ฝึกข้อสอบ FE โยธา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 30 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

ความเค้นประสิทธิผลในดิน

ความเค้นรวม: σ = Σγ_i·h_i
ความดันน้ำในช่องว่าง: u = γ_w·(z − z_w)
ความเค้นประสิทธิผล: σ′ = σ − u
น้ำ: γ_w = 9.81 kN/m³

การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

ดินที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ความเค้นสุดท้าย: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
อัตราส่วนการอัดตัวเกิน: OCR = σ′_p/σ′₀
เวลาสำหรับการอัดตัวคายน้ำ: t = T_v·H_dr²/c_v
ระยะทางระบายน้ำ: H_dr = H/2 (ระบายน้ำสองด้าน), H (ระบายน้ำด้านเดียว)
ตัวประกอบเวลา: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

สมการแมนนิง: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
อัตราการไหล: Q = A·V
รัศมีไฮดรอลิก: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y
สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ: R = D/4
ความลาดชันที่ต้องการ: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_A

L = 4 mP₁ = 15 kN ที่ 1 mP₂ = 15 kN ที่ 3 m

R_A = kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

L = 8 mP = 60 kN ที่ 4 mw = 12 kN/m จาก 6 ถึง 7 m

R_A = kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

B: 15 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน BG
13ชิ้นส่วน DG

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_AB ในชิ้นส่วน AB ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 5 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 2 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 35 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 15 kN →

F_AB = kN

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

45 kN @ 6 m10 kN/m, 4–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

30 kN @ 0 m50 kN @ 12 m10 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานยื่นรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว หาระยะแอ่น δ ที่ปลายอิสระ

w = 8 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_req ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 1.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 115 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 115 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

แผ่น 200 mm × 200 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 60 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 200 mmh = 200 mmd = 30 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

คานเหล็กหล่อมีหน้าตัดรูปตัว T ตามที่แสดง โดยปีกอยู่ด้านบน ความเค้นที่ยอมให้คือ 35 MPa สำหรับแรงดึง และ 100 MPa สำหรับแรงอัด จงหาโมเมนต์ดัดแอ่นลงมากที่สุด M_allow ที่คานรับได้

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

13.ความเค้นประสิทธิผลในดินปานกลาง

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นประสิทธิผลในแนวดิ่ง σ′ ที่จุด X

z = 9 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 16 kN/m³ทราย: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดินยาก

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นรวมในแนวดิ่ง σ ที่จุด X

z = 9 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 17 kN/m³ทราย: γ_sat = 20 kN/m³ดินเหนียว: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปานกลาง

ชั้นดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติหนา 6.5 m มี C_c = 0.2, C_r = 0.03 และ e₀ = 0.6 ที่กึ่งกลางชั้นความเค้นประสิทธิผลแนวดิ่งคือ 45 kPa และอัตราส่วนการอัดตัวเกินปกติคือ OCR = 3 อาคารใหม่เพิ่มความเค้นแนวดิ่ง 170 kPa ที่กึ่งกลางชั้น หาการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ S ใน mm

H = 6.5 mC_c = 0.2C_r = 0.03e₀ = 0.6σ′₀ = 45 kPaOCR = 3Δσ = 170 kPa

S = mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำยาก

ในการทดสอบออดิโอมิเตอร์ในห้องปฏิบัติการ ตัวอย่างดินเหนียวหนา 19 mm ระบายน้ำที่ด้านบนและด้านล่าง อัดตัวถึง 50% ใน 10 นาที ในสนามดินเหนียวชนิดเดียวกันเป็นชั้นหนา 7 m อยู่บนชั้นหินที่ไม่ซึมน้ำ โดยมีทรายอยู่ด้านบน น้ำจึงระบายออกเฉพาะด้านบน ชั้นดินในสนามใช้เวลากี่วัน t จึงอัดตัวถึง 50%

h_lab = 19 mmt_lab = 10 minH = 7 mในสนาม: ระบายน้ำด้านเดียว

t = วัน

17.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 1.9 m/s ผ่านท่อยาว 800 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.03 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน h_f

V = 1.9 m/sL = 800 mD = 100 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 300 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 27 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 4 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 5) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s

Δz = 27 mL = 300 mD = 300 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง

ทางน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าคอนกรีตไม่เรียบกว้าง 1.5 m น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 1.6 m แมนนิง n = 0.014 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.0015 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s

b = 1.5 my = 1.6 mn = 0.014S = 0.0015

Q = m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก

ท่อระบายน้ำคอนกรีตเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 450 mm (แมนนิง n = 0.013) ต้องมีความเร็วชะล้างตัวเอง 1.2 m/s เมื่อไหลเต็มท่อพอดี หาความลาดชันต่ำสุด S (ใน m/m)

D = 450 mmn = 0.013V = 1.2 m/s

S = m/m

23.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s ต้านเฮด 56 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 65% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 94% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า P_el ที่มอเตอร์ดึง ใน kW

Q = 50 L/sH = 56 mη_pump = 65%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 25 m ท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ประสิทธิภาพปั๊มคือ 82% หากำลังที่เพลา P_shaft ใน kW

Q = 50 L/sΔz = 25 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

25.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

คุณลงทุน €12 000 ที่อัตราตามชื่อ 3.6% ต่อปี ทบต้นรายไตรมาส หามูลค่า FV ของเงินลงทุนหลังผ่านไป 4 ปี

PV = €12 0003.6% / 4n = 4

FV = €

26.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

คุณฝาก €1 000 ต้นปีทุกปีเป็นเวลา 12 ปี โดยฝากครั้งแรกวันนี้ บัญชีให้ดอกเบี้ย 3% ต่อปี เมื่อสิ้นปีที่ 12 จะมีเงินในบัญชีเท่าใด จงหา FV

A = €1 000i = 3%n = 12

FV = €

27.NPV และ IRRปานกลาง

เครื่องจักรมีต้นทุนวันนี้ €50 000 ใช้งานได้ 9 ปี และมีค่าใช้จ่ายในการเดินเครื่อง €2 000 ต่อปี (จ่ายทุกสิ้นปี) ต้นทุนเงินทุนคือ 5% จงหาต้นทุนเทียบเท่ารายปี EAC

C₀ = €50 000M = €2 000n = 9r = 5%

EAC = €

28.NPV และ IRRยาก

โครงการ A มีต้นทุน €10 000 และให้ผลตอบแทน €6 000, €3 500, €2 500 ทุกสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 โครงการ B มีต้นทุน €15 000 และให้ผลตอบแทน €4 000, €6 000, €8 000 จงหาอัตราตัดกัน r* ที่โครงการทั้งสองมี NPV เท่ากัน เป็นเปอร์เซ็นต์

A: −10 000, 6 000, 3 500, 2 500B: −15 000, 4 000, 6 000, 8 000

r* = %

29.การแจกแจงปกติปานกลาง

ส่วนสูงของผู้ชายวัยผู้ใหญ่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 178 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 cm สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 178.35 และ 188.5 cm เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 178σ = 7x₁ = 178.35x₂ = 188.5

P =

30.การแจกแจงปกติยาก

คะแนน IQ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 100 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 คะแนน ลากค่าตัดให้ส่วนบน 90% ที่แรเงาอยู่ทางขวา หาค่าตัด x

μ = 100 คะแนนσ = 15 คะแนน90%

x = คะแนน

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 15 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1 + 15·3

R_B = 60/4 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

คำตอบ

R_A = 15 kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 32.25 kN

แผนภาพวัตถุอิสระ

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN กระทำที่ x̄ = 6.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·4 + 12·1·6.5

R_B = 318/8 = 39.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 39.75 = 32.25 kN

คำตอบ

R_A = 32.25 kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน CG

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ C

BC และ CD อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง CG

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 8.438 kN (T), BC: 5.625 kN (T), CD: 5.625 kN (T), DE: 2.812 kN (T), FG: 8.438 kN (C), GH: 2.812 kN (C), AF: 14.06 kN (C), HE: 4.687 kN (C), BF: 11.25 kN (T), CG: 0, DH: 3.75 kN (T), BG: 4.688 kN (T), DG: 4.688 kN (C)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: CG

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_AB = −21.21 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·2 + 15·2 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 20 = 15 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

จุดต่อ A

สมมติให้ทุกชิ้นส่วนรับแรงดึง (ดึงออกจากจุดต่อ) มีเพียง AB ที่มีองค์ประกอบแนวดิ่งที่ A

sin α = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −15/0.7071 = −21.21 kN

คำตอบ

F_AB = −21.21 kN (แรงอัด)

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: D (x = 6 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 47.5 kN, R₂ = 57.5 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 95, M_C = 190, M_D = 265 kN·m, M_E = 210, M_F = 115, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย D: M_D = 265 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: E (x = 8 m)

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 10 kN, R₂ = 80 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

M_A = 0, M_B = −60, M_C = −100, M_D = −140, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย E: M_E = −200 kN·m

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ = 5.425 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่น

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2500⁴/(8·7.2 × 10¹²) = 5.425 mm

คำตอบ

δ = 5.425 mm

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: I_req = 10.13 × 10⁶ mm⁴

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·200000·16.67) = 1.012 × 10⁷ mm⁴

I_req = 10.13 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_req = 10.13 × 10⁶ mm⁴

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 117 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·1500 = 3000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/3000² = 116973 N = 117 kN

คำตอบ

P_cr = 117 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 53.2 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 3·115000 = 345000 N

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 53.2 mm

คำตอบ

d = 53.2 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 112.8 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 132.1 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (40000·100 − 706.9·60)/(40000 − 706.9) = 100.7 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

200·200³/12 + 40000·−0.7196² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−40.72² = 1.212 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 132.1 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 132.1 × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: M_allow = 1.88 kN·m

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

เซนทรอยด์

ȳ = (1600·105 + 1800·50)/3400 = 75.88 mm

ขอบบน: c = 110 − 75.88 = 34.12 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

I = 160·10³/12 + 1600·29.12² + 18·100³/12 + 1800·25.88² = 4.076 × 10⁶ mm⁴

โมเมนต์ที่แต่ละขอบยอมให้

แอ่นลง: ด้านบนรับแรงอัด ด้านล่างรับแรงดึง

ขอบบน: M = 100·4.076 × 10⁶/34.12 = 11.95 kN·m

ขอบล่าง: M = 35·4.076 × 10⁶/75.88 = 1.88 kN·m

ค่าที่เป็นตัวกำหนด

M_allow = min = 1.88 kN·m (ขอบล่าง)

คำตอบ

M_allow = 1.88 kN·m

13.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ′ = 99.83 kPa

ความเค้นประสิทธิผล (เทอร์ซากี): โครงสร้างของดินรับความเค้น σ′ = σ − u ความเค้นรวม σ คือน้ำหนักของทุกสิ่งเหนือจุดนั้น Σγ·h โดยใช้หน่วยน้ำหนักแห้งเหนือระดับน้ำใต้ดิน และหน่วยน้ำหนักอิ่มตัวใต้ระดับน้ำใต้ดิน ใต้ระดับน้ำใต้ดิน ความดันน้ำในช่องว่างเป็นแบบไฮโดรสแตติก: u = γ_w·(ความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน)

ความเค้นรวม

บวกน้ำหนักของดินแต่ละชั้นเหนือ X เหนือระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักแห้ง ใต้ระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักอิ่มตัว

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·2 + 19.5·7 = 168.5 kPa

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·7 = 68.67 kPa

ความเค้นประสิทธิผล

σ′ = σ − u = 168.5 − 68.67 = 99.83 kPa

คำตอบ

σ′ = 99.83 kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ = 174 kPa

ความเค้นรวม

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·5 + γ_sat,clay·3

σ = 17·1 + 20·5 + 19·3 = 174 kPa

คำตอบ

σ = 174 kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: S = 222.4 mm

การอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ ของชั้นดินเหนียวหนา H โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลที่กึ่งกลางชั้น: σ′_f = σ′₀ + Δσ ดินเหนียวที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) ดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติจะอัดซ้ำตาม C_r จนถึงความดันอัดตัวก่อนหน้า σ′_p และเป็นไปตาม C_c เฉพาะหลังจากนั้น เวลา: t = T_v·H_dr²/c_v โดยระยะระบายน้ำ H_dr เท่ากับ H/2 เมื่อน้ำออกได้ทั้งด้านบนและล่าง และ H เมื่อระบายด้านเดียว

ความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·45 = 135 kPa

เปรียบเทียบกับความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_f = 45 + 170 = 215 kPa > 135 kPa

การทรุดตัว

อัดซ้ำจนถึง σ′_p แล้วอัดตัวบริสุทธิ์เมื่อเกินนั้น

S = 0.03·6.5/(1 + 0.6)·log₁₀(135/45) + 0.2·6.5/(1 + 0.6)·log₁₀(215/135)

S = 58.15 + 164.2 = 222.4 mm

คำตอบ

S = 222.4 mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: t = 3770 วัน

ระยะระบายน้ำ

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 7 m

ปรับสเกลเวลา

t = T_v·H_dr²/c_v โดยใช้ T_v และ c_v เดียวกันทั้งในห้องปฏิบัติการและในสนาม

t_field = 10·(7/0.0095)² = 5.429 × 10⁶ min

t_field = 5.429 × 10⁶/1440 = 3770 วัน

คำตอบ

t = 3770 วัน

17.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 134.9 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·5 = 134.9 kN

คำตอบ

F = 134.9 kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 3.111 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·6 = 181 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 2/(3·6) = 3.111 m

คำตอบ

y_cp = 3.111 m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: h_f = 44.16 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 1.9²/(2·9.81) = 0.184 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(800/0.1)·1.9²/(2·9.81) = 44.16 m

คำตอบ

h_f = 44.16 m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Q = 298.5 L/s

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.022·300/0.3 = 22

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

สมการพลังงาน

ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ

27 = (22 + 7.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·27/29.7) = 4.223 m/s

อัตราการไหล

Q = V·π·D²/4 = 4.223·0.07069 = 0.2985 m³/s = 298.5 L/s

คำตอบ

Q = 298.5 L/s

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: Q = 4.242 m³/s

สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4

เรขาคณิต

A = b·y = 1.5·1.6 = 2.4 m²

P = b + 2y = 1.5 + 2·1.6 = 4.7 m

R = A/P = 0.5106 m

ความเร็ว

V = (1/0.014)·0.5106^2/3·0.0015^1/2 = 1.767 m/s

อัตราการไหล

Q = A·V = 2.4·1.767 = 4.242 m³/s

คำตอบ

Q = 4.242 m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: S = 0.004481 m/m

รัศมีไฮดรอลิก

R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m

แก้สมการแมนนิงหา S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1.2/0.233)² = 0.004481

คำตอบ

S = 0.004481

นั่นคือท้องน้ำลดลง 4.481 m ต่อกิโลเมตร

23.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_el = 44.96 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·56 = 27.47 kW

กำลังที่เพลา

P_shaft = 27.47/0.65 = 42.26 kW

กำลังไฟฟ้า

P_el = 42.26/0.94 = 44.96 kW

คำตอบ

P_el = 44.96 kW

24.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_shaft = 20.57 kW

ความเร็ว

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0.408 = 9.385 m

เฮดของปั๊ม

H = Δz + h_L = 25 + 9.385 = 34.38 m

กำลังที่เพลา

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·34.38/0.82 = 20.57 kW

คำตอบ

P_shaft = 20.57 kW

25.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: FV = 13850 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราและจำนวนงวด

i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = m·n = 4·4 = 16

มูลค่าในอนาคต

FV = 12 000·(1 + 0.009)¹⁶ = 12 000·1.154 = €13 849.69

คำตอบ

FV = €13 849.69

26.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: FV = 14618 €

ตัวคูณเงินงวดปกติ

((1 + 0.03)¹² − 1)/0.03 = 14.19

เงินงวดต้นงวด

เงินฝากแต่ละครั้งถูกลงทุนนานกว่าหนึ่งปี

FV = 1 000·14.19·1.03 = €14 617.79

คำตอบ

FV = €14 617.79

27.NPV และ IRR

คำตอบ: EAC = 9035 €

ต้นทุนเทียบเท่ารายปี: กระจายมูลค่าปัจจุบันของต้นทุนทั้งหมดตลอดอายุเป็นจำนวนรายปีเท่ากัน (เงินงวด): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ) ช่วยให้เปรียบเทียบเครื่องจักรที่มีอายุต่างกันได้

ตัวคูณเงินงวด

(1 − 1.05⁻⁹)/0.05 = 7.108

ราคาซื้อที่แปลงเป็นรายปี

50 000/7.108 = 7 034.50

EAC

EAC = 7 034.50 + 2 000 = €9 034.50

คำตอบ

EAC = €9 034.50

28.NPV และ IRR

คำตอบ: r* = 5.718 %

อัตราตัดกัน: อัตราคิดลดที่โครงการสองโครงการมี NPV เท่ากัน คือ IRR ของผลต่างกระแสเงินสด (B − A) ต่ำกว่าอัตรานี้ โครงการที่มีกระแสเงินสดมากกว่าและมาช้ากว่ามี NPV สูงกว่า สูงกว่าอัตรานี้ โครงการอีกโครงการหนึ่งชนะ

ผลต่างของกระแสเงินสด

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 6 000 = −2 000

ΔCF₂ = 6 000 − 3 500 = 2 500

ΔCF₃ = 8 000 − 2 500 = 5 500

IRR ของผลต่าง

NPV_Δ(5%) = 113.92

NPV_Δ(6%) = −43.90

r* = 5.718%

คำตอบ

r* = 5.718%

ตรวจสอบ: ที่ 5.718% NPV ทั้งสองเป็น €922.98

29.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.4133

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (178.35 − 178)/7 = 0.05

z₂ = (188.5 − 178)/7 = 1.5

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(1.5) − Φ(0.05) = 0.9332 − 0.5199 = 0.4133

คำตอบ

P = 0.4133

30.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 80.8 คะแนน

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.1

z จากตาราง

z ≈ −1.28

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 100 − 1.28·15 = 80.8 คะแนน

คำตอบ

x = 80.8 คะแนน

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น การสอบ FE exam จัดโดย NCEES ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems และไม่ได้รับรอง ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil