต้นทุนเงินทุนคือ 10% จงหามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

C₀ = €100 000CF = €29 000S = €20 000n = 4r = 10%

NPV = €

28.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุน €25 000 และให้ผลตอบแทน €18 000, €18 000, €16 500 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 หาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 000CF₂ = 18 000CF₃ = 16 500

IRR = %

29.การแจกแจงปกติปานกลาง

มวลของผู้โดยสารพร้อมสัมภาระเป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 85 kg และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 kg จงหาความน่าจะเป็น P ที่มวลรวมของ 5 ชิ้นเกิน 438.4 kg ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 438.4 kg

P =

30.การแจกแจงปกติยาก

คะแนนสอบ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 65 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน ลากค่าตัดให้ส่วนบน 95% ที่แรเงาอยู่ทางขวา หาค่าตัด x

μ = 65 คะแนนσ = 10 คะแนน95%

x = คะแนน

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 49 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

โมเมนต์รอบจุด A

ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: R_B·10 − 80·6 − 10 = 0

R_B = 490/10 = 49 kN

สมดุลในแนวดิ่ง

R_A = 80 − 49 = 31 kN

คำตอบ

R_B = 49 kN

แรงปฏิกิริยาติดลบกระทำลง

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 28.92 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN กระทำที่ x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·4.5 + 8·2·1

R_B = 173.5/6 = 28.92 kN

ΣF_y = 0: R_A = 51 − 28.92 = 22.08 kN

คำตอบ

R_B = 28.92 kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน CG

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ G

FG และ GH อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง CG

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 38.33 kN (T), BC: 38.33 kN (T), CD: 48.33 kN (T), DE: 48.33 kN (T), FG: 43.33 kN (C), GH: 43.33 kN (C), AF: 47.92 kN (C), HE: 60.42 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 6.25 kN (T), HC: 6.25 kN (C)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: CG

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน DH

จุดต่อ D

CD และ DE อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง DH

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 19.58 kN (T), BC: 19.58 kN (T), CD: 22.08 kN (T), DE: 22.08 kN (T), FG: 69.17 kN (C), GH: 69.17 kN (C), AF: 55.73 kN (C), HE: 27.6 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 30.73 kN (T), HC: 27.6 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: DH

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 36 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN กระทำที่ x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

ตัดที่ x = 2 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 24·2 − 6·2·1 = 36 kN·m

คำตอบ

M_x = 36 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 78.75 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN กระทำที่ x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·1.5 + 12·4·2

R_B = 186/4 = 46.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 108 − 46.5 = 61.5 kN

ตัดที่ x = 1.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 61.5·1.5 − 12·1.5·0.75 = 78.75 kN·m

คำตอบ

M_x = 78.75 kN·m

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: θ_A = 0.01077 rad

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) มุมลาดเอียง θ = dv/dx คืออินทิกรัลครั้งแรกของ M/(EI) เมื่อใช้หน่วยสอดคล้องกันจะได้หน่วยเป็นเรเดียน

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

มุมลาดเอียงที่ปลาย

θ_A = wL³/(24EI) = 6·3000³/(24·6.27 × 10¹¹) = 0.01077 rad

คำตอบ

θ_A = 0.01077 rad

นั่นคือ 0.6168°

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 13.38 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 29000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm, EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·2000³/(48·5.95 × 10¹¹) = 8.123 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 5.252 mm

บวกเข้าด้วยกัน

δ_max = 8.123 + 5.252 = 13.38 mm

คำตอบ

δ_max = 13.38 mm

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 3.004 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2100² = 3004 N = 3.004 kN

คำตอบ

P_cr = 3.004 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 1.974 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/10 = 1000

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/1000² = 1.974 MPa

คำตอบ

σ_cr = 1.974 MPa

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: r = 57.11 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = I_c + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด รัศมีไจเรชัน r = √(I/A) คือระยะที่ถ้าพื้นที่ทั้งหมดอยู่ที่ระยะนั้นจะให้ I เท่าเดิม ใช้ในการโก่งเดาะของเสา

พื้นที่สุทธิและโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

b = 108 mm, h = 138 mm

A = BH − bh = 120·150 − 108·138 = 3096 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1.01 × 10⁷ mm⁴

รัศมีไจเรชัน

r = √(I/A) = √(1.01 × 10⁷/3096) = 57.11 mm

คำตอบ

r = 57.11 mm

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: M_allow = 10.69 kN·m

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

เซนทรอยด์

ȳ = (5000·192.5 + 3600·90)/8600 = 149.6 mm

ขอบบน: c = 205 − 149.6 = 55.41 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

I = 200·25³/12 + 5000·42.91² + 20·180³/12 + 3600·59.59² = 3.197 × 10⁷ mm⁴

โมเมนต์ที่แต่ละขอบยอมให้

แอ่นลง: ด้านบนรับแรงอัด ด้านล่างรับแรงดึง

ขอบบน: M = 120·3.197 × 10⁷/55.41 = 69.24 kN·m

ขอบล่าง: M = 50·3.197 × 10⁷/149.6 = 10.69 kN·m

ค่าที่เป็นตัวกำหนด

M_allow = min = 10.69 kN·m (ขอบล่าง)

คำตอบ

M_allow = 10.69 kN·m

13.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: u = 29.43 kPa

ความเค้นประสิทธิผล (เทอร์ซากี): โครงสร้างของดินรับความเค้น σ′ = σ − u ความเค้นรวม σ คือน้ำหนักของทุกสิ่งเหนือจุดนั้น Σγ·h โดยใช้หน่วยน้ำหนักแห้งเหนือระดับน้ำใต้ดิน และหน่วยน้ำหนักอิ่มตัวใต้ระดับน้ำใต้ดิน ใต้ระดับน้ำใต้ดิน ความดันน้ำในช่องว่างเป็นแบบไฮโดรสแตติก: u = γ_w·(ความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน)

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

คำตอบ

u = 29.43 kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ′ = 95.26 kPa

ความเค้นรวม

บวกน้ำหนักของดินแต่ละชั้นเหนือ X เหนือระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักแห้ง ใต้ระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักอิ่มตัว

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 15·4 + 19·1 + 18.5·3 = 134.5 kPa

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

ความเค้นประสิทธิผล

σ′ = σ − u = 134.5 − 39.24 = 95.26 kPa

คำตอบ

σ′ = 95.26 kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: S = 14.15 mm

การอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ ของชั้นดินเหนียวหนา H โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลที่กึ่งกลางชั้น: σ′_f = σ′₀ + Δσ ดินเหนียวที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) ดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติจะอัดซ้ำตาม C_r จนถึงความดันอัดตัวก่อนหน้า σ′_p และเป็นไปตาม C_c เฉพาะหลังจากนั้น เวลา: t = T_v·H_dr²/c_v โดยระยะระบายน้ำ H_dr เท่ากับ H/2 เมื่อน้ำออกได้ทั้งด้านบนและล่าง และ H เมื่อระบายด้านเดียว

เปรียบเทียบกับความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_f = 55 + 15 = 70 kPa ≤ 115 kPa

การทรุดตัว

ดินเหนียวยังอยู่บนเส้นอัดซ้ำ

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.05·5/(1 + 0.85)·log₁₀(70/55) = 14.15 mm

คำตอบ

S = 14.15 mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: t = 3472 วัน

ระยะระบายน้ำ

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 9.5 m

ปรับสเกลเวลา

t = T_v·H_dr²/c_v โดยใช้ T_v และ c_v เดียวกันทั้งในห้องปฏิบัติการและในสนาม

t_field = 5·(9.5/0.0095)² = 5 × 10⁶ min

t_field = 5 × 10⁶/1440 = 3472 วัน

คำตอบ

t = 3472 วัน

17.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 58.86 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·4 = 58.86 kN

คำตอบ

F = 58.86 kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 92.7 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.5·3 = 92.7 kN

คำตอบ

F = 92.7 kN

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: h_f = 3.297 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 1.4²/(2·9.81) = 0.0999 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(150/0.1)·1.4²/(2·9.81) = 3.297 m

คำตอบ

h_f = 3.297 m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: H = 10.24 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.018·150/0.15 = 18

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1

สมการพลังงาน

ลำน้ำที่ทางออกยังมีเฮดความเร็ว ไม่ใช่การสูญเสียแต่ต้องจ่ายให้

H = (1 + 18 + 6.1)·0.408 = 10.24 m

คำตอบ

H = 10.24 m

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: Q = 20.23 m³/s

สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4

เรขาคณิต

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 3·1.3)·1.3 = 12.22 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·1.3·√(1 + 3²) = 13.72 m

R = A/P = 0.8905 m

ความเร็ว

V = (1/0.025)·0.8905^2/3·0.002^1/2 = 1.656 m/s

อัตราการไหล

Q = A·V = 12.22·1.656 = 20.23 m³/s

คำตอบ

Q = 20.23 m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: S = 0.003669 m/m

เรขาคณิต

A = b·y = 5·1 = 5 m²

P = b + 2y = 5 + 2·1 = 7 m

R = A/P = 0.7143 m

แก้สมการแมนนิงหา S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·11/(5·0.7991) = 0.06057

S = 0.06057² = 0.003669

คำตอบ

S = 0.003669

นั่นคือท้องน้ำลดลง 3.669 m ต่อกิโลเมตร

23.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: η = 81.96 %

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·80 = 62.78 kW

ประสิทธิภาพ

η = P_h/P_shaft = 62.78/76.6 = 81.96%

คำตอบ

η = 81.96%

24.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 32.95 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22.5 + 4)·0.3305 = 8.758 m

เฮดความดัน

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองแทบจะนิ่ง จึงไม่มีพจน์เฮดความเร็ว

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 14 + 10.19 + 8.758 = 32.95 m

คำตอบ

H = 32.95 m

25.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: EAR = 19.56 %

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราต่องวด

r/m = 0.18/12 = 0.015

ทบตลอดหนึ่งปี

EAR = (1 + 0.015)¹² − 1 = 1.196 − 1 = 19.56%

คำตอบ

EAR = 19.56%

EAR สูงกว่าอัตราตามชื่อเสมอเมื่อทบต้นมากกว่าหนึ่งครั้งต่อปี

26.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: A = 452.3 €

อัตราต่อเดือนและจำนวนงวดที่ผ่อน

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·3 = 36

เงินผ่อนต่องวด

มูลค่าปัจจุบันของเงินงวด A จำนวน N งวดคือ A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i ให้เท่ากับเงินกู้แล้วแก้หา A

(1 + i)^−N = 0.8508

A = 15 000·0.0045/(1 − 0.8508) = €452.26

คำตอบ

A = €452.26

27.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = 5586 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดรายปี

29 000·3.17 = 91 926.10

มูลค่าปัจจุบันของมูลค่าซาก

20 000/1.464 = 13 660.27

NPV

NPV = −100 000 + 91 926.10 + 13 660.27 = €5 586.37

คำตอบ

NPV = €5 586.37

28.NPV และ IRR

คำตอบ: IRR = 49.61 %

กำหนดช่วงของ IRR

NPV ลดลงเมื่ออัตราเพิ่มขึ้น ดังนั้น IRR จึงอยู่ระหว่างอัตราที่ให้ NPV เป็นบวกกับอัตราที่ให้ NPV เป็นลบ

NPV(45%) = 1 387.31

NPV(50%) = −111.11

บีบช่วงให้แคบลง

การเทียบสัดส่วนเชิงเส้นให้ค่าประมาณแรก ทำซ้ำ (หรือใช้ฟังก์ชัน IRR ของเครื่องคิดเลข) จะได้อัตราที่แน่นอน

IRR ≈ 45 + 5·1 387.31/(1 387.31 − (−111.11)) = 49.63%

ค่าที่แน่นอน: NPV(49.61%) = 0 → IRR = 49.61%

คำตอบ

IRR = 49.61%

29.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.3085

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26.83 kg

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (438.4 − 425)/26.83 = 0.5

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(0.5) = 0.3085

คำตอบ

P = 0.3085

30.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 48.6 คะแนน

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.05

z จากตาราง

z ≈ −1.64

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 65 − 1.64·10 = 48.6 คะแนน

คำตอบ

x = 48.6 คะแนน

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น การสอบ FE exam จัดโดย NCEES ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems และไม่ได้รับรอง ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil