ฝึกข้อสอบ FE โยธา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 30 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

ความเค้นประสิทธิผลในดิน

ความเค้นรวม: σ = Σγ_i·h_i
ความดันน้ำในช่องว่าง: u = γ_w·(z − z_w)
ความเค้นประสิทธิผล: σ′ = σ − u
น้ำ: γ_w = 9.81 kN/m³

การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

ดินที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ความเค้นสุดท้าย: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
อัตราส่วนการอัดตัวเกิน: OCR = σ′_p/σ′₀
เวลาสำหรับการอัดตัวคายน้ำ: t = T_v·H_dr²/c_v
ระยะทางระบายน้ำ: H_dr = H/2 (ระบายน้ำสองด้าน), H (ระบายน้ำด้านเดียว)
ตัวประกอบเวลา: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

สมการแมนนิง: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
อัตราการไหล: Q = A·V
รัศมีไฮดรอลิก: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y
สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ: R = D/4
ความลาดชันที่ต้องการ: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B รับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 2.5 m จาก A และโมเมนต์คู่ควบ ตามเข็มนาฬิกา M ที่ระยะ 3 m จาก A จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_B โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก

L = 6 mP = 25 kN ที่ 2.5 mM = 60 kN·m (ตามเข็มนาฬิกา) ที่ 3 m

R_B = kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานประกอบยึดแน่นกับผนังที่ A มีบานพับภายในที่ C (ห่างจาก A 3 m) และวางบนลูกกลิ้งที่ D (ห่างจาก A 10 m) รับ แรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 7 m จาก A จงหาขนาดของโมเมนต์ปฏิกิริยา M_A ที่ผนัง

AC = 3 mAD = 10 mP = 20 kN ที่ 7 m

M_A = kN·m

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

D: 35 kN ↓G: 20 kN ↓H: 30 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน FC
13ชิ้นส่วน HC

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_AB ในชิ้นส่วน AB ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 6 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 2 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 25 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 15 kN ←

F_AB = kN

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 1.5 m ถึงปลายอิสระ C คานรับแรงกระทำเป็นจุด P₁ ระหว่างจุดรองรับ และแรงกระทำเป็นจุด P₂ ที่ C จงหาโมเมนต์ดัด M_B ที่จุดรองรับ B ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 7.5 mP₁ = 30 kN ที่ 3.5 mP₂ = 35 kN ที่ 7.5 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 6 m

M_B = kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 6 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 8 mP = 10 kN ที่ 6 mw = 4 kN/m จาก 0 ถึง 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานยื่นรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว หาระยะแอ่น δ ที่ปลายอิสระ

w = 15 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานไม้ช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 125 mm รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคานต้องไม่เกิน ช่วงคาน/250 จงหาความลึกที่น้อยที่สุด h_req ของหน้าตัด

w = 1.5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)b = 125 mm

h_req = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 1.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากลวง (หน้าตัดกล่อง) กว้างภายนอก B = 100 mm สูงภายนอก H = 325 mm และความหนาผนังสม่ำเสมอ t = 8 mm จงหารัศมีไจเรชัน r รอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน

B = 100 mmH = 325 mmt = 8 mm

r = mm

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

แผ่น 150 mm × 300 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 80 mm สูง 30 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 195 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 150 mmh = 300 mmช่องตัด: 80 × 30 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.ความเค้นประสิทธิผลในดินปานกลาง

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความดันน้ำในช่องว่าง u ที่จุด X

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 16 kN/m³ทราย: γ_sat = 20.5 kN/m³

u = kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดินยาก

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นรวมในแนวดิ่ง σ ที่จุด X

z = 8.5 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 15.5 kN/m³ทราย: γ_sat = 19 kN/m³ดินเหนียว: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ = kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปานกลาง

ชั้นดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติหนา 5 m มี C_c = 0.35, C_r = 0.02 และ e₀ = 0.8 ที่กึ่งกลางชั้นความเค้นประสิทธิผลแนวดิ่งคือ 90 kPa และความดันอัดตัวก่อนหน้าคือ 200 kPa อาคารใหม่เพิ่มความเค้นแนวดิ่ง 120 kPa ที่กึ่งกลางชั้น หาการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ S ใน mm

H = 5 mC_c = 0.35C_r = 0.02e₀ = 0.8σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 200 kPaΔσ = 120 kPa

S = mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำยาก

ชั้นดินเหนียวหนา 2.5 m มีสัมประสิทธิ์การอัดตัวคายน้ำ c_v = 0.8 m²/ปี อยู่บนชั้นหินที่ไม่ซึมน้ำ โดยมีทรายอยู่ด้านบน น้ำจึงระบายออกเฉพาะด้านบน สำหรับการอัดตัวเฉลี่ย 80% ตัวประกอบเวลาคือ T_v = 0.567 ชั้นดินใช้เวลากี่ปี t จึงอัดตัวถึง 80%

H = 2.5 mc_v = 0.8 m²/ปีU = 80%T_v = 0.567ระบายน้ำด้านเดียว

t = ปี

17.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 2.6 m/s ผ่านท่อยาว 800 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.028 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน h_f

V = 2.6 m/sL = 800 mD = 100 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

ท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm (ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022) ต่อจากอ่างเก็บน้ำเปิดและปล่อยน้ำเป็นลำอิสระสู่อากาศ การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 2 ตัว (ตัวละ K = 0.3) และวาล์ว (K = 5) ใช้ g = 9.81 m/s² ผิวอ่างต้องสูงกว่าทางออกของท่อ H เท่าใดเพื่อให้ได้อัตราการไหล 80 L/s

Q = 80 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5

H = m

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง

ทางน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าคอนกรีตเรียบกว้าง 2 m น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 0.8 m แมนนิง n = 0.012 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.005 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s

b = 2 my = 0.8 mn = 0.012S = 0.005

Q = m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก

ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูคอนกรีตเรียบที่มีความกว้างก้น 1.5 m และความลาดข้าง 2:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) ต้องรองรับ 26 m³/s ในการไหลสม่ำเสมอที่ความลึก 1.6 m แมนนิง n = 0.012 หาความลาดชันท้องน้ำที่ต้องการ S (ใน m/m)

Q = 26 m³/sb = 1.5 my = 1.6 mz = 2n = 0.012

S = m/m

23.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 60 L/s ต้านเฮด 18 m ขณะที่เพลาใช้ 17.7 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์

Q = 60 L/sH = 18 mP_shaft = 17.7 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 120 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 16 m ท่อยาว 400 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 120 L/sΔz = 16 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 8

H = m

25.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

อสังหาริมทรัพย์คาดว่าจะให้ค่าเช่าสุทธิ €5 000 ในปีหน้า ค่าเช่าคาดว่าจะเติบโต 1.5% ต่อปีตลอดไป ผลตอบแทนที่ต้องการคือ 3.5% ต่อปี จงหามูลค่า PV ของอสังหาริมทรัพย์ในวันนี้

C₁ = €5 000g = 1.5%r = 3.5%

PV = €

26.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

เงินกู้ €30 000 ผ่อนชำระด้วยงวดรายเดือนเท่ากันเป็นเวลา 5 ปี ที่ 5.4% ต่อปี ทบต้นรายเดือน ตลอดอายุเงินกู้จ่ายดอกเบี้ยรวมเท่าใด I

P = €30 0005.4% / 12N = 60

I = €

27.NPV และ IRRปานกลาง

เครื่องจักรมีต้นทุนวันนี้ €80 000 ใช้งานได้ 10 ปี และมีค่าใช้จ่ายในการเดินเครื่อง €2 000 ต่อปี (จ่ายทุกสิ้นปี) ต้นทุนเงินทุนคือ 5% จงหาต้นทุนเทียบเท่ารายปี EAC

C₀ = €80 000M = €2 000n = 10r = 5%

EAC = €

28.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุน €25 000 และให้ผลตอบแทน €18 000, €10 500 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 2 หาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 000CF₂ = 10 500

IRR = %

29.การแจกแจงปกติปานกลาง

อายุการใช้งานของแบตเตอรี่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 490 และ 510 h เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 500σ = 40x₁ = 490x₂ = 510

P =

30.การแจกแจงปกติยาก

เวลาต่อรอบของนักวิ่ง A คือ X และของนักวิ่ง B คือ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ: X มีค่าเฉลี่ย 52 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 s ส่วน Y มีค่าเฉลี่ย 48 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 s จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X มากกว่า Y ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 20.42 kN

โมเมนต์รอบจุด A

ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: R_B·6 − 25·2.5 − 60 = 0

R_B = 122.5/6 = 20.42 kN

สมดุลในแนวดิ่ง

R_A = 25 − 20.42 = 4.583 kN

คำตอบ

R_B = 20.42 kN

แรงปฏิกิริยาติดลบกระทำลง

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: M_A = 25.71 kN·m

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ บานพับภายในรับโมเมนต์ดัดไม่ได้ ซึ่งให้สมการเพิ่มหนึ่งสมการ: โมเมนต์รอบบานพับของแรงทั้งสองข้างเป็นศูนย์

ส่วน CD

บานพับไม่มีโมเมนต์ ดังนั้นโมเมนต์รอบ C บน CD เพียงส่วนเดียวต้องสมดุล

ΣM_C = 0: R_D·7 = 20·4

R_D = 11.43 kN

V_C = 20 − 11.43 = 8.571 kN

ส่วน AC

แรงที่บานพับ V_C กระทำลงบน AC (เท่ากันและตรงข้ามกับแรงที่กระทำต่อ CD)

R_A = 8.571 = 8.571 kN

M_A = 8.571·3 = 25.71 kN·m

คำตอบ

M_A = 25.71 kN·m

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน BF

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ B

AB และ BC อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง BF

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 19.69 kN (T), BC: 19.69 kN (T), CD: 44.06 kN (T), DE: 44.06 kN (T), FG: 39.37 kN (C), GH: 39.37 kN (C), AF: 32.81 kN (C), HE: 73.44 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 32.81 kN (T), HC: 7.813 kN (C)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: BF

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_AB = −30.64 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 − 15·2 → C_y = 3.333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 3.333 = 21.67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

จุดต่อ A

สมมติให้ทุกชิ้นส่วนรับแรงดึง (ดึงออกจากจุดต่อ) มีเพียง AB ที่มีองค์ประกอบแนวดิ่งที่ A

sin α = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −21.67/0.7071 = −30.64 kN

คำตอบ

F_AB = −30.64 kN (แรงอัด)

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_B = −52.5 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งหมด แรงที่ส่วนยื่นก็ทำให้เกิดโมเมนต์รอบจุด A ด้วย

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·3.5 + 35·7.5

R_B = 367.5/6 = 61.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 61.25 = 3.75 kN

ตัดที่ B แล้วเก็บส่วนยื่นไว้

มีเพียง P₂ ที่กระทำต่อส่วนยื่น โดยมีแขนโมเมนต์ a แรงนี้ทำให้คานโค้งขึ้นเหนือจุดรองรับ (โมเมนต์ลบ)

M_B = −P₂·a = −35·1.5 = −52.5 kN·m

คำตอบ

M_B = −52.5 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 39 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN กระทำที่ x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·6 + 4·8·4

R_B = 188/8 = 23.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 23.5 = 18.5 kN

ตัดที่ x = 6 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 18.5·6 − 4·6·3 = 39 kN·m

คำตอบ

M_x = 39 kN·m

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ = 71.91 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

ระยะแอ่น

δ = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·1.32 × 10¹¹) = 71.91 mm

คำตอบ

δ = 71.91 mm

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: h_req = 139.7 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 1.5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1.5·4000⁴/(384·11000·16) = 2.841 × 10⁷ mm⁴

ความลึกที่ต้องการ

bh³/12 = I_req → h = (12·2.841 × 10⁷/125)^1/3 = 139.7 mm

คำตอบ

h_req = 139.7 mm

ในทางปฏิบัติ ให้เลือกความลึกมาตรฐานถัดไปที่สูงกว่าค่านี้

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 55.27 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·1500 = 1500 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/1500² = 55270 N = 55.27 kN

คำตอบ

P_cr = 55.27 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 3.084 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/10 = 800

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3.084 MPa

คำตอบ

σ_cr = 3.084 MPa

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: r = 110.2 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = I_c + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด รัศมีไจเรชัน r = √(I/A) คือระยะที่ถ้าพื้นที่ทั้งหมดอยู่ที่ระยะนั้นจะให้ I เท่าเดิม ใช้ในการโก่งเดาะของเสา

พื้นที่สุทธิและโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

b = 84 mm, h = 309 mm

A = BH − bh = 100·325 − 84·309 = 6544 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 7.954 × 10⁷ mm⁴

รัศมีไจเรชัน

r = √(I/A) = √(7.954 × 10⁷/6544) = 110.2 mm

คำตอบ

r = 110.2 mm

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 332.2 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (45000·150 − 2400·195)/(45000 − 2400) = 147.5 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

150·300³/12 + 45000·2.535² = 337.8 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

80·30³/12 + 2400·47.54² = 5.603 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 332.2 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 332.2 × 10⁶ mm⁴

13.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: u = 19.62 kPa

ความเค้นประสิทธิผล (เทอร์ซากี): โครงสร้างของดินรับความเค้น σ′ = σ − u ความเค้นรวม σ คือน้ำหนักของทุกสิ่งเหนือจุดนั้น Σγ·h โดยใช้หน่วยน้ำหนักแห้งเหนือระดับน้ำใต้ดิน และหน่วยน้ำหนักอิ่มตัวใต้ระดับน้ำใต้ดิน ใต้ระดับน้ำใต้ดิน ความดันน้ำในช่องว่างเป็นแบบไฮโดรสแตติก: u = γ_w·(ความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน)

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

คำตอบ

u = 19.62 kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ = 143.8 kPa

ความเค้นรวม

บวกน้ำหนักของดินแต่ละชั้นเหนือ X เหนือระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักแห้ง ใต้ระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักอิ่มตัว

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2.5

σ = 15.5·4 + 19·2 + 17.5·2.5 = 143.8 kPa

คำตอบ

σ = 143.8 kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: S = 39.87 mm

การอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ ของชั้นดินเหนียวหนา H โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลที่กึ่งกลางชั้น: σ′_f = σ′₀ + Δσ ดินเหนียวที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) ดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติจะอัดซ้ำตาม C_r จนถึงความดันอัดตัวก่อนหน้า σ′_p และเป็นไปตาม C_c เฉพาะหลังจากนั้น เวลา: t = T_v·H_dr²/c_v โดยระยะระบายน้ำ H_dr เท่ากับ H/2 เมื่อน้ำออกได้ทั้งด้านบนและล่าง และ H เมื่อระบายด้านเดียว

เปรียบเทียบกับความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_f = 90 + 120 = 210 kPa > 200 kPa

การทรุดตัว

อัดซ้ำจนถึง σ′_p แล้วอัดตัวบริสุทธิ์เมื่อเกินนั้น

S = 0.02·5/(1 + 0.8)·log₁₀(200/90) + 0.35·5/(1 + 0.8)·log₁₀(210/200)

S = 19.27 + 20.6 = 39.87 mm

คำตอบ

S = 39.87 mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: t = 4.43 ปี

ระยะทางระบายน้ำ

H_dr = H = 2.5 m

เวลา

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.567·2.5²/0.8 = 4.43 ปี

คำตอบ

t = 4.43 ปี

17.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 67.44 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.5 = 67.44 kN

คำตอบ

F = 67.44 kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 45.25 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·1.5 = 45.25 kN

คำตอบ

F = 45.25 kN

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: h_f = 77.18 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 2.6²/(2·9.81) = 0.3445 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(800/0.1)·2.6²/(2·9.81) = 77.18 m

คำตอบ

h_f = 77.18 m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: H = 1.182 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s

V²/(2g) = 0.06529 m

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.022·150/0.3 = 11

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1

สมการพลังงาน

ลำน้ำที่ทางออกยังมีเฮดความเร็ว ไม่ใช่การสูญเสียแต่ต้องจ่ายให้

H = (1 + 11 + 6.1)·0.06529 = 1.182 m

คำตอบ

H = 1.182 m

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: Q = 5.491 m³/s

สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4

เรขาคณิต

A = b·y = 2·0.8 = 1.6 m²

P = b + 2y = 2 + 2·0.8 = 3.6 m

R = A/P = 0.4444 m

ความเร็ว

V = (1/0.012)·0.4444^2/3·0.005^1/2 = 3.432 m/s

อัตราการไหล

Q = A·V = 1.6·3.432 = 5.491 m³/s

คำตอบ

Q = 5.491 m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: S = 0.002076 m/m

เรขาคณิต

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 2·1.6)·1.6 = 7.52 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1.6·√(1 + 2²) = 8.655 m

R = A/P = 0.8688 m

แก้สมการแมนนิงหา S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.012·26/(7.52·0.9105) = 0.04557

S = 0.04557² = 0.002076

คำตอบ

S = 0.002076

นั่นคือท้องน้ำลดลง 2.076 m ต่อกิโลเมตร

23.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: η = 59.86 %

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·18 = 10.59 kW

ประสิทธิภาพ

η = P_h/P_shaft = 10.59/17.7 = 59.86%

คำตอบ

η = 59.86%

24.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 25.75 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0.3046 = 9.747 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป

H = Δz + h_L = 16 + 9.747 = 25.75 m

คำตอบ

H = 25.75 m

25.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: PV = 250000 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

เงินงวดตลอดกาลที่เติบโต

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0.035 − 0.015) = 5 000/0.02 = €250 000.00

คำตอบ

PV = €250 000.00

26.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: I = 4299 €

เงินผ่อนต่อเดือน

i = 0.0045, N = 60

A = 30 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)⁻⁶⁰) = €571.65

ดอกเบี้ยรวม

I = N·A − P = 60·571.7 − 30 000 = €4 299.07

คำตอบ

I = €4 299.07

27.NPV และ IRR

คำตอบ: EAC = 12360 €

ต้นทุนเทียบเท่ารายปี: กระจายมูลค่าปัจจุบันของต้นทุนทั้งหมดตลอดอายุเป็นจำนวนรายปีเท่ากัน (เงินงวด): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ) ช่วยให้เปรียบเทียบเครื่องจักรที่มีอายุต่างกันได้

ตัวคูณเงินงวด

(1 − 1.05⁻¹⁰)/0.05 = 7.722

ราคาซื้อที่แปลงเป็นรายปี

80 000/7.722 = 10 360.37

EAC

EAC = 10 360.37 + 2 000 = €12 360.37

คำตอบ

EAC = €12 360.37

28.NPV และ IRR

คำตอบ: IRR = 10.14 %

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

กำหนดช่วงของ IRR

NPV ลดลงเมื่ออัตราเพิ่มขึ้น ดังนั้น IRR จึงอยู่ระหว่างอัตราที่ให้ NPV เป็นบวกกับอัตราที่ให้ NPV เป็นลบ

NPV(10%) = 41.32

NPV(15%) = −1 408.32

บีบช่วงให้แคบลง

การเทียบสัดส่วนเชิงเส้นให้ค่าประมาณแรก ทำซ้ำ (หรือใช้ฟังก์ชัน IRR ของเครื่องคิดเลข) จะได้อัตราที่แน่นอน

IRR ≈ 10 + 5·41.32/(41.32 − (−1 408.32)) = 10.14%

ค่าที่แน่นอน: NPV(10.14%) = 0 → IRR = 10.14%

คำตอบ

IRR = 10.14%

29.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.1974

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (490 − 500)/40 = −0.25

z₂ = (510 − 500)/40 = 0.25

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(0.25) − Φ(−0.25) = 0.5987 − 0.4013 = 0.1974

คำตอบ

P = 0.1974

30.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.7881

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 4)/5 = −0.8

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

คำตอบ

P = 0.7881

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น การสอบ FE exam จัดโดย NCEES ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems และไม่ได้รับรอง ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil