ฝึกข้อสอบ FE โยธา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 30 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

ความเค้นประสิทธิผลในดิน

ความเค้นรวม: σ = Σγ_i·h_i
ความดันน้ำในช่องว่าง: u = γ_w·(z − z_w)
ความเค้นประสิทธิผล: σ′ = σ − u
น้ำ: γ_w = 9.81 kN/m³

การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

ดินที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ความเค้นสุดท้าย: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
อัตราส่วนการอัดตัวเกิน: OCR = σ′_p/σ′₀
เวลาสำหรับการอัดตัวคายน้ำ: t = T_v·H_dr²/c_v
ระยะทางระบายน้ำ: H_dr = H/2 (ระบายน้ำสองด้าน), H (ระบายน้ำด้านเดียว)
ตัวประกอบเวลา: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

สมการแมนนิง: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
อัตราการไหล: Q = A·V
รัศมีไฮดรอลิก: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y
สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ: R = D/4
ความลาดชันที่ต้องการ: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานยื่นยึดแน่นกับผนังที่ A รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w จากผนังถึง 3 m และแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 4 m จากผนัง จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_A ที่ผนัง

L = 5 mP = 50 kN ที่ 4 mw = 4 kN/m จาก 0 ถึง 3 m

R_A = kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_A

L = 10 mP = 60 kN ที่ 9 mw = 2 kN/m จาก 3 ถึง 6 m

R_A = kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_BC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 6 mความสูง = 3 mB อยู่ห่างจาก A 4 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 50 kN

F_BC = kN

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_AB ในชิ้นส่วน AB ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 8 mความสูง = 3 mB อยู่ห่างจาก A 6 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 45 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 20 kN →

F_AB = kN

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาแรงเฉือน V_x ที่หน้าตัด x = 4 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 5 mw = 6 kN/m จาก 0 ถึง 5 mx = 4 m

V_x = kN

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

55 kN @ 6 m35 kN @ 2 m8 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานไม้ช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 100 mm รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคานต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 จงหาความลึกที่น้อยที่สุด h_req ของหน้าตัด

w = 2.5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)b = 100 mm

h_req = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 1 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 1 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 30 kN·m หาความเค้นดัด σ_ล่าง ที่ขอบล่าง

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mmM = 30 kN·m

σ_ล่าง = MPa

13.ความเค้นประสิทธิผลในดินปานกลาง

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความดันน้ำในช่องว่าง u ที่จุด X

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 15 kN/m³ทราย: γ_sat = 20.5 kN/m³

u = kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดินยาก

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นประสิทธิผลในแนวดิ่ง σ′ ที่จุด X

z = 8.5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 17 kN/m³ทราย: γ_sat = 19.5 kN/m³ดินเหนียว: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปานกลาง

ชั้นดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติหนา 7 m มี C_c = 0.4, C_r = 0.06 และ e₀ = 0.75 ที่กึ่งกลางชั้นความเค้นประสิทธิผลแนวดิ่งคือ 45 kPa และความดันอัดตัวก่อนหน้าคือ 115 kPa อาคารใหม่เพิ่มความเค้นแนวดิ่ง 220 kPa ที่กึ่งกลางชั้น หาการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ S ใน mm

H = 7 mC_c = 0.4C_r = 0.06e₀ = 0.75σ′₀ = 45 kPaσ′_p = 115 kPaΔσ = 220 kPa

S = mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำยาก

ชั้นดินเหนียวหนา 7 m มีสัมประสิทธิ์การอัดตัวคายน้ำ c_v = 2 m²/ปี อยู่บนชั้นหินที่ไม่ซึมน้ำ โดยมีทรายอยู่ด้านบน น้ำจึงระบายออกเฉพาะด้านบน สำหรับการอัดตัวเฉลี่ย 90% ตัวประกอบเวลาคือ T_v = 0.848 ชั้นดินใช้เวลากี่ปี t จึงอัดตัวถึง 90%

H = 7 mc_v = 2 m²/ปีU = 90%T_v = 0.848ระบายน้ำด้านเดียว

t = ปี

17.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำ (ρ = 1000 kg/m³) ไหลด้วย 1.3 m/s ผ่านท่อแนวนอนยาว 50 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 และ g = 9.81 m/s² หาความดันตก Δp ตลอดท่อใน kPa

V = 1.3 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

ท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm (ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.025) ต่อจากอ่างเก็บน้ำเปิดและปล่อยน้ำเป็นลำอิสระสู่อากาศ การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 2 ตัว (ตัวละ K = 0.3) และวาล์ว (K = 10) ใช้ g = 9.81 m/s² ผิวอ่างต้องสูงกว่าทางออกของท่อ H เท่าใดเพื่อให้ได้อัตราการไหล 200 L/s

Q = 200 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10

H = m

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง

ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูดินสะอาดมีความกว้างก้น 5 m และความลาดข้าง 1:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 1.6 m แมนนิง n = 0.022 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.0015 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s

b = 5 my = 1.6 mz = 1n = 0.022S = 0.0015

Q = m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก

ท่อระบายน้ำคอนกรีตเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 375 mm (แมนนิง n = 0.013) ต้องมีความเร็วชะล้างตัวเอง 0.75 m/s เมื่อไหลเต็มท่อพอดี หาความลาดชันต่ำสุด S (ใน m/m)

D = 375 mmn = 0.013V = 0.75 m/s

S = m/m

23.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ปั๊มที่มีประสิทธิภาพ 80% ส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s ต้านเฮด 30 m ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังที่เพลา P_shaft ที่ต้องใช้ ใน kW

Q = 50 L/sH = 30 mη = 80%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 40 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 8 m ท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 40 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8

H = m

25.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

คุณต้องการเงิน €40 000 ในอีก 6 ปี บัญชีให้ดอกเบี้ย 2% ต่อปี ทบต้นรายเดือน วันนี้ต้องฝากเท่าใด หามูลค่าปัจจุบัน PV

FV = €40 0002% / 12n = 6

PV = €

26.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

คุณฝาก €3 000 ต้นปีทุกปีเป็นเวลา 29 ปี โดยฝากครั้งแรกวันนี้ บัญชีให้ดอกเบี้ย 8% ต่อปี เมื่อสิ้นปีที่ 29 จะมีเงินในบัญชีเท่าใด จงหา FV

A = €3 000i = 8%n = 29

FV = €

27.NPV และ IRRปานกลาง

โครงการมีต้นทุนวันนี้ €100 000 ให้ €10 000 ที่สิ้นปีแรก แล้วกระแสเงินสดเติบโต 1% ต่อปีตลอดไป ต้นทุนเงินทุนคือ 12% จงหามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

C₀ = €100 000CF₁ = €10 000g = 1%r = 12%

NPV = €

28.NPV และ IRRยาก

เงินลงทุน €80 000 ให้ผลตอบแทน €30 000 ทุกสิ้นปีเป็นเวลา 3 ปี จงหาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์

C₀ = €80 000CF = €30 000n = 3

IRR = %

29.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.9586 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.9586

z =

30.การแจกแจงปกติยาก

อายุการใช้งานของแบตเตอรี่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 20% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20)

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 62 kN

สมดุลของคานยื่น: จุดรองรับแบบยึดแน่นดันขึ้นได้และต้านการหมุนได้ด้วย จึงให้แรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_A และโมเมนต์ปฏิกิริยา M_A ΣF_y = 0 ให้ R_A และโมเมนต์รอบผนังให้ M_A = Σ(แรง × ระยะจากผนัง) แรงกระทำแบบแผ่กระทำเป็นแรงลัพธ์ที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง

แรงลัพธ์ของแรงกระทำแบบแผ่

W = 4·3 = 12 kN, x̄ = 1.5 m

สมดุลในแนวดิ่ง

R_A = P + W = 50 + 12 = 62 kN

คำตอบ

R_A = 62 kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 9.3 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN กระทำที่ x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·9 + 2·3·4.5

R_B = 567/10 = 56.7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 56.7 = 9.3 kN

คำตอบ

R_A = 9.3 kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_BC = −40.06 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·4 → C_y = 33.33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 33.33 = 16.67 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33.33/0.8321 = −40.06 kN

คำตอบ

F_BC = −40.06 kN (แรงอัด)

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_AB = −8.385 kN

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·6 + 20·3 → C_y = 41.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 41.25 = 3.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

จุดต่อ A

สมมติให้ทุกชิ้นส่วนรับแรงดึง (ดึงออกจากจุดต่อ) มีเพียง AB ที่มีองค์ประกอบแนวดิ่งที่ A

sin α = 3/6.708 = 0.4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3.75/0.4472 = −8.385 kN

คำตอบ

F_AB = −8.385 kN (แรงอัด)

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: V_x = −9 kN

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN กระทำที่ x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2.5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

ตัดที่ x = 4 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

V = R_A − (น้ำหนักบรรทุกลงทั้งหมดทางซ้ายของรอยตัด)

V_x = 15 − 6·4 = −9 kN

คำตอบ

V_x = −9 kN

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: E (x = 4 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 6 kN, R₂ = 116 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 2, M_C = −4, M_D = −53, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย E: M_E = −110 kN·m

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 2.152 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่น

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 2.152 mm

คำตอบ

δ_max = 2.152 mm

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: h_req = 201.5 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 2.5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2.5·4000⁴/(384·11000·11.11) = 6.818 × 10⁷ mm⁴

ความลึกที่ต้องการ

bh³/12 = I_req → h = (12·6.818 × 10⁷/100)^1/3 = 201.5 mm

คำตอบ

h_req = 201.5 mm

ในทางปฏิบัติ ให้เลือกความลึกมาตรฐานถัดไปที่สูงกว่าค่านี้

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 31.09 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·1000 = 2000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2000² = 31089 N = 31.09 kN

คำตอบ

P_cr = 31.09 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 69.09 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/10 = 100

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

คำตอบ

σ_cr = 69.09 MPa

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 11.9 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172.5 mm

เอว: A_w = 8·160 = 1280 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·172.5 + 1280·80)/6780 = 155 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 220·25³/12 + 5500·(172.5 − 155)² = 1.964 × 10⁶ mm⁴

เอว: 8·160³/12 + 1280·(80 − 155)² = 9.938 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.964 × 10⁶ + 9.938 × 10⁶ = 1.19 × 10⁷ mm⁴ = 11.9 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 11.9 × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_ล่าง = 110.6 MPa

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247.5 mm

เอว: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·247.5 + 3840·120)/7740 = 184.2 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 260·15³/12 + 3900·(247.5 − 184.2)² = 1.568 × 10⁷ mm⁴

เอว: 16·240³/12 + 3840·(120 − 184.2)² = 3.428 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.568 × 10⁷ + 3.428 × 10⁷ = 4.996 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ

y = 184.2 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·184.2/4.996 × 10⁷ = 110.6 MPa

คำตอบ

σ_ล่าง = 110.6 MPa

13.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: u = 19.62 kPa

ความเค้นประสิทธิผล (เทอร์ซากี): โครงสร้างของดินรับความเค้น σ′ = σ − u ความเค้นรวม σ คือน้ำหนักของทุกสิ่งเหนือจุดนั้น Σγ·h โดยใช้หน่วยน้ำหนักแห้งเหนือระดับน้ำใต้ดิน และหน่วยน้ำหนักอิ่มตัวใต้ระดับน้ำใต้ดิน ใต้ระดับน้ำใต้ดิน ความดันน้ำในช่องว่างเป็นแบบไฮโดรสแตติก: u = γ_w·(ความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน)

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

คำตอบ

u = 19.62 kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ′ = 99.29 kPa

ความเค้นรวม

บวกน้ำหนักของดินแต่ละชั้นเหนือ X เหนือระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักแห้ง ใต้ระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักอิ่มตัว

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2.5

σ = 17·3 + 19.5·3 + 17.5·2.5 = 153.3 kPa

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5.5 = 53.96 kPa

ความเค้นประสิทธิผล

σ′ = σ − u = 153.3 − 53.96 = 99.29 kPa

คำตอบ

σ′ = 99.29 kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: S = 677.9 mm

การอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ ของชั้นดินเหนียวหนา H โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลที่กึ่งกลางชั้น: σ′_f = σ′₀ + Δσ ดินเหนียวที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) ดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติจะอัดซ้ำตาม C_r จนถึงความดันอัดตัวก่อนหน้า σ′_p และเป็นไปตาม C_c เฉพาะหลังจากนั้น เวลา: t = T_v·H_dr²/c_v โดยระยะระบายน้ำ H_dr เท่ากับ H/2 เมื่อน้ำออกได้ทั้งด้านบนและล่าง และ H เมื่อระบายด้านเดียว

เปรียบเทียบกับความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_f = 45 + 220 = 265 kPa > 115 kPa

การทรุดตัว

อัดซ้ำจนถึง σ′_p แล้วอัดตัวบริสุทธิ์เมื่อเกินนั้น

S = 0.06·7/(1 + 0.75)·log₁₀(115/45) + 0.4·7/(1 + 0.75)·log₁₀(265/115)

S = 97.8 + 580.1 = 677.9 mm

คำตอบ

S = 677.9 mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: t = 20.78 ปี

ระยะทางระบายน้ำ

H_dr = H = 7 m

เวลา

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·7²/2 = 20.78 ปี

คำตอบ

t = 20.78 ปี

17.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 134.9 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·5 = 134.9 kN

คำตอบ

F = 134.9 kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 4.083 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·2 = 80.44 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 0.6667/(4·2) = 4.083 m

คำตอบ

y_cp = 4.083 m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Δp = 3.38 kPa

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

การสูญเสียเฮด

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(50/0.25)·1.3²/(2·9.81) = 0.3445 m

ความดันตก

ท่ออยู่ในแนวนอนและความเร็วไม่เปลี่ยน สมการพลังงานจึงเหลือ Δp = ρ·g·h_f

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·0.3445 = 3380 Pa = 3.38 kPa

คำตอบ

Δp = 3.38 kPa

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: H = 10.04 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.025·150/0.3 = 12.5

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 = 11.1

สมการพลังงาน

ลำน้ำที่ทางออกยังมีเฮดความเร็ว ไม่ใช่การสูญเสียแต่ต้องจ่ายให้

H = (1 + 12.5 + 11.1)·0.408 = 10.04 m

คำตอบ

H = 10.04 m

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: Q = 19.91 m³/s

สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4

เรขาคณิต

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·1.6)·1.6 = 10.56 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1.6·√(1 + 1²) = 9.525 m

R = A/P = 1.109 m

ความเร็ว

V = (1/0.022)·1.109^2/3·0.0015^1/2 = 1.886 m/s

อัตราการไหล

Q = A·V = 10.56·1.886 = 19.91 m³/s

คำตอบ

Q = 19.91 m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: S = 0.002232 m/m

รัศมีไฮดรอลิก

R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m

แก้สมการแมนนิงหา S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.75/0.2064)² = 0.002232

คำตอบ

S = 0.002232

นั่นคือท้องน้ำลดลง 2.232 m ต่อกิโลเมตร

23.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_shaft = 18.39 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·30 = 14.71 kW

กำลังที่เพลา

P_shaft = P_h/η = 14.71/0.8 = 18.39 kW

คำตอบ

P_shaft = 18.39 kW

24.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 10.15 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s

V²/(2g) = 0.08263 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 8)·0.08263 = 2.148 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป

H = Δz + h_L = 8 + 2.148 = 10.15 m

คำตอบ

H = 10.15 m

25.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: PV = 35480 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราและจำนวนงวด

i = 0.02/12 = 0.001667

N = 12·6 = 72

มูลค่าปัจจุบัน

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.127 = €35 480.36

คำตอบ

PV = €35 480.36

26.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: FV = 336850 €

ตัวคูณเงินงวดปกติ

((1 + 0.08)²⁹ − 1)/0.08 = 104

เงินงวดต้นงวด

เงินฝากแต่ละครั้งถูกลงทุนนานกว่าหนึ่งปี

FV = 3 000·104·1.08 = €336 849.63

คำตอบ

FV = €336 849.63

27.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = −9091 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าของกระแสเงินสด

PV = 10 000/(0.12 − 0.01) = 90 909.09

NPV

NPV = 90 909.09 − 100 000 = −€9 090.91

คำตอบ

NPV = −€9 090.91

NPV เป็นลบ ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนน้อยกว่าที่ต้องการ

28.NPV และ IRR

คำตอบ: IRR = 6.129 %

ตัวคูณเงินงวดที่ต้องการ

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 80 000/30 000 = 2.667

แก้หาอัตรา

ตัวคูณเงินงวดลดลงเมื่ออัตราสูงขึ้น ให้กำหนดช่วงของอัตราแล้วค่อย ๆ ตีกรอบให้แคบลง

i = 6%: 2.673

i = 7%: 2.624

IRR = 6.129%

คำตอบ

IRR = 6.129%

29.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 2.04

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = (1 + 0.9586)/2 = 0.9793

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.9793 ในตารางและอ่านค่า z

z = 2.04

คำตอบ

z = 2.04

30.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 466.3 h

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

กลับไปเป็น x

x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h

คำตอบ

x = 466.34 h

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น การสอบ FE exam จัดโดย NCEES ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems และไม่ได้รับรอง ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil