ฝึกข้อสอบ FE โยธา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 30 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

ความเค้นประสิทธิผลในดิน

ความเค้นรวม: σ = Σγ_i·h_i
ความดันน้ำในช่องว่าง: u = γ_w·(z − z_w)
ความเค้นประสิทธิผล: σ′ = σ − u
น้ำ: γ_w = 9.81 kN/m³

การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

ดินที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ความเค้นสุดท้าย: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
อัตราส่วนการอัดตัวเกิน: OCR = σ′_p/σ′₀
เวลาสำหรับการอัดตัวคายน้ำ: t = T_v·H_dr²/c_v
ระยะทางระบายน้ำ: H_dr = H/2 (ระบายน้ำสองด้าน), H (ระบายน้ำด้านเดียว)
ตัวประกอบเวลา: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

สมการแมนนิง: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
อัตราการไหล: Q = A·V
รัศมีไฮดรอลิก: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y
สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ: R = D/4
ความลาดชันที่ต้องการ: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_B

L = 8 mP₁ = 15 kN ที่ 3 mP₂ = 55 kN ที่ 5 m

R_B = kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B แรง P กระทำที่ระยะ 5 m จาก A โดยเอียง 45° กับแนวนอน และแรงในแนวดิ่ง Q กระทำที่ระยะ 3 m จาก A จงหาขนาดของแรงปฏิกิริยารวม R_A ที่หมุด A

L = 8 mP = 20 kN ที่ 5 m, θ = 45°Q = 60 kN ที่ 3 m

R_A = kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

B: 30 kN ↓C: 10 kN ↓D: 10 kN ↓H: 15 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน FC
13ชิ้นส่วน HC

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

D: 15 kN ↓F: 30 kN →G: 25 kN ↓H: 35 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน BG
13ชิ้นส่วน DG

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 0.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 5 mw = 2 kN/m จาก 0 ถึง 5 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 4.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 6 mP = 10 kN ที่ 2 mw = 12 kN/m จาก 0 ถึง 6 mx = 4.5 m

M_x = kN·m

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_req ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้

w = 5 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 40 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 145 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 145 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

แผ่น 120 mm × 150 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 90 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว I แบบเชื่อมมีปีกบน 120 × 24 mm เอวสูง 390 mm หนา 10 mm และปีกล่าง 160 × 10 mm (กว้าง × หนา) จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x รอบแกน x ที่ผ่านเซนทรอยด์ในแนวนอน

ปีกบน: 120 × 24 mmเอว: 10 × 390 mmปีกล่าง: 160 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.ความเค้นประสิทธิผลในดินปานกลาง

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นประสิทธิผลในแนวดิ่ง σ′ ที่จุด X

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 17 kN/m³ทราย: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดินยาก

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นรวมในแนวดิ่ง σ ที่จุด X

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 16.5 kN/m³ทราย: γ_sat = 20 kN/m³ดินเหนียว: γ_sat = 17 kN/m³

σ = kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปานกลาง

ชั้นดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติหนา 5 m มี C_c = 0.35, C_r = 0.03 และ e₀ = 0.9 ที่กึ่งกลางชั้นความเค้นประสิทธิผลแนวดิ่งคือ 50 kPa และอัตราส่วนการอัดตัวเกินปกติคือ OCR = 2 อาคารใหม่เพิ่มความเค้นแนวดิ่ง 40 kPa ที่กึ่งกลางชั้น หาการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ S ใน mm

H = 5 mC_c = 0.35C_r = 0.03e₀ = 0.9σ′₀ = 50 kPaOCR = 2Δσ = 40 kPa

S = mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำยาก

ชั้นดินเหนียวหนา 8.5 m มีสัมประสิทธิ์การอัดตัวคายน้ำ c_v = 5 m²/ปี อยู่บนชั้นหินที่ไม่ซึมน้ำ โดยมีทรายอยู่ด้านบน น้ำจึงระบายออกเฉพาะด้านบน สำหรับการอัดตัวเฉลี่ย 80% ตัวประกอบเวลาคือ T_v = 0.567 ชั้นดินใช้เวลากี่ปี t จึงอัดตัวถึง 80%

H = 8.5 mc_v = 5 m²/ปีU = 80%T_v = 0.567ระบายน้ำด้านเดียว

t = ปี

17.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 4 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 2.9 m/s ผ่านท่อยาว 800 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 50 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน h_f

V = 2.9 m/sL = 800 mD = 50 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 11 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 3 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 2) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s

Δz = 11 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง

ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูคอนกรีตไม่เรียบมีความกว้างก้น 2 m และความลาดข้าง 3:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 2.5 m แมนนิง n = 0.014 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.004 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s

b = 2 my = 2.5 mz = 3n = 0.014S = 0.004

Q = m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก

ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูดินสะอาดที่มีความกว้างก้น 2.5 m และความลาดข้าง 1:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) ต้องรองรับ 4 m³/s ในการไหลสม่ำเสมอที่ความลึก 1.1 m แมนนิง n = 0.022 หาความลาดชันท้องน้ำที่ต้องการ S (ใน m/m)

Q = 4 m³/sb = 2.5 my = 1.1 mz = 1n = 0.022

S = m/m

23.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 80 L/s ต้านเฮด 78 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 72% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 92% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า P_el ที่มอเตอร์ดึง ใน kW

Q = 80 L/sH = 78 mη_pump = 72%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 20 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 38 m ท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ประสิทธิภาพปั๊มคือ 80% หากำลังที่เพลา P_shaft ใน kW

Q = 20 L/sΔz = 38 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.022ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

25.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

บัตรเครดิตคิดอัตราดอกเบี้ยตามชื่อ 25% ต่อปี ทบต้นรายวัน จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี EAR เป็นเปอร์เซ็นต์

r = 25%m = 365

EAR = %

26.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

สินเชื่อบ้าน €150 000 ผ่อนชำระด้วยงวดรายเดือนเท่ากันเป็นเวลา 25 ปี ที่ 6% ต่อปี ทบต้นรายเดือน หลังจ่ายงวดสิ้นปีที่ 12 ทันที ยังเป็นหนี้เท่าใด จงหายอดหนี้คงค้าง B

P = €150 0006% / 12N = 300k = 144

B = €

27.NPV และ IRRปานกลาง

โครงการมีต้นทุนวันนี้ €500 000 ให้ €32 000 ที่สิ้นปีแรก แล้วกระแสเงินสดเติบโต 1% ต่อปีตลอดไป ต้นทุนเงินทุนคือ 9% จงหามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

C₀ = €500 000CF₁ = €32 000g = 1%r = 9%

NPV = €

28.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุน €40 000 และให้ผลตอบแทน €26 000, €29 500 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 2 หาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์

CF₀ = −40 000CF₁ = 26 000CF₂ = 29 500

IRR = %

29.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.8473 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.8473

z =

30.การแจกแจงปกติยาก

เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.05 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.01 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.02 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

รู: μ = 25.05 mm, σ = 0.01 mmเพลา: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 40 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·3 + 55·5

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 40 = 30 kN

คำตอบ

R_B = 40 kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 45.08 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

องค์ประกอบของ P

P_v = 20·sin 45° = 14.14 kN

P_h = 20·cos 45° = 14.14 kN

แรงปฏิกิริยา

ΣM_A = 0: R_B·8 = 14.14·5 + 60·3 → R_B = 31.34 kN

A_y = 14.14 + 60 − 31.34 = 42.8 kN

A_x = P_h = 14.14 kN

แรงลัพธ์ที่ A

R_A = √(14.14² + 42.8²) = 45.08 kN

คำตอบ

R_A = 45.08 kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน CG

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ G

FG และ GH อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง CG

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 33.75 kN (T), BC: 33.75 kN (T), CD: 31.25 kN (T), DE: 31.25 kN (T), FG: 37.5 kN (C), GH: 37.5 kN (C), AF: 47.73 kN (C), HE: 44.19 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 5.303 kN (T), HC: 8.839 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: CG

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน CG

จุดต่อ C

BC และ CD อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง CG

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 55.83 kN (T), BC: 81.67 kN (T), CD: 81.67 kN (T), DE: 74.17 kN (T), FG: 55.83 kN (C), GH: 74.17 kN (C), AF: 32.29 kN (C), HE: 92.71 kN (C), BF: 19.38 kN (T), CG: 0, DH: 20.63 kN (T), BG: 32.29 kN (C), DG: 9.375 kN (C)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: CG

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 2.25 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN กระทำที่ x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2.5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

ตัดที่ x = 0.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 5·0.5 − 2·0.5·0.25 = 2.25 kN·m

คำตอบ

M_x = 2.25 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 45.5 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN กระทำที่ x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2 + 12·6·3

R_B = 236/6 = 39.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 82 − 39.33 = 42.67 kN

ตัดที่ x = 4.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 42.67·4.5 − 10·(4.5 − 2) − 12·4.5·2.25 = 45.5 kN·m

คำตอบ

M_x = 45.5 kN·m

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 4.395 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่น

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 4.395 mm

คำตอบ

δ_max = 4.395 mm

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: I_req = 5.232 × 10⁶ mm⁴

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·2500⁴/(384·70000·6.944) = 5.232 × 10⁶ mm⁴

I_req = 5.232 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_req = 5.232 × 10⁶ mm⁴

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 15.5 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·2000 = 4000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4000² = 15503 N = 15.5 kN

คำตอบ

P_cr = 15.5 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 83.19 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 83.19 mm

คำตอบ

d = 83.19 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 192.3 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 33.54 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (18000·75 − 706.9·90)/(18000 − 706.9) = 74.39 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

120·150³/12 + 18000·0.6131² = 33.76 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·15.61² = 0.2121 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 33.54 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 33.54 × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 227.9 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีกบน: A = 2880 mm², y = 412 mm

เอว: A = 3900 mm², y = 205 mm

ปีกล่าง: A = 1600 mm², y = 5 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (2880·412 + 3900·205 + 1600·5)/8380 = 238 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีกบน: 120·24³/12 + 2880·174² = 8.738 × 10⁷ mm⁴

เอว: 10·390³/12 + 3900·32.95² = 5.367 × 10⁷ mm⁴

ปีกล่าง: 160·10³/12 + 1600·233² = 8.684 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.738 × 10⁷ + 5.367 × 10⁷ + 8.684 × 10⁷

I_x = 2.279 × 10⁸ mm⁴ = 227.9 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 227.9 × 10⁶ mm⁴

13.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ′ = 59.76 kPa

ความเค้นประสิทธิผล (เทอร์ซากี): โครงสร้างของดินรับความเค้น σ′ = σ − u ความเค้นรวม σ คือน้ำหนักของทุกสิ่งเหนือจุดนั้น Σγ·h โดยใช้หน่วยน้ำหนักแห้งเหนือระดับน้ำใต้ดิน และหน่วยน้ำหนักอิ่มตัวใต้ระดับน้ำใต้ดิน ใต้ระดับน้ำใต้ดิน ความดันน้ำในช่องว่างเป็นแบบไฮโดรสแตติก: u = γ_w·(ความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน)

ความเค้นรวม

บวกน้ำหนักของดินแต่ละชั้นเหนือ X เหนือระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักแห้ง ใต้ระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักอิ่มตัว

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·1 + 20.5·4 = 99 kPa

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

ความเค้นประสิทธิผล

σ′ = σ − u = 99 − 39.24 = 59.76 kPa

คำตอบ

σ′ = 59.76 kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ = 121 kPa

ความเค้นรวม

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·4

σ = 16.5·2 + 20·1 + 17·4 = 121 kPa

คำตอบ

σ = 121 kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: S = 20.15 mm

การอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ ของชั้นดินเหนียวหนา H โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลที่กึ่งกลางชั้น: σ′_f = σ′₀ + Δσ ดินเหนียวที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) ดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติจะอัดซ้ำตาม C_r จนถึงความดันอัดตัวก่อนหน้า σ′_p และเป็นไปตาม C_c เฉพาะหลังจากนั้น เวลา: t = T_v·H_dr²/c_v โดยระยะระบายน้ำ H_dr เท่ากับ H/2 เมื่อน้ำออกได้ทั้งด้านบนและล่าง และ H เมื่อระบายด้านเดียว

ความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·50 = 100 kPa

เปรียบเทียบกับความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_f = 50 + 40 = 90 kPa ≤ 100 kPa

การทรุดตัว

ดินเหนียวยังอยู่บนเส้นอัดซ้ำ

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.03·5/(1 + 0.9)·log₁₀(90/50) = 20.15 mm

คำตอบ

S = 20.15 mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: t = 8.193 ปี

ระยะทางระบายน้ำ

H_dr = H = 8.5 m

เวลา

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.567·8.5²/5 = 8.193 ปี

คำตอบ

t = 8.193 ปี

17.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 242.8 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·4.5 = 242.8 kN

คำตอบ

F = 242.8 kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 3.111 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·2 = 60.33 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 0.6667/(3·2) = 3.111 m

คำตอบ

y_cp = 3.111 m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: h_f = 150.9 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 2.9²/(2·9.81) = 0.4286 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(800/0.05)·2.9²/(2·9.81) = 150.9 m

คำตอบ

h_f = 150.9 m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Q = 58.94 L/s

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.015·150/0.15 = 15

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

สมการพลังงาน

ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ

11 = (15 + 4.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·11/19.4) = 3.335 m/s

อัตราการไหล

Q = V·π·D²/4 = 3.335·0.01767 = 0.05894 m³/s = 58.94 L/s

คำตอบ

Q = 58.94 L/s

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: Q = 130 m³/s

สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4

เรขาคณิต

A = (b + z·y)·y = (2 + 3·2.5)·2.5 = 23.75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2.5·√(1 + 3²) = 17.81 m

R = A/P = 1.333 m

ความเร็ว

V = (1/0.014)·1.333^2/3·0.004^1/2 = 5.473 m/s

อัตราการไหล

Q = A·V = 23.75·5.473 = 130 m³/s

คำตอบ

Q = 130 m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: S = 0.000786 m/m

เรขาคณิต

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 1·1.1)·1.1 = 3.96 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·1.1·√(1 + 1²) = 5.611 m

R = A/P = 0.7057 m

แก้สมการแมนนิงหา S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·4/(3.96·0.7927) = 0.02803

S = 0.02803² = 0.000786

คำตอบ

S = 0.000786

นั่นคือท้องน้ำลดลง 0.786 m ต่อกิโลเมตร

23.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_el = 92.41 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·78 = 61.21 kW

กำลังที่เพลา

P_shaft = 61.21/0.72 = 85.02 kW

กำลังไฟฟ้า

P_el = 85.02/0.92 = 92.41 kW

คำตอบ

P_el = 92.41 kW

24.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_shaft = 11.75 kW

ความเร็ว

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0.3305 = 9.915 m

เฮดของปั๊ม

H = Δz + h_L = 38 + 9.915 = 47.92 m

กำลังที่เพลา

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·47.92/0.8 = 11.75 kW

คำตอบ

P_shaft = 11.75 kW

25.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: EAR = 28.39 %

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราต่องวด

r/m = 0.25/365 = 0.0006849

ทบตลอดหนึ่งปี

EAR = (1 + 0.0006849)³⁶⁵ − 1 = 1.284 − 1 = 28.39%

คำตอบ

EAR = 28.39%

EAR สูงกว่าอัตราตามชื่อเสมอเมื่อทบต้นมากกว่าหนึ่งครั้งต่อปี

26.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: B = 104513 €

เงินผ่อนต่อเดือน

i = 0.005, N = 300

A = 150 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)⁻³⁰⁰) = €966.45

มูลค่าปัจจุบันของงวดที่เหลือ

หนี้ที่ยังคงค้างต้องถูกชำระหมดพอดีด้วยงวดที่เหลือ

N − k = 300 − 144 = 156

B = 966.5·(1 − (1 + 0.005)⁻¹⁵⁶)/0.005 = €104 512.56

คำตอบ

B = €104 512.56

27.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = −100000 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าของกระแสเงินสด

PV = 32 000/(0.09 − 0.01) = 400 000.00

NPV

NPV = 400 000.00 − 500 000 = −€100 000.00

คำตอบ

NPV = −€100 000.00

NPV เป็นลบ ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนน้อยกว่าที่ต้องการ

28.NPV และ IRR

คำตอบ: IRR = 24.32 %

กำหนดช่วงของ IRR

NPV ลดลงเมื่ออัตราเพิ่มขึ้น ดังนั้น IRR จึงอยู่ระหว่างอัตราที่ให้ NPV เป็นบวกกับอัตราที่ให้ NPV เป็นลบ

NPV(20%) = 2 152.78

NPV(25%) = −320.00

บีบช่วงให้แคบลง

การเทียบสัดส่วนเชิงเส้นให้ค่าประมาณแรก ทำซ้ำ (หรือใช้ฟังก์ชัน IRR ของเครื่องคิดเลข) จะได้อัตราที่แน่นอน

IRR ≈ 20 + 5·2 152.78/(2 152.78 − (−320.00)) = 24.35%

ค่าที่แน่นอน: NPV(24.32%) = 0 → IRR = 24.32%

คำตอบ

IRR = 24.32%

29.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 1.43

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = (1 + 0.8473)/2 = 0.9236

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.9236 ในตารางและอ่านค่า z

z = 1.43

คำตอบ

z = 1.43

30.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.9875

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02236 mm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 0.05)/0.02236 = −2.24

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−2.24) = 0.9875

คำตอบ

P = 0.9875

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น การสอบ FE exam จัดโดย NCEES ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems และไม่ได้รับรอง ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil