ฝึกข้อสอบ FE โยธา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 30 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

ความเค้นประสิทธิผลในดิน

ความเค้นรวม: σ = Σγ_i·h_i
ความดันน้ำในช่องว่าง: u = γ_w·(z − z_w)
ความเค้นประสิทธิผล: σ′ = σ − u
น้ำ: γ_w = 9.81 kN/m³

การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

ดินที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ความเค้นสุดท้าย: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
อัตราส่วนการอัดตัวเกิน: OCR = σ′_p/σ′₀
เวลาสำหรับการอัดตัวคายน้ำ: t = T_v·H_dr²/c_v
ระยะทางระบายน้ำ: H_dr = H/2 (ระบายน้ำสองด้าน), H (ระบายน้ำด้านเดียว)
ตัวประกอบเวลา: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

สมการแมนนิง: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
อัตราการไหล: Q = A·V
รัศมีไฮดรอลิก: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y
สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ: R = D/4
ความลาดชันที่ต้องการ: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่าย (หมุดที่ A ลูกกลิ้งที่ B) รับแรงกระทำที่เปลี่ยนแปลงเชิงเส้น ลดลงจาก 6 kN/m ที่ A เป็นศูนย์ที่ B แรงกระทำเป็นจุด P ยังกระทำที่ระยะ 1 m จาก A ด้วย จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับในแนวดิ่ง R_B

L = 10 mw₀ = 6 kN/mP = 20 kN ที่ 1 m

R_B = kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างจาก A 2.5 m และมีส่วนยื่นเลย B ไปถึงปลายอิสระ C รับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 1 m จาก A และแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w จาก 2.5 m ถึงปลายอิสระที่ 4 m จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_B โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก

AB = 2.5 mAC = 4 mP = 70 kN ที่ 1 mw = 2 kN/m จาก 2.5 ถึง 4 m

R_B = kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

C: 20 kN ↓D: 35 kN ↓G: 25 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน FC
13ชิ้นส่วน HC

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_BC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 4 mความสูง = 3 mB อยู่ห่างจาก A 3 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 35 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 10 kN →

F_BC = kN

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 1 m ถึงปลายอิสระ C คานรับแรงกระทำเป็นจุด P₁ ระหว่างจุดรองรับ และแรงกระทำเป็นจุด P₂ ที่ C จงหาโมเมนต์ดัด M_x ใต้แรง P₁ ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 9 mP₁ = 80 kN ที่ 4 mP₂ = 65 kN ที่ 9 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 8 m

M_x = kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

30 kN @ 0 m55 kN @ 12 m20 kN @ 6 m8 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_req ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้

w = 8 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 1 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ต้องรับ 140 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 140 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

ท่อกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก D = 130 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน d = 98 mm จงหารัศมีไจเรชัน r รอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน

D = 130 mmd = 98 mm

r = mm

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 5 kN·m หาความเค้นดัด σ_ล่าง ที่ขอบล่าง

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mmM = 5 kN·m

σ_ล่าง = MPa

13.ความเค้นประสิทธิผลในดินปานกลาง

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นประสิทธิผลในแนวดิ่ง σ′ ที่จุด X

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 16.5 kN/m³ทราย: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดินยาก

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นประสิทธิผลในแนวดิ่ง σ′ ที่จุด X

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 15.5 kN/m³ทราย: γ_sat = 20 kN/m³ดินเหนียว: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปานกลาง

ชั้นดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติหนา 7 m มี C_c = 0.25, C_r = 0.02 และ e₀ = 0.9 ที่กึ่งกลางชั้นความเค้นประสิทธิผลแนวดิ่งคือ 60 kPa และความดันอัดตัวก่อนหน้าคือ 140 kPa อาคารใหม่เพิ่มความเค้นแนวดิ่ง 140 kPa ที่กึ่งกลางชั้น หาการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ S ใน mm

H = 7 mC_c = 0.25C_r = 0.02e₀ = 0.9σ′₀ = 60 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 140 kPa

S = mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำยาก

ชั้นดินเหนียวหนา 3 m มีสัมประสิทธิ์การอัดตัวคายน้ำ c_v = 1.2 m²/ปี อยู่ระหว่างชั้นทรายสองชั้น น้ำจึงระบายออกทั้งด้านบนและด้านล่าง สำหรับการอัดตัวเฉลี่ย 60% ตัวประกอบเวลาคือ T_v = 0.287 ชั้นดินใช้เวลากี่ปี t จึงอัดตัวถึง 60%

H = 3 mc_v = 1.2 m²/ปีU = 60%T_v = 0.287ระบายน้ำสองด้าน

t = ปี

17.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำไหลด้วย 10 L/s ผ่านท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 75 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน h_f

Q = 10 L/sL = 100 mD = 75 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 13 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 4 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 2) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s

Δz = 13 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง

ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูกรวดมีความกว้างก้น 1.5 m และความลาดข้าง 1.5:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 1.3 m แมนนิง n = 0.025 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.0008 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s

b = 1.5 my = 1.3 mz = 1.5n = 0.025S = 0.0008

Q = m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก

ทางน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าคอนกรีตไม่เรียบกว้าง 6 m ต้องรองรับ 35 m³/s ในการไหลสม่ำเสมอที่ความลึก 1.5 m แมนนิง n = 0.014 หาความลาดชันท้องน้ำที่ต้องการ S (ใน m/m)

Q = 35 m³/sb = 6 my = 1.5 mn = 0.014

S = m/m

23.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ปั๊มที่มีประสิทธิภาพ 85% ส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 15 L/s ต้านเฮด 66 m ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังที่เพลา P_shaft ที่ต้องใช้ ใน kW

Q = 15 L/sH = 66 mη = 85%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 18 m ท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.025 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ประสิทธิภาพปั๊มคือ 70% หากำลังที่เพลา P_shaft ใน kW

Q = 50 L/sΔz = 18 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

25.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

เงินงวดจ่าย €1 500 ทุกสิ้นปีเป็นเวลา 8 ปี อัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี จงหามูลค่าปัจจุบัน PV ของเงินงวด

A = €1 500i = 6%n = 8

PV = €

26.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

คุณต้องการ €30 000 ในอีก 3 ปี คุณออมเงินจำนวนเท่ากันทุกสิ้นเดือนในบัญชีที่ให้ดอกเบี้ย 2.4% ต่อปี ทบต้นรายเดือน จงหาเงินฝากรายเดือน A

FV = €30 0002.4% / 12N = 36

A = €

27.NPV และ IRRปานกลาง

การลงทุน €60 000 ให้กระแสเงินสดเมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 4 ดังนี้: €15 000, €15 000, €13 000, €29 000 ต้นทุนเงินทุนคือ 10% หามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 15 000CF₂ = 15 000CF₃ = 13 000CF₄ = 29 000

NPV = €

28.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุน €50 000 และให้ผลตอบแทน €34 500, €28 000, €28 500 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 หาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์

CF₀ = −50 000CF₁ = 34 500CF₂ = 28 000CF₃ = 28 500

IRR = %

29.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.8638 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.8638

z =

30.การแจกแจงปกติยาก

มวล X ของผลิตภัณฑ์จากสายการผลิต 1 และ Y จากสายการผลิต 2 เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ: X มีค่าเฉลี่ย 500 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 g ส่วน Y มีค่าเฉลี่ย 490 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 g จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X มากกว่า Y ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 12 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แรงลัพธ์ของแรงกระทำรูปสามเหลี่ยม

W = ½·6·10 = 30 kN

x̄ = L/3 = 3.333 m

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·3.333 + 20·1

R_B = 12 kN

R_A = 50 − 12 = 38 kN

คำตอบ

R_B = 12 kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 31.9 kN

แรงลัพธ์ของแรงกระทำแบบแผ่

W = 2·1.5 = 3 kN, x̄ = (2.5 + 4)/2 = 3.25 m

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·2.5 = 70·1 + 3·3.25

R_B = 79.75/2.5 = 31.9 kN

R_A = 73 − 31.9 = 41.1 kN

คำตอบ

R_B = 31.9 kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน BF

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ B

AB และ BC อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง BF

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 41.67 kN (T), BC: 41.67 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 65 kN (T), FG: 83.33 kN (C), GH: 83.33 kN (C), AF: 52.08 kN (C), HE: 81.25 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 52.08 kN (T), HC: 22.92 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: BF

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_BC = −35.58 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 + 10·3 → C_y = 33.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 33.75 = 1.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33.75/0.9487 = −35.58 kN

คำตอบ

F_BC = −35.58 kN (แรงอัด)

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 127.5 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งหมด แรงที่ส่วนยื่นก็ทำให้เกิดโมเมนต์รอบจุด A ด้วย

ΣM_A = 0: R_B·8 = 80·4 + 65·9

R_B = 905/8 = 113.1 kN

ΣF_y = 0: R_A = 145 − 113.1 = 31.88 kN

ตัดใต้ P₁ แล้วเก็บส่วนซ้ายไว้

M_x = R_A·4 = 31.88·4 = 127.5 kN·m

คำตอบ

M_x = 127.5 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: E (x = 8 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 34 kN, R₂ = 119 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = −60, M_C = −68, M_D = −108, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย E: M_E = −220 kN·m

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 11.14 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

ระยะแอ่น

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·9.35 × 10¹⁰) = 11.14 mm

คำตอบ

δ_max = 11.14 mm

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: I_req = 274.3 × 10⁶ mm⁴

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·8000⁴/(384·70000·22.22) = 2.743 × 10⁸ mm⁴

I_req = 274.3 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_req = 274.3 × 10⁶ mm⁴

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 124.4 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·1000 = 1000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/1000² = 124357 N = 124.4 kN

คำตอบ

P_cr = 124.4 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 75.51 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2.5·140000 = 350000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 75.51 mm

คำตอบ

d = 75.51 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 158.9 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: r = 40.7 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = I_c + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด รัศมีไจเรชัน r = √(I/A) คือระยะที่ถ้าพื้นที่ทั้งหมดอยู่ที่ระยะนั้นจะให้ I เท่าเดิม ใช้ในการโก่งเดาะของเสา

พื้นที่สุทธิและโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

A = π(D² − d²)/4 = 5730 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 9.492 × 10⁶ mm⁴

รัศมีไจเรชัน

r = √(I/A) = √(9.492 × 10⁶/5730) = 40.7 mm

คำตอบ

r = 40.7 mm

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_ล่าง = 61.39 MPa

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

เอว: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·145 + 1960·70)/3960 = 107.9 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 200·10³/12 + 2000·(145 − 107.9)² = 2.773 × 10⁶ mm⁴

เอว: 14·140³/12 + 1960·(70 − 107.9)² = 6.014 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.773 × 10⁶ + 6.014 × 10⁶ = 8.786 × 10⁶ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ

y = 107.9 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·107.9/8.786 × 10⁶ = 61.39 MPa

คำตอบ

σ_ล่าง = 61.39 MPa

13.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ′ = 116.9 kPa

ความเค้นประสิทธิผล (เทอร์ซากี): โครงสร้างของดินรับความเค้น σ′ = σ − u ความเค้นรวม σ คือน้ำหนักของทุกสิ่งเหนือจุดนั้น Σγ·h โดยใช้หน่วยน้ำหนักแห้งเหนือระดับน้ำใต้ดิน และหน่วยน้ำหนักอิ่มตัวใต้ระดับน้ำใต้ดิน ใต้ระดับน้ำใต้ดิน ความดันน้ำในช่องว่างเป็นแบบไฮโดรสแตติก: u = γ_w·(ความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน)

ความเค้นรวม

บวกน้ำหนักของดินแต่ละชั้นเหนือ X เหนือระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักแห้ง ใต้ระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักอิ่มตัว

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16.5·4 + 20·5 = 166 kPa

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

ความเค้นประสิทธิผล

σ′ = σ − u = 166 − 49.05 = 116.9 kPa

คำตอบ

σ′ = 116.9 kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ′ = 77.95 kPa

ความเค้นรวม

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·4

σ = 15.5·2 + 20·1 + 19·4 = 127 kPa

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

ความเค้นประสิทธิผล

σ′ = σ − u = 127 − 49.05 = 77.95 kPa

คำตอบ

σ′ = 77.95 kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: S = 169.8 mm

การอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ ของชั้นดินเหนียวหนา H โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลที่กึ่งกลางชั้น: σ′_f = σ′₀ + Δσ ดินเหนียวที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) ดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติจะอัดซ้ำตาม C_r จนถึงความดันอัดตัวก่อนหน้า σ′_p และเป็นไปตาม C_c เฉพาะหลังจากนั้น เวลา: t = T_v·H_dr²/c_v โดยระยะระบายน้ำ H_dr เท่ากับ H/2 เมื่อน้ำออกได้ทั้งด้านบนและล่าง และ H เมื่อระบายด้านเดียว

เปรียบเทียบกับความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_f = 60 + 140 = 200 kPa > 140 kPa

การทรุดตัว

อัดซ้ำจนถึง σ′_p แล้วอัดตัวบริสุทธิ์เมื่อเกินนั้น

S = 0.02·7/(1 + 0.9)·log₁₀(140/60) + 0.25·7/(1 + 0.9)·log₁₀(200/140)

S = 27.11 + 142.7 = 169.8 mm

คำตอบ

S = 169.8 mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: t = 0.5381 ปี

ระยะทางระบายน้ำ

H_dr = H/2 = 3/2 = 1.5 m

เวลา

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.287·1.5²/1.2 = 0.5381 ปี

คำตอบ

t = 0.5381 ปี

17.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 88.29 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·2 = 88.29 kN

คำตอบ

F = 88.29 kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 2.167 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2·6 = 120.7 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 2/(2·6) = 2.167 m

คำตอบ

y_cp = 2.167 m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: h_f = 6.964 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

ความเร็วเฉลี่ย

A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²

V = Q/A = 0.01/0.004418 = 2.264 m/s

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 2.264²/(2·9.81) = 0.2611 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(100/0.075)·2.264²/(2·9.81) = 6.964 m

คำตอบ

h_f = 6.964 m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Q = 220 L/s

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.02·100/0.25 = 8

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7

สมการพลังงาน

ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ

13 = (8 + 4.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·13/12.7) = 4.481 m/s

อัตราการไหล

Q = V·π·D²/4 = 4.481·0.04909 = 0.22 m³/s = 220 L/s

คำตอบ

Q = 220 L/s

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: Q = 4.095 m³/s

สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4

เรขาคณิต

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 1.5·1.3)·1.3 = 4.485 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1.3·√(1 + 1.5²) = 6.187 m

R = A/P = 0.7249 m

ความเร็ว

V = (1/0.025)·0.7249^2/3·0.0008^1/2 = 0.913 m/s

อัตราการไหล

Q = A·V = 4.485·0.913 = 4.095 m³/s

คำตอบ

Q = 4.095 m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: S = 0.002964 m/m

เรขาคณิต

A = b·y = 6·1.5 = 9 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1.5 = 9 m

R = A/P = 1 m

แก้สมการแมนนิงหา S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.014·35/(9·1) = 0.05444

S = 0.05444² = 0.002964

คำตอบ

S = 0.002964

นั่นคือท้องน้ำลดลง 2.964 m ต่อกิโลเมตร

23.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_shaft = 11.43 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·66 = 9.712 kW

กำลังที่เพลา

P_shaft = P_h/η = 9.712/0.85 = 11.43 kW

คำตอบ

P_shaft = 11.43 kW

24.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_shaft = 22.05 kW

ความเร็ว

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 8)·0.408 = 13.47 m

เฮดของปั๊ม

H = Δz + h_L = 18 + 13.47 = 31.47 m

กำลังที่เพลา

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·31.47/0.7 = 22.05 kW

คำตอบ

P_shaft = 22.05 kW

25.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: PV = 9315 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

ตัวคูณเงินงวด

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.6274)/0.06 = 6.21

มูลค่าปัจจุบัน

PV = 1 500·6.21 = €9 314.69

คำตอบ

PV = €9 314.69

26.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: A = 804.5 €

อัตราต่อเดือนและจำนวนครั้งที่ฝาก

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·3 = 36

เงินฝาก

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0.002/(1.075 − 1) = €804.53

คำตอบ

A = €804.53

27.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = −4392 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดแต่ละรายการ

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 15 000/1.1 = 13 636.36

CF₂/(1 + 0.1)² = 15 000/1.21 = 12 396.69

CF₃/(1 + 0.1)³ = 13 000/1.331 = 9 767.09

CF₄/(1 + 0.1)⁴ = 29 000/1.464 = 19 807.39

รวมเข้าด้วยกัน

NPV = €−4 392.46

คำตอบ

NPV = €−4 392.46

NPV เป็นลบ ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนน้อยกว่าที่ต้องการ

28.NPV และ IRR

คำตอบ: IRR = 38.88 %

กำหนดช่วงของ IRR

NPV ลดลงเมื่ออัตราเพิ่มขึ้น ดังนั้น IRR จึงอยู่ระหว่างอัตราที่ให้ NPV เป็นบวกกับอัตราที่ให้ NPV เป็นลบ

NPV(35%) = 2 502.67

NPV(40%) = −685.13

บีบช่วงให้แคบลง

การเทียบสัดส่วนเชิงเส้นให้ค่าประมาณแรก ทำซ้ำ (หรือใช้ฟังก์ชัน IRR ของเครื่องคิดเลข) จะได้อัตราที่แน่นอน

IRR ≈ 35 + 5·2 502.67/(2 502.67 − (−685.13)) = 38.93%

ค่าที่แน่นอน: NPV(38.88%) = 0 → IRR = 38.88%

คำตอบ

IRR = 38.88%

29.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 1.49

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = (1 + 0.8638)/2 = 0.9319

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.9319 ในตารางและอ่านค่า z

z = 1.49

คำตอบ

z = 1.49

30.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.8413

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 10)/10 = −1

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

คำตอบ

P = 0.8413

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น การสอบ FE exam จัดโดย NCEES ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems และไม่ได้รับรอง ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

ฝึกข้อสอบ FE โยธา: ชุดสรุปเร่งรัด

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

วิธีการ

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีการ

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

วิธีการ

การแอ่นตัวของคาน

การโก่งเดาะของเสา

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

ความเค้นประสิทธิผลในดิน

การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

มูลค่าของเงินตามเวลา

วิธีการ

NPV และ IRR

วิธีการ

การแจกแจงปกติ

วิธีการ

2โจทย์ฝึก

3สารละลาย

แรงลัพธ์ของแรงกระทำรูปสามเหลี่ยม

สมดุล

คำตอบ

แรงลัพธ์ของแรงกระทำแบบแผ่

สมดุล

คำตอบ

จุดต่อ B

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

คำตอบ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

จุดต่อ C

คำตอบ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

ตัดใต้ P1 แล้วเก็บส่วนซ้ายไว้

คำตอบ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

คำตอบ

หน่วยที่สอดคล้องกัน

ระยะแอ่น

คำตอบ

เกณฑ์ระยะแอ่น

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

คำตอบ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

ความยาวประสิทธิผล

น้ำหนักวิกฤต

คำตอบ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

คำตอบ

พื้นที่สุทธิและโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

รัศมีไจเรชัน

คำตอบ

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

เซนทรอยด์

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ความเค้นดัด

คำตอบ

ความเค้นรวม

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความเค้นประสิทธิผล

คำตอบ

ความเค้นรวม

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความเค้นประสิทธิผล

คำตอบ

เปรียบเทียบกับความดันอัดตัวก่อนหน้า

การทรุดตัว

คำตอบ

ระยะทางระบายน้ำ

เวลา

คำตอบ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

แรงลัพธ์

ตัดใต้ P₁ แล้วเก็บส่วนซ้ายไว้