ฝึกข้อสอบ FE โยธา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 30 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

ความเค้นประสิทธิผลในดิน

ความเค้นรวม: σ = Σγ_i·h_i
ความดันน้ำในช่องว่าง: u = γ_w·(z − z_w)
ความเค้นประสิทธิผล: σ′ = σ − u
น้ำ: γ_w = 9.81 kN/m³

การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

ดินที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ความเค้นสุดท้าย: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
อัตราส่วนการอัดตัวเกิน: OCR = σ′_p/σ′₀
เวลาสำหรับการอัดตัวคายน้ำ: t = T_v·H_dr²/c_v
ระยะทางระบายน้ำ: H_dr = H/2 (ระบายน้ำสองด้าน), H (ระบายน้ำด้านเดียว)
ตัวประกอบเวลา: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

สมการแมนนิง: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
อัตราการไหล: Q = A·V
รัศมีไฮดรอลิก: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y
สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ: R = D/4
ความลาดชันที่ต้องการ: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานยื่นยึดแน่นกับผนังที่ A รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว และแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 2.5 m จากผนัง จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_A ที่ผนัง

L = 4 mP = 70 kN ที่ 2.5 mw = 4 kN/m จาก 0 ถึง 4 m

R_A = kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานยื่นยึดแน่นกับผนังที่ A รับแรงกระทำที่เปลี่ยนแปลงเชิงเส้นซึ่งมีค่า 4 kN/m ที่ผนังและลดลงเป็นศูนย์ที่ปลายอิสระ B บวกแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 5 m จากผนัง จงหาขนาดของโมเมนต์ปฏิกิริยา M_A ที่ผนัง

L = 5 mw₀ = 4 kN/mP = 40 kN ที่ 5 m

M_A = kN·m

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

H: 25 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน BG
13ชิ้นส่วน DG

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

D: 35 kN ↓F: 30 kN ↓F: 35 kN →G: 40 kN ↓H: 35 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน BG
13ชิ้นส่วน DG

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

15 kN @ 10 m55 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 1 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 4 mP = 15 kN ที่ 2.5 mw = 5 kN/m จาก 0 ถึง 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานยื่นรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว หาระยะแอ่น δ ที่ปลายอิสระ

w = 8 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w และแรงจุด P ที่กึ่งกลางช่วง ใช้การซ้อนทับหาระยะแอ่น δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

P = 4 kNw = 6 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 1 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 55 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 55 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากลวง (หน้าตัดกล่อง) กว้างภายนอก B = 120 mm สูงภายนอก H = 150 mm และความหนาผนังสม่ำเสมอ t = 14 mm จงหารัศมีไจเรชัน r รอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน

B = 120 mmH = 150 mmt = 14 mm

r = mm

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 30 kN·m หาขนาดของความเค้นดัด σ_บน ที่ขอบบน

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mmM = 30 kN·m

σ_บน = MPa

13.ความเค้นประสิทธิผลในดินปานกลาง

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นรวมในแนวดิ่ง σ ที่จุด X

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 17 kN/m³ทราย: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ = kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดินยาก

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความเค้นรวมในแนวดิ่ง σ ที่จุด X

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 15 kN/m³ทราย: γ_sat = 19 kN/m³ดินเหนียว: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปานกลาง

ชั้นดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติหนา 4.5 m มี C_c = 0.5, C_r = 0.03 และ e₀ = 0.6 ที่กึ่งกลางชั้นความเค้นประสิทธิผลแนวดิ่งคือ 55 kPa และความดันอัดตัวก่อนหน้าคือ 155 kPa อาคารใหม่เพิ่มความเค้นแนวดิ่ง 20 kPa ที่กึ่งกลางชั้น หาการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ S ใน mm

H = 4.5 mC_c = 0.5C_r = 0.03e₀ = 0.6σ′₀ = 55 kPaσ′_p = 155 kPaΔσ = 20 kPa

S = mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำยาก

ในการทดสอบออดิโอมิเตอร์ในห้องปฏิบัติการ ตัวอย่างดินเหนียวหนา 19 mm ระบายน้ำที่ด้านบนและด้านล่าง อัดตัวถึง 50% ใน 4 นาที ในสนามดินเหนียวชนิดเดียวกันเป็นชั้นหนา 5.5 m อยู่บนชั้นหินที่ไม่ซึมน้ำ โดยมีทรายอยู่ด้านบน น้ำจึงระบายออกเฉพาะด้านบน ชั้นดินในสนามใช้เวลากี่วัน t จึงอัดตัวถึง 50%

h_lab = 19 mmt_lab = 4 minH = 5.5 mในสนาม: ระบายน้ำด้านเดียว

t = วัน

17.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 2.1 m/s ผ่านท่อยาว 800 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน h_f

V = 2.1 m/sL = 800 mD = 150 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 500 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 39 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 2 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 5) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s

Δz = 39 mL = 500 mD = 250 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง

ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูดินสะอาดมีความกว้างก้น 2.5 m และความลาดข้าง 2:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 0.8 m แมนนิง n = 0.022 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.001 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s

b = 2.5 my = 0.8 mz = 2n = 0.022S = 0.001

Q = m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก

ท่อระบายน้ำคอนกรีตเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm (แมนนิง n = 0.013) ต้องมีความเร็วชะล้างตัวเอง 0.6 m/s เมื่อไหลเต็มท่อพอดี หาความลาดชันต่ำสุด S (ใน m/m)

D = 200 mmn = 0.013V = 0.6 m/s

S = m/m

23.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s ต้านเฮด 36 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 78% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 92% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า P_el ที่มอเตอร์ดึง ใน kW

Q = 50 L/sH = 36 mη_pump = 78%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 80 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 7 m ท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 3 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ถังบนปิดและอากาศเหนือน้ำมีความดันเกจ 400 kPa หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 3p_tank = 400 kPa

H = m

25.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

คุณต้องการเงิน €40 000 ในอีก 6 ปี บัญชีให้ดอกเบี้ย 4.8% ต่อปี ทบต้นรายไตรมาส วันนี้ต้องฝากเท่าใด หามูลค่าปัจจุบัน PV

FV = €40 0004.8% / 4n = 6

PV = €

26.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

คุณฝาก €5 000 ต้นปีทุกปีเป็นเวลา 22 ปี โดยฝากครั้งแรกวันนี้ บัญชีให้ดอกเบี้ย 5% ต่อปี เมื่อสิ้นปีที่ 22 จะมีเงินในบัญชีเท่าใด จงหา FV

A = €5 000i = 5%n = 22

FV = €

27.NPV และ IRRปานกลาง

การลงทุน €30 000 ให้กระแสเงินสดเมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 4 ดังนี้: €10 000, €10 000, €6 000, €7 000 ต้นทุนเงินทุนคือ 9% หามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 10 000CF₃ = 6 000CF₄ = 7 000

NPV = €

28.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุน €40 000 และให้ผลตอบแทน €18 000, €19 000, €14 500, €21 000 ทุกสิ้นปีที่ 1 ถึง 4 กระแสเงินสดนำไปลงทุนซ้ำได้ที่ต้นทุนเงินทุน 10% จงหาอัตราผลตอบแทนภายในที่ปรับปรุงแล้ว MIRR เป็นเปอร์เซ็นต์

r = 10%CF₀ = −40 000CF₁ = 18 000CF₂ = 19 000CF₃ = 14 500CF₄ = 21 000

MIRR = %

29.การแจกแจงปกติปานกลาง

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 65 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 65 และ 67 คะแนน เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 65σ = 10x₁ = 65x₂ = 67

P =

30.การแจกแจงปกติยาก

ส่วนสูงของผู้ชายวัยผู้ใหญ่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 178 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 cm หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 10% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 10)

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 86 kN

สมดุลของคานยื่น: จุดรองรับแบบยึดแน่นดันขึ้นได้และต้านการหมุนได้ด้วย จึงให้แรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_A และโมเมนต์ปฏิกิริยา M_A ΣF_y = 0 ให้ R_A และโมเมนต์รอบผนังให้ M_A = Σ(แรง × ระยะจากผนัง) แรงกระทำแบบแผ่กระทำเป็นแรงลัพธ์ที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง

แรงลัพธ์ของแรงกระทำแบบแผ่

W = 4·4 = 16 kN, x̄ = 2 m

สมดุลในแนวดิ่ง

R_A = P + W = 70 + 16 = 86 kN

คำตอบ

R_A = 86 kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: M_A = 216.7 kN·m

แรงลัพธ์ของแรงกระทำรูปสามเหลี่ยม

W = ½·4·5 = 10 kN

x̄ = L/3 = 1.667 m

โมเมนต์รอบผนัง

M_A = W·x̄ + P·a = 10·1.667 + 40·5 = 216.7 kN·m

คำตอบ

M_A = 216.7 kN·m

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน CG

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ C

BC และ CD อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง CG

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 4.687 kN (T), BC: 9.375 kN (T), CD: 9.375 kN (T), DE: 14.06 kN (T), FG: 4.687 kN (C), GH: 14.06 kN (C), AF: 7.813 kN (C), HE: 23.44 kN (C), BF: 6.25 kN (T), CG: 0, DH: 6.25 kN (C), BG: 7.813 kN (C), DG: 7.813 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: CG

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน CG

จุดต่อ C

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 71.25 kN (T), BC: 85 kN (T), CD: 85 kN (T), DE: 68.75 kN (T), FG: 71.25 kN (C), GH: 68.75 kN (C), AF: 60.42 kN (C), HE: 114.6 kN (C), BF: 18.33 kN (T), CG: 0, DH: 56.67 kN (T), BG: 22.92 kN (C), DG: 27.08 kN (C)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: CG

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: C (x = 4 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 39.17 kN, R₂ = 30.83 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 78.33, M_C = 156.7 kN·m, M_D = 125, M_E = 93.33, M_F = 61.67, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย C: M_C = 156.7 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 13.13 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN กระทำที่ x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2.5 + 5·4·2

R_B = 77.5/4 = 19.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 19.38 = 15.63 kN

ตัดที่ x = 1 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 15.63·1 − 5·1·0.5 = 13.13 kN·m

คำตอบ

M_x = 13.13 kN·m

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ = 1.269 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่น

δ = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 1.269 mm

คำตอบ

δ = 1.269 mm

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 6.944 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 4000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm, EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·2500³/(48·6.27 × 10¹¹) = 2.077 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 4.867 mm

บวกเข้าด้วยกัน

δ_max = 2.077 + 4.867 = 6.944 mm

คำตอบ

δ_max = 6.944 mm

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 78.48 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·1000 = 1000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1000² = 78485 N = 78.48 kN

คำตอบ

P_cr = 78.48 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 88.49 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 88.49 mm

คำตอบ

d = 88.49 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 271.2 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: r = 54.1 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = I_c + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด รัศมีไจเรชัน r = √(I/A) คือระยะที่ถ้าพื้นที่ทั้งหมดอยู่ที่ระยะนั้นจะให้ I เท่าเดิม ใช้ในการโก่งเดาะของเสา

พื้นที่สุทธิและโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

b = 92 mm, h = 122 mm

A = BH − bh = 120·150 − 92·122 = 6776 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1.983 × 10⁷ mm⁴

รัศมีไจเรชัน

r = √(I/A) = √(1.983 × 10⁷/6776) = 54.1 mm

คำตอบ

r = 54.1 mm

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_บน = 43.61 MPa

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287.5 mm

เอว: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·287.5 + 3920·140)/6920 = 203.9 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 200·15³/12 + 3000·(287.5 − 203.9)² = 2.1 × 10⁷ mm⁴

เอว: 14·280³/12 + 3920·(140 − 203.9)² = 4.164 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.1 × 10⁷ + 4.164 × 10⁷ = 6.264 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบบนอยู่ห่างจากแกน h − ȳ

y = 295 − 203.9 = 91.05 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·91.05/6.264 × 10⁷ = 43.61 MPa

คำตอบ

σ_บน = 43.61 MPa

13.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ = 95 kPa

ความเค้นประสิทธิผล (เทอร์ซากี): โครงสร้างของดินรับความเค้น σ′ = σ − u ความเค้นรวม σ คือน้ำหนักของทุกสิ่งเหนือจุดนั้น Σγ·h โดยใช้หน่วยน้ำหนักแห้งเหนือระดับน้ำใต้ดิน และหน่วยน้ำหนักอิ่มตัวใต้ระดับน้ำใต้ดิน ใต้ระดับน้ำใต้ดิน ความดันน้ำในช่องว่างเป็นแบบไฮโดรสแตติก: u = γ_w·(ความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน)

ความเค้นรวม

บวกน้ำหนักของดินแต่ละชั้นเหนือ X เหนือระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักแห้ง ใต้ระดับน้ำใต้ดินใช้หน่วยน้ำหนักอิ่มตัว

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·1 + 19.5·4 = 95 kPa

คำตอบ

σ = 95 kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: σ = 110 kPa

ความเค้นรวม

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2

σ = 15·1 + 19·3 + 19·2 = 110 kPa

คำตอบ

σ = 110 kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: S = 11.37 mm

การอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ ของชั้นดินเหนียวหนา H โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลที่กึ่งกลางชั้น: σ′_f = σ′₀ + Δσ ดินเหนียวที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) ดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติจะอัดซ้ำตาม C_r จนถึงความดันอัดตัวก่อนหน้า σ′_p และเป็นไปตาม C_c เฉพาะหลังจากนั้น เวลา: t = T_v·H_dr²/c_v โดยระยะระบายน้ำ H_dr เท่ากับ H/2 เมื่อน้ำออกได้ทั้งด้านบนและล่าง และ H เมื่อระบายด้านเดียว

เปรียบเทียบกับความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_f = 55 + 20 = 75 kPa ≤ 155 kPa

การทรุดตัว

ดินเหนียวยังอยู่บนเส้นอัดซ้ำ

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.03·4.5/(1 + 0.6)·log₁₀(75/55) = 11.37 mm

คำตอบ

S = 11.37 mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: t = 931.1 วัน

ระยะระบายน้ำ

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 5.5 m

ปรับสเกลเวลา

t = T_v·H_dr²/c_v โดยใช้ T_v และ c_v เดียวกันทั้งในห้องปฏิบัติการและในสนาม

t_field = 4·(5.5/0.0095)² = 1.341 × 10⁶ min

t_field = 1.341 × 10⁶/1440 = 931.1 วัน

คำตอบ

t = 931.1 วัน

17.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 110.4 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·5 = 110.4 kN

คำตอบ

F = 110.4 kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 296.7 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4·6 = 296.7 kN

คำตอบ

F = 296.7 kN

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: h_f = 17.98 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 2.1²/(2·9.81) = 0.2248 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(800/0.15)·2.1²/(2·9.81) = 17.98 m

คำตอบ

h_f = 17.98 m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Q = 222.9 L/s

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.015·500/0.25 = 30

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

สมการพลังงาน

ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ

39 = (30 + 7.1)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·39/37.1) = 4.541 m/s

อัตราการไหล

Q = V·π·D²/4 = 4.541·0.04909 = 0.2229 m³/s = 222.9 L/s

คำตอบ

Q = 222.9 L/s

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: Q = 3.125 m³/s

สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4

เรขาคณิต

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 2·0.8)·0.8 = 3.28 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·0.8·√(1 + 2²) = 6.078 m

R = A/P = 0.5397 m

ความเร็ว

V = (1/0.022)·0.5397^2/3·0.001^1/2 = 0.9528 m/s

อัตราการไหล

Q = A·V = 3.28·0.9528 = 3.125 m³/s

คำตอบ

Q = 3.125 m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: S = 0.003303 m/m

รัศมีไฮดรอลิก

R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m

แก้สมการแมนนิงหา S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.6/0.1357)² = 0.003303

คำตอบ

S = 0.003303

นั่นคือท้องน้ำลดลง 3.303 m ต่อกิโลเมตร

23.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_el = 24.61 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·36 = 17.66 kW

กำลังที่เพลา

P_shaft = 17.66/0.78 = 22.64 kW

กำลังไฟฟ้า

P_el = 22.64/0.92 = 24.61 kW

คำตอบ

P_el = 24.61 kW

24.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 53.23 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13.5 + 3)·0.3305 = 5.453 m

เฮดความดัน

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองแทบจะนิ่ง จึงไม่มีพจน์เฮดความเร็ว

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 40.77 + 5.453 = 53.23 m

คำตอบ

H = 53.23 m

25.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: PV = 30042 €

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราและจำนวนงวด

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·6 = 24

มูลค่าปัจจุบัน

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.331 = €30 041.92

คำตอบ

PV = €30 041.92

26.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: FV = 202152 €

ตัวคูณเงินงวดปกติ

((1 + 0.05)²² − 1)/0.05 = 38.51

เงินงวดต้นงวด

เงินฝากแต่ละครั้งถูกลงทุนนานกว่าหนึ่งปี

FV = 5 000·38.51·1.05 = €202 152.38

คำตอบ

FV = €202 152.38

27.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = −2817 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดแต่ละรายการ

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 10 000/1.09 = 9 174.31

CF₂/(1 + 0.09)² = 10 000/1.188 = 8 416.80

CF₃/(1 + 0.09)³ = 6 000/1.295 = 4 633.10

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 7 000/1.412 = 4 958.98

รวมเข้าด้วยกัน

NPV = €−2 816.81

คำตอบ

NPV = €−2 816.81

NPV เป็นลบ ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนน้อยกว่าที่ต้องการ

28.NPV และ IRR

คำตอบ: MIRR = 20.34 %

IRR ที่ปรับปรุงแล้ว: ทบเงินที่ได้รับทุกก้อนไปข้างหน้าถึงสิ้นโครงการที่อัตราการลงทุนซ้ำ (โดยปกติคือต้นทุนเงินทุน) เพื่อให้ได้มูลค่าสิ้นสุด TV MIRR คืออัตราที่เปลี่ยนเงินลงทุนเริ่มต้นเป็น TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1

มูลค่าสิ้นสุดของเงินที่ได้รับ

18 000·1.1³ = 23 958.00

19 000·1.1² = 22 990.00

14 500·1.1¹ = 15 950.00

21 000·1.1⁰ = 21 000.00

TV = 83 898.00

MIRR

MIRR = (83 898.00/40 000)^1/4 − 1 = 20.34%

คำตอบ

MIRR = 20.34%

29.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.07926

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (65 − 65)/10 = 0

z₂ = (67 − 65)/10 = 0.2

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(0.2) − Φ(0) = 0.5793 − 0.5 = 0.07926

คำตอบ

P = 0.07926

30.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 169 cm

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

กลับไปเป็น x

x = 178 + −1.282·7 = 169.03 cm

คำตอบ

x = 169.03 cm

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น การสอบ FE exam จัดโดย NCEES ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems และไม่ได้รับรอง ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil