ฝึกข้อสอบ FE โยธา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 30 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

ความเค้นประสิทธิผลในดิน

ความเค้นรวม: σ = Σγ_i·h_i
ความดันน้ำในช่องว่าง: u = γ_w·(z − z_w)
ความเค้นประสิทธิผล: σ′ = σ − u
น้ำ: γ_w = 9.81 kN/m³

การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

ดินที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ความเค้นสุดท้าย: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
อัตราส่วนการอัดตัวเกิน: OCR = σ′_p/σ′₀
เวลาสำหรับการอัดตัวคายน้ำ: t = T_v·H_dr²/c_v
ระยะทางระบายน้ำ: H_dr = H/2 (ระบายน้ำสองด้าน), H (ระบายน้ำด้านเดียว)
ตัวประกอบเวลา: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

สมการแมนนิง: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
อัตราการไหล: Q = A·V
รัศมีไฮดรอลิก: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y
สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ: R = D/4
ความลาดชันที่ต้องการ: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานยื่นยึดแน่นกับผนังที่ A รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว และแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 4 m จากผนัง จงหาขนาดของโมเมนต์ปฏิกิริยา M_A ที่ผนัง

L = 4 mP = 20 kN ที่ 4 mw = 10 kN/m จาก 0 ถึง 4 m

M_A = kN·m

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานยื่นยึดแน่นกับผนังที่ A รับแรงกระทำที่เปลี่ยนแปลงเชิงเส้นซึ่งเป็นศูนย์ที่ผนังและเพิ่มขึ้นเป็น 12 kN/m ที่ปลายอิสระ B บวกแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 6 m จากผนัง จงหาขนาดของโมเมนต์ปฏิกิริยา M_A ที่ผนัง

L = 8 mw₀ = 12 kN/mP = 50 kN ที่ 6 m

M_A = kN·m

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

C: 40 kN ↓D: 35 kN ↓F: 25 kN ↓G: 35 kN ↓H: 15 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน FC
13ชิ้นส่วน HC

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_BC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 5 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 1 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 25 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 10 kN →

F_BC = kN

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาแรงเฉือน V_x ที่หน้าตัด x = 5.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 6 mw = 2 kN/m จาก 0 ถึง 6 mx = 5.5 m

V_x = kN

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 1 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 5 mP = 35 kN ที่ 1 mw = 3 kN/m จาก 0 ถึง 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานยื่นยาว L ถูกยึดแน่นที่ A และรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ a = 2 m จาก A จงหาการโก่งตัว δ_P ใต้แรงกระทำ

P = 17 kNa = 2 mL = 2.5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานยื่นที่มีค้ำยันถูกยึดแน่นที่ A และรองรับอย่างง่าย (ค้ำยัน) ที่ B รับแรงกระทำเป็นจุด P ที่กึ่งกลางช่วงคาน EI คงที่ จงหาขนาดของโมเมนต์ดัด M_A ที่ปลายยึดแน่น

L = 6 mP = 65 kN ที่ 3 m

M_A = kN·m

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 40 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หน้าตัดรางรูปตัว U วางโดยด้านเปิดหงายขึ้น: แผ่นฐานกว้าง 200 mm มีขาตั้งตรงสองขา สูงรวม 80 mm ฐานและขาทั้งหมดหนา 20 mm จงหาความสูง ȳ ของเซนทรอยด์เหนือขอบล่าง

b = 200 mmh = 80 mmt = 20 mm

ȳ = mm

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว I สมมาตรมีปีกกว้าง 140 mm หนา 14 mm ความลึกรวม 340 mm และเอวหนา 14 mm รับโมเมนต์ดัด 30 kN·m รอบแกน x จงหาขนาดของความเค้นดัด σ_j ที่รอยต่อระหว่างเอวกับปีกบน

B = 140 mmH = 340 mmt_f = 14 mmt_w = 14 mmM = 30 kN·m

σ_j = MPa

13.ความเค้นประสิทธิผลในดินปานกลาง

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความดันน้ำในช่องว่าง u ที่จุด X

z = 3 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 16.5 kN/m³ทราย: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดินยาก

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความดันน้ำในช่องว่าง u ที่จุด X

z = 8.5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 17 kN/m³ทราย: γ_sat = 20 kN/m³ดินเหนียว: γ_sat = 17.5 kN/m³

u = kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปานกลาง

ชั้นดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติหนา 3.5 m มี C_c = 0.45, C_r = 0.05 และ e₀ = 0.6 ที่กึ่งกลางชั้นความเค้นประสิทธิผลแนวดิ่งคือ 85 kPa และอัตราส่วนการอัดตัวเกินปกติคือ OCR = 3 อาคารใหม่เพิ่มความเค้นแนวดิ่ง 130 kPa ที่กึ่งกลางชั้น หาการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ S ใน mm

H = 3.5 mC_c = 0.45C_r = 0.05e₀ = 0.6σ′₀ = 85 kPaOCR = 3Δσ = 130 kPa

S = mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำยาก

ในการทดสอบออดิโอมิเตอร์ในห้องปฏิบัติการ ตัวอย่างดินเหนียวหนา 19 mm ระบายน้ำที่ด้านบนและด้านล่าง อัดตัวถึง 50% ใน 6 นาที ในสนามดินเหนียวชนิดเดียวกันเป็นชั้นหนา 10 m อยู่ระหว่างชั้นทรายสองชั้น น้ำจึงระบายออกทั้งด้านบนและด้านล่าง ชั้นดินในสนามใช้เวลากี่วัน t จึงอัดตัวถึง 50%

h_lab = 19 mmt_lab = 6 minH = 10 mในสนาม: ระบายน้ำสองด้าน

t = วัน

17.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำ (ρ = 1000 kg/m³) ไหลด้วย 1.8 m/s ผ่านท่อแนวนอนยาว 400 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.03 และ g = 9.81 m/s² หาความดันตก Δp ตลอดท่อใน kPa

V = 1.8 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 500 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 2 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 10) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² ผลต่างระดับน้ำ Δz ระหว่างอ่างทั้งสองเท่าใดจึงให้อัตราการไหล 200 L/s

Q = 200 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง

ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูงานก่ออิฐมีความกว้างก้น 3.5 m และความลาดข้าง 1.5:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 1.4 m แมนนิง n = 0.015 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.0005 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s

b = 3.5 my = 1.4 mz = 1.5n = 0.015S = 0.0005

Q = m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก

ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูกรวดที่มีความกว้างก้น 5.5 m และความลาดข้าง 1.5:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) ต้องรองรับ 14 m³/s ในการไหลสม่ำเสมอที่ความลึก 0.9 m แมนนิง n = 0.025 หาความลาดชันท้องน้ำที่ต้องการ S (ใน m/m)

Q = 14 m³/sb = 5.5 my = 0.9 mz = 1.5n = 0.025

S = m/m

23.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 80 L/s ต้านเฮด 32 m ขณะที่เพลาใช้ 32.2 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์

Q = 80 L/sH = 32 mP_shaft = 32.2 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 30 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 5 m ท่อยาว 300 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 5 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 30 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 5

H = m

25.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

บัตรเครดิตคิดอัตราดอกเบี้ยตามชื่อ 22% ต่อปี ทบต้นทุกครึ่งปี จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี EAR เป็นเปอร์เซ็นต์

r = 22%m = 2

EAR = %

26.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

คุณออมเงิน €150 ทุกสิ้นเดือนเป็นเวลา 15 ปี บัญชีให้ดอกเบี้ย 7.2% ต่อปี ทบต้นรายเดือน เมื่อสิ้นสุดคุณออมได้เท่าใด หา FV

A = €1507.2% / 12N = 180

FV = €

27.NPV และ IRRปานกลาง

การลงทุน €75 000 ให้กระแสเงินสดเมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 ดังนี้: €31 000, €34 000, €35 000 ต้นทุนเงินทุนคือ 9% หามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 31 000CF₂ = 34 000CF₃ = 35 000

NPV = €

28.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุนวันนี้ €50 000 กระแสเงินสดคือ €6 000 ที่สิ้นปีที่ 1 และเติบโต 5% ต่อปีจนถึงกระแสเงินสดสุดท้ายที่สิ้นปีที่ 10 ต้นทุนเงินทุนคือ 12% จงหามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

C₀ = €50 000CF₁ = €6 000g = 5%n = 10r = 12%

NPV = €

29.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวาของ z เป็น 0.8508 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.8508

z =

30.การแจกแจงปกติยาก

มวล X ของผลิตภัณฑ์จากสายการผลิต 1 และ Y จากสายการผลิต 2 เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ: X มีค่าเฉลี่ย 500 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 g ส่วน Y มีค่าเฉลี่ย 490 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 g จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X มากกว่า Y ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: M_A = 160 kN·m

สมดุลของคานยื่น: จุดรองรับแบบยึดแน่นดันขึ้นได้และต้านการหมุนได้ด้วย จึงให้แรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_A และโมเมนต์ปฏิกิริยา M_A ΣF_y = 0 ให้ R_A และโมเมนต์รอบผนังให้ M_A = Σ(แรง × ระยะจากผนัง) แรงกระทำแบบแผ่กระทำเป็นแรงลัพธ์ที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง

แรงลัพธ์ของแรงกระทำแบบแผ่

W = 10·4 = 40 kN, x̄ = 2 m

โมเมนต์รอบผนัง

M_A = P·a + W·x̄ = 20·4 + 40·2 = 160 kN·m

คำตอบ

M_A = 160 kN·m

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: M_A = 556 kN·m

แรงลัพธ์ของแรงกระทำรูปสามเหลี่ยม

W = ½·12·8 = 48 kN

x̄ = 2L/3 = 5.333 m

โมเมนต์รอบผนัง

M_A = W·x̄ + P·a = 48·5.333 + 50·6 = 556 kN·m

คำตอบ

M_A = 556 kN·m

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน BF

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ B

AB และ BC อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง BF

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 68.75 kN (T), BC: 68.75 kN (T), CD: 81.25 kN (T), DE: 81.25 kN (T), FG: 112.5 kN (C), GH: 112.5 kN (C), AF: 97.23 kN (C), HE: 114.9 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 61.87 kN (T), HC: 44.19 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: BF

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_BC = −20.12 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·1 + 10·2 → C_y = 9 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 9 = 16 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −9/0.4472 = −20.12 kN

คำตอบ

F_BC = −20.12 kN (แรงอัด)

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: V_x = −5 kN

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN กระทำที่ x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

ตัดที่ x = 5.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

V = R_A − (น้ำหนักบรรทุกลงทั้งหมดทางซ้ายของรอยตัด)

V_x = 6 − 2·5.5 = −5 kN

คำตอบ

V_x = −5 kN

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 34 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN กระทำที่ x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·1 + 3·5·2.5

R_B = 72.5/5 = 14.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 14.5 = 35.5 kN

ตัดที่ x = 1 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 35.5·1 − 3·1·0.5 = 34 kN·m

คำตอบ

M_x = 34 kN·m

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_P = 34.34 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 17000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

การโก่งตัวใต้แรงกระทำ

δ_P = Pa³/(3EI) = 17000·2000³/(3·1.32 × 10¹²) = 34.34 mm

คำตอบ

δ_P = 34.34 mm

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: M_A = 73.13 kN·m

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) สำหรับคานอินดีเทอร์มิเนตเชิงสถิตยศาสตร์ ให้ถอดจุดรองรับส่วนเกินออกแล้วกำหนดให้การโก่งตัวตรงนั้นเป็นศูนย์ (ความสอดคล้อง)

ถอดค้ำยันออก

เมื่อไม่มีค้ำยัน คานจะเป็นคานยื่น ปลายอิสระจะโก่งตัวภายใต้แรงกระทำ

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

ความสอดคล้องของการโก่งตัวที่ค้ำยัน

แรงจากค้ำยัน R_B เพียงอย่างเดียวยกปลายอิสระขึ้น R_BL³/(3EI) ค้ำยันทำให้ B มีการโก่งตัวเป็นศูนย์ ดังนั้นทั้งสองค่าต้องหักล้างกัน EI หักล้างกันไป

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·65/16 = 20.31 kN

โมเมนต์ที่ปลายยึดแน่น

โมเมนต์รอบ A ของแรงกระทำและแรงจากค้ำยัน

M_A = P·L/2 − R_B·L = 195 − 121.9 = 73.13 kN·m

คำตอบ

M_A = 73.13 kN·m

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 14.06 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4200² = 14062 N = 14.06 kN

คำตอบ

P_cr = 14.06 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 7.676 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7.676 MPa

คำตอบ

σ_cr = 7.676 MPa

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: ȳ = 25 mm

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ให้ถือว่าฐานเต็มความกว้างและขาสองขาอยู่เหนือฐาน (สูง h − t) เพื่อไม่ให้นับซ้ำ

เบส: A₁ = 200·20 = 4000 mm², y₁ = 10 mm

ขาสองขา: A₂ = 2·20·60 = 2400 mm², y₂ = 20 + 60/2 = 50 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (4000·10 + 2400·50)/6400 = 25 mm

คำตอบ

ȳ = 25 mm

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_j = 33.51 MPa

สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านนอกลบช่องว่างด้านข้างสองช่อง

ช่องว่างทั้งสองรวมกันกว้าง (B − t_w) และสูง h_w = H − 2t_f และใช้แกน x ร่วมกัน

h_w = 340 − 2·14 = 312 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·340³ − 126·312³)/12

I_x = 1.396 × 10⁸ mm⁴

ความเค้นดัด

y = 170 − 14 = 156 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·156/1.396 × 10⁸ = 33.51 MPa

คำตอบ

σ_j = 33.51 MPa

13.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: u = 19.62 kPa

ความเค้นประสิทธิผล (เทอร์ซากี): โครงสร้างของดินรับความเค้น σ′ = σ − u ความเค้นรวม σ คือน้ำหนักของทุกสิ่งเหนือจุดนั้น Σγ·h โดยใช้หน่วยน้ำหนักแห้งเหนือระดับน้ำใต้ดิน และหน่วยน้ำหนักอิ่มตัวใต้ระดับน้ำใต้ดิน ใต้ระดับน้ำใต้ดิน ความดันน้ำในช่องว่างเป็นแบบไฮโดรสแตติก: u = γ_w·(ความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน)

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

คำตอบ

u = 19.62 kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: u = 63.77 kPa

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6.5 = 63.77 kPa

คำตอบ

u = 63.77 kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: S = 44.08 mm

การอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ ของชั้นดินเหนียวหนา H โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลที่กึ่งกลางชั้น: σ′_f = σ′₀ + Δσ ดินเหนียวที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) ดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติจะอัดซ้ำตาม C_r จนถึงความดันอัดตัวก่อนหน้า σ′_p และเป็นไปตาม C_c เฉพาะหลังจากนั้น เวลา: t = T_v·H_dr²/c_v โดยระยะระบายน้ำ H_dr เท่ากับ H/2 เมื่อน้ำออกได้ทั้งด้านบนและล่าง และ H เมื่อระบายด้านเดียว

ความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·85 = 255 kPa

เปรียบเทียบกับความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_f = 85 + 130 = 215 kPa ≤ 255 kPa

การทรุดตัว

ดินเหนียวยังอยู่บนเส้นอัดซ้ำ

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.05·3.5/(1 + 0.6)·log₁₀(215/85) = 44.08 mm

คำตอบ

S = 44.08 mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: t = 1154 วัน

ระยะระบายน้ำ

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 10/2 = 5 m

ปรับสเกลเวลา

t = T_v·H_dr²/c_v โดยใช้ T_v และ c_v เดียวกันทั้งในห้องปฏิบัติการและในสนาม

t_field = 6·(5/0.0095)² = 1.662 × 10⁶ min

t_field = 1.662 × 10⁶/1440 = 1154 วัน

คำตอบ

t = 1154 วัน

17.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 138 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·3.75 = 138 kN

คำตอบ

F = 138 kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 5.067 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·5·6 = 370.8 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5 + 2/(5·6) = 5.067 m

คำตอบ

y_cp = 5.067 m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Δp = 194.4 kPa

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

การสูญเสียเฮด

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(400/0.1)·1.8²/(2·9.81) = 19.82 m

ความดันตก

ท่ออยู่ในแนวนอนและความเร็วไม่เปลี่ยน สมการพลังงานจึงเหลือ Δp = ρ·g·h_f

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·19.82 = 194400 Pa = 194.4 kPa

คำตอบ

Δp = 194.4 kPa

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Δz = 15.14 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.015·500/0.3 = 25

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1

การสูญเสียเฮดรวม

h_f = 25·0.408 = 10.2 m

h_m = 12.1·0.408 = 4.937 m

Δz = h_f + h_m = 15.14 m

คำตอบ

Δz = 15.14 m

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: Q = 11.03 m³/s

สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4

เรขาคณิต

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1.5·1.4)·1.4 = 7.84 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.4·√(1 + 1.5²) = 8.548 m

R = A/P = 0.9172 m

ความเร็ว

V = (1/0.015)·0.9172^2/3·0.0005^1/2 = 1.407 m/s

อัตราการไหล

Q = A·V = 7.84·1.407 = 11.03 m³/s

คำตอบ

Q = 11.03 m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: S = 0.005137 m/m

เรขาคณิต

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 1.5·0.9)·0.9 = 6.165 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·0.9·√(1 + 1.5²) = 8.745 m

R = A/P = 0.705 m

แก้สมการแมนนิงหา S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·14/(6.165·0.7921) = 0.07167

S = 0.07167² = 0.005137

คำตอบ

S = 0.005137

นั่นคือท้องน้ำลดลง 5.137 m ต่อกิโลเมตร

23.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: η = 77.99 %

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·32 = 25.11 kW

ประสิทธิภาพ

η = P_h/P_shaft = 25.11/32.2 = 77.99%

คำตอบ

η = 77.99%

24.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 10.14 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0.1469 = 5.141 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป

H = Δz + h_L = 5 + 5.141 = 10.14 m

คำตอบ

H = 10.14 m

25.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: EAR = 23.21 %

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราต่องวด

r/m = 0.22/2 = 0.11

ทบตลอดหนึ่งปี

EAR = (1 + 0.11)² − 1 = 1.232 − 1 = 23.21%

คำตอบ

EAR = 23.21%

EAR สูงกว่าอัตราตามชื่อเสมอเมื่อทบต้นมากกว่าหนึ่งครั้งต่อปี

26.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: FV = 48380 €

อัตราต่อเดือนและจำนวนครั้งที่ฝาก

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·15 = 180

มูลค่าในอนาคตของเงินฝาก

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2.935 − 1)/0.006 = €48 379.80

คำตอบ

FV = €48 379.80

คุณจ่ายเงินต้นเอง €27 000 ส่วนที่เหลือคือดอกเบี้ย

27.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = 9084 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดแต่ละรายการ

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 31 000/1.09 = 28 440.37

CF₂/(1 + 0.09)² = 34 000/1.188 = 28 617.12

CF₃/(1 + 0.09)³ = 35 000/1.295 = 27 026.42

รวมเข้าด้วยกัน

NPV = €9 083.91

คำตอบ

NPV = €9 083.91

NPV เป็นบวก ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่าที่ต้องการ

28.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = −9239 €

มูลค่าปัจจุบันของเงินงวดที่เติบโต

((1.05)/(1.12))¹⁰ = 0.5245

PV = 6 000/(0.12 − 0.05)·(1 − 0.5245) = 40 760.53

NPV

NPV = 40 760.53 − 50 000 = −€9 239.47

คำตอบ

NPV = −€9 239.47

NPV เป็นลบ ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนน้อยกว่าที่ต้องการ

29.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = −1.04

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = 1 − 0.8508 = 0.1492

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.1492 ในตารางและอ่านค่า z

z = −1.04

คำตอบ

z = −1.04

30.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.8413

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 10)/10 = −1

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

คำตอบ

P = 0.8413

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น การสอบ FE exam จัดโดย NCEES ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems และไม่ได้รับรอง ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil