สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 30 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RB
คานมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างจาก A 4 m และมีส่วนยื่นเลย B ไปถึงปลายอิสระ C รับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 2 m จาก A และแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w จาก 3 m ถึงปลายอิสระที่ 6 m จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง RA โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก
มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ
ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง FAC ในชิ้นส่วน AC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ
คานยื่นถูกยึดแน่นที่ A รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว และแรงกระทำเป็นจุด P ที่ตำแหน่ง 1 m จาก A จงหาโมเมนต์ดัด MA ที่จุดรองรับแบบยึดแน่น A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก
คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 2.5 m ถึงปลายอิสระ C แรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w กระทำตลอดความยาว A–C จงหาโมเมนต์ดัดแอ่นลงสูงสุด Mmax ระหว่างจุดรองรับ
คานยื่นยาว L ถูกยึดแน่นที่ A และรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ a = 0.5 m จาก A จงหาการโก่งตัว δB ที่ปลายอิสระ B
คานไม้ช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 150 mm รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคานต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 จงหาความลึกที่น้อยที่สุด hreq ของหน้าตัด
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
แผ่น 150 mm × 200 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 80 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์
แผ่น 150 mm × 300 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 80 mm สูง 40 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 120 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์
สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความดันน้ำในช่องว่าง u ที่จุด X
สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความดันน้ำในช่องว่าง u ที่จุด X
ชั้นดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติหนา 8 m มี Cc = 0.5, Cr = 0.03 และ e₀ = 0.7 ที่กึ่งกลางชั้นความเค้นประสิทธิผลแนวดิ่งคือ 60 kPa และความดันอัดตัวก่อนหน้าคือ 160 kPa อาคารใหม่เพิ่มความเค้นแนวดิ่ง 85 kPa ที่กึ่งกลางชั้น หาการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ S ใน mm
ในการทดสอบออดิโอมิเตอร์ในห้องปฏิบัติการ ตัวอย่างดินเหนียวหนา 19 mm ระบายน้ำที่ด้านบนและด้านล่าง อัดตัวถึง 50% ใน 5 นาที ในสนามดินเหนียวชนิดเดียวกันเป็นชั้นหนา 6 m อยู่บนชั้นหินที่ไม่ซึมน้ำ โดยมีทรายอยู่ด้านบน น้ำจึงระบายออกเฉพาะด้านบน ชั้นดินในสนามใช้เวลากี่วัน t จึงอัดตัวถึง 50%
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาความลึก ycp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว
น้ำไหลด้วย 150 L/s ผ่านท่อยาว 50 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.028 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.025 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 9 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 3 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 2) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s
ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูคอนกรีตไม่เรียบมีความกว้างก้น 4 m และความลาดข้าง 2:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 0.7 m แมนนิง n = 0.014 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.005 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s
ท่อระบายน้ำคอนกรีตเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 450 mm (แมนนิง n = 0.013) ต้องมีความเร็วชะล้างตัวเอง 0.9 m/s เมื่อไหลเต็มท่อพอดี หาความลาดชันต่ำสุด S (ใน m/m)
ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 10 L/s ต้านเฮด 60 m ขณะที่เพลาใช้ 9.8 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 80 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 17 m ท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ถังบนปิดและอากาศเหนือน้ำมีความดันเกจ 100 kPa หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้
คุณลงทุน €5 000 ที่อัตราตามชื่อ 3% ต่อปี ทบต้นรายไตรมาส หามูลค่า FV ของเงินลงทุนหลังผ่านไป 3 ปี
คุณกู้ €20 000 ที่ดอกเบี้ย 7.2% ต่อปี ทบต้นรายเดือน และชำระ €625 ทุกสิ้นเดือน ต้องใช้กี่เดือนจึงชำระหนี้หมด (งวดสุดท้ายอาจน้อยกว่า) ตอบเป็นจำนวนงวดที่ชำระ N
โครงการมีต้นทุนวันนี้ €400 000 ให้ €19 000 ที่สิ้นปีแรก แล้วกระแสเงินสดเติบโต 3% ต่อปีตลอดไป ต้นทุนเงินทุนคือ 9% จงหามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV
โครงการมีต้นทุน €25 000 และให้ผลตอบแทน €10 000, €13 000, €18 500 เมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 หาอัตราผลตอบแทนภายใน IRR เป็นเปอร์เซ็นต์
มวลของกล่องเป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 12 kg และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.8 kg จงหาความน่าจะเป็น P ที่มวลรวมของ 5 ชิ้นเกิน 60.9 kg ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.02 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.015 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.02 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
คำตอบ: RB = 22.5 kN
สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ
แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน
โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง
คำตอบ: RA = 6.75 kN
สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ
โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง
คำตอบ: ชิ้นส่วน CG
ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์
BC และ CD อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง CG
การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)
คำตอบ: FAC = −2.222 kN
วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด
สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก
ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง
คำตอบ: MA = −34.38 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
ค่าลบหมายถึงโมเมนต์ลบ: ผิวด้านบนรับแรงดึง
คำตอบ: Mmax = 15.37 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่
สมดุลของคานทั้งหมด รวมถึงแรงกระทำบนส่วนยื่น
คำตอบ: δB = 13.89 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
การโก่งตัวที่แรงกระทำ บวกมุมลาดเอียงที่แรงกระทำคูณความยาวที่เหลือ
คำตอบ: hreq = 185.6 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
ในทางปฏิบัติ ให้เลือกความลึกมาตรฐานถัดไปที่สูงกว่าค่านี้
คำตอบ: Pcr = 839.3 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
คำตอบ: σcr = 34.27 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
คำตอบ: Ix = 99.35 × 10⁶ mm⁴
หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64
คำตอบ: Ix = 334 × 10⁶ mm⁴
หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64
คำตอบ: u = 39.24 kPa
ความเค้นประสิทธิผล (เทอร์ซากี): โครงสร้างของดินรับความเค้น σ′ = σ − u ความเค้นรวม σ คือน้ำหนักของทุกสิ่งเหนือจุดนั้น Σγ·h โดยใช้หน่วยน้ำหนักแห้งเหนือระดับน้ำใต้ดิน และหน่วยน้ำหนักอิ่มตัวใต้ระดับน้ำใต้ดิน ใต้ระดับน้ำใต้ดิน ความดันน้ำในช่องว่างเป็นแบบไฮโดรสแตติก: u = γw·(ความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน)
ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน
คำตอบ: u = 49.05 kPa
ความเค้นประสิทธิผล (เทอร์ซากี): โครงสร้างของดินรับความเค้น σ′ = σ − u ความเค้นรวม σ คือน้ำหนักของทุกสิ่งเหนือจุดนั้น Σγ·h โดยใช้หน่วยน้ำหนักแห้งเหนือระดับน้ำใต้ดิน และหน่วยน้ำหนักอิ่มตัวใต้ระดับน้ำใต้ดิน ใต้ระดับน้ำใต้ดิน ความดันน้ำในช่องว่างเป็นแบบไฮโดรสแตติก: u = γw·(ความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน)
ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน
คำตอบ: S = 54.1 mm
การอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ ของชั้นดินเหนียวหนา H โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลที่กึ่งกลางชั้น: σ′f = σ′0 + Δσ ดินเหนียวที่อัดตัวปกติ: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) ดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติจะอัดซ้ำตาม Cr จนถึงความดันอัดตัวก่อนหน้า σ′p และเป็นไปตาม Cc เฉพาะหลังจากนั้น เวลา: t = Tv·Hdr²/cv โดยระยะระบายน้ำ Hdr เท่ากับ H/2 เมื่อน้ำออกได้ทั้งด้านบนและล่าง และ H เมื่อระบายด้านเดียว
ดินเหนียวยังอยู่บนเส้นอัดซ้ำ
คำตอบ: t = 1385 วัน
การอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ ของชั้นดินเหนียวหนา H โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลที่กึ่งกลางชั้น: σ′f = σ′0 + Δσ ดินเหนียวที่อัดตัวปกติ: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) ดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติจะอัดซ้ำตาม Cr จนถึงความดันอัดตัวก่อนหน้า σ′p และเป็นไปตาม Cc เฉพาะหลังจากนั้น เวลา: t = Tv·Hdr²/cv โดยระยะระบายน้ำ Hdr เท่ากับ H/2 เมื่อน้ำออกได้ทั้งด้านบนและล่าง และ H เมื่อระบายด้านเดียว
t = Tv·Hdr²/cv โดยใช้ T_v และ cv เดียวกันทั้งในห้องปฏิบัติการและในสนาม
คำตอบ: F = 264.9 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
คำตอบ: ycp = 3.714 m
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์
คำตอบ: hf = 2.665 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
คำตอบ: Q = 86.77 L/s
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ
คำตอบ: Q = 12.51 m³/s
สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R2/3·S1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4
คำตอบ: S = 0.002521 m/m
สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R2/3·S1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4
นั่นคือท้องน้ำลดลง 2.521 m ต่อกิโลเมตร
คำตอบ: η = 60.06 %
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
คำตอบ: H = 37.11 m
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ผิวทั้งสองแทบจะนิ่ง จึงไม่มีพจน์เฮดความเร็ว
คำตอบ: FV = 5469 €
มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)n เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด
คำตอบ: N = 36 งวด
มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)n เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด
การชำระเต็ม 35 งวดยังเหลือยอดเล็กน้อย ซึ่งงวดสุดท้ายที่น้อยกว่าจะชำระให้หมด
คำตอบ: NPV = −83333 €
มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0
NPV เป็นลบ ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนน้อยกว่าที่ต้องการ
คำตอบ: IRR = 26.91 %
มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0
NPV ลดลงเมื่ออัตราเพิ่มขึ้น ดังนั้น IRR จึงอยู่ระหว่างอัตราที่ให้ NPV เป็นบวกกับอัตราที่ให้ NPV เป็นลบ
การเทียบสัดส่วนเชิงเส้นให้ค่าประมาณแรก ทำซ้ำ (หรือใช้ฟังก์ชัน IRR ของเครื่องคิดเลข) จะได้อัตราที่แน่นอน
คำตอบ: P = 0.3085
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
คำตอบ: P = 0.7881
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น การสอบ FE exam จัดโดย NCEES ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems และไม่ได้รับรอง ExamProblems
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil