ฝึกข้อสอบ FE โยธา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 30 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

ความเค้นประสิทธิผลในดิน

ความเค้นรวม: σ = Σγ_i·h_i
ความดันน้ำในช่องว่าง: u = γ_w·(z − z_w)
ความเค้นประสิทธิผล: σ′ = σ − u
น้ำ: γ_w = 9.81 kN/m³

การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

ดินที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ความเค้นสุดท้าย: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
ดินที่อัดตัวเกินปกติ σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
อัตราส่วนการอัดตัวเกิน: OCR = σ′_p/σ′₀
เวลาสำหรับการอัดตัวคายน้ำ: t = T_v·H_dr²/c_v
ระยะทางระบายน้ำ: H_dr = H/2 (ระบายน้ำสองด้าน), H (ระบายน้ำด้านเดียว)
ตัวประกอบเวลา: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

สมการแมนนิง: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
อัตราการไหล: Q = A·V
รัศมีไฮดรอลิก: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y
สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ: R = D/4
ความลาดชันที่ต้องการ: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

มูลค่าของเงินตามเวลา

มูลค่าในอนาคต: FV = PV·(1 + i)ⁿ
มูลค่าปัจจุบัน: PV = FV/(1 + i)ⁿ
หลายงวดต่อปี: i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

วิธีการ

วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

NPV และ IRR

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
กระแสเงินสดเท่ากัน: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
อัตราผลตอบแทนภายใน: r ที่ทำให้ NPV = 0
การตัดสินใจ: ยอมรับเมื่อ NPV > 0 (หรือ IRR > ผลตอบแทนที่ต้องการ)

วิธีการ

เขียนกระแสเงินสดทุกรายการพร้อมปี เงินลงทุนที่ปีที่ 0 เป็นลบ
คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการ: CF_t/(1 + r)^t
บวกรวมเป็น NPV ค่าบวกหมายความว่าโครงการให้ผลตอบแทนมากกว่า r
สำหรับ IRR หาอัตราที่ทำให้ NPV เป็นศูนย์โดยการลองหรือการเทียบสัดส่วน

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B รับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 2 m จาก A และโมเมนต์คู่ควบ ตามเข็มนาฬิกา M ที่ระยะ 4 m จาก A จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_B โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก

L = 5 mP = 15 kN ที่ 2 mM = 10 kN·m (ตามเข็มนาฬิกา) ที่ 4 m

R_B = kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างจาก A 6 m และมีส่วนยื่นเลย B ไปถึงปลายอิสระ C รับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 1 m จาก A และแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w จาก 3 m ถึงปลายอิสระที่ 8 m จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_B โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก

AB = 6 mAC = 8 mP = 30 kN ที่ 1 mw = 5 kN/m จาก 3 ถึง 8 m

R_B = kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

C: 10 kN ↓D: 10 kN ↓G: 25 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน FC
13ชิ้นส่วน HC

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

C: 30 kN ↓D: 40 kN ↓F: 20 kN →G: 10 kN ↓H: 25 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน FC
13ชิ้นส่วน HC

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุดสองแรง จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด M_max ในคาน

L = 5 mP₁ = 55 kN ที่ 1.5 mP₂ = 35 kN ที่ 4 m

M_max = kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน และแรงกระทำเป็นจุด P จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด M_max ในคาน

L = 4 mP = 55 kN ที่ 2.5 mw = 12 kN/m จาก 0 ถึง 4 m

M_max = kN·m

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 6.5 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δ_P ใต้แรงกระทำ

P = 9 kNa = 6.5 mL = 8 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุดเท่ากันสองแรง P ที่จุดหนึ่งในสามของช่วงคาน (L/3 จากแต่ละจุดรองรับ) จงใช้หลักการซ้อนทับหาการโก่งตัว δ_max ที่กึ่งกลางช่วงคาน

P = 15 kNL = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

แผ่น 150 mm × 150 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 52.5 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

แผ่น 150 mm × 150 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 30 mm สูง 40 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 90 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 150 mmh = 150 mmช่องตัด: 30 × 40 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.ความเค้นประสิทธิผลในดินปานกลาง

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความดันน้ำในช่องว่าง u ที่จุด X

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 17 kN/m³ทราย: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดินยาก

สำหรับชั้นดินที่แสดง หาความดันน้ำในช่องว่าง u ที่จุด X

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³ทราย: γ_d = 15 kN/m³ทราย: γ_sat = 20 kN/m³ดินเหนียว: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปานกลาง

ชั้นดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติหนา 2.5 m มี C_c = 0.25, C_r = 0.03 และ e₀ = 1.15 ที่กึ่งกลางชั้นความเค้นประสิทธิผลแนวดิ่งคือ 105 kPa และความดันอัดตัวก่อนหน้าคือ 165 kPa อาคารใหม่เพิ่มความเค้นแนวดิ่ง 180 kPa ที่กึ่งกลางชั้น หาการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ S ใน mm

H = 2.5 mC_c = 0.25C_r = 0.03e₀ = 1.15σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 165 kPaΔσ = 180 kPa

S = mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำยาก

ในการทดสอบออดิโอมิเตอร์ในห้องปฏิบัติการ ตัวอย่างดินเหนียวหนา 20 mm ระบายน้ำที่ด้านบนและด้านล่าง อัดตัวถึง 50% ใน 15 นาที ในสนามดินเหนียวชนิดเดียวกันเป็นชั้นหนา 9.5 m อยู่ระหว่างชั้นทรายสองชั้น น้ำจึงระบายออกทั้งด้านบนและด้านล่าง ชั้นดินในสนามใช้เวลากี่วัน t จึงอัดตัวถึง 50%

h_lab = 20 mmt_lab = 15 minH = 9.5 mในสนาม: ระบายน้ำสองด้าน

t = วัน

17.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 0.5 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 2.9 m/s ผ่านท่อยาว 300 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 75 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.028 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน h_f

V = 2.9 m/sL = 300 mD = 75 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 6 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 3 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 5) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s

Δz = 6 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง

ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูดินสะอาดมีความกว้างก้น 3.5 m และความลาดข้าง 1:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 1.5 m แมนนิง n = 0.022 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.002 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s

b = 3.5 my = 1.5 mz = 1n = 0.022S = 0.002

Q = m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก

ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูดินสะอาดที่มีความกว้างก้น 1.5 m และความลาดข้าง 1.5:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) ต้องรองรับ 11 m³/s ในการไหลสม่ำเสมอที่ความลึก 1.6 m แมนนิง n = 0.022 หาความลาดชันท้องน้ำที่ต้องการ S (ใน m/m)

Q = 11 m³/sb = 1.5 my = 1.6 mz = 1.5n = 0.022

S = m/m

23.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 150 L/s ต้านเฮด 66 m ขณะที่เพลาใช้ 129.5 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์

Q = 150 L/sH = 66 mP_shaft = 129.5 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 120 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 19 m ท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 6 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 120 L/sΔz = 19 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 6

H = m

25.มูลค่าของเงินตามเวลาปานกลาง

บัตรเครดิตคิดอัตราดอกเบี้ยตามชื่อ 16% ต่อปี ทบต้นรายไตรมาส จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี EAR เป็นเปอร์เซ็นต์

r = 16%m = 4

EAR = %

26.มูลค่าของเงินตามเวลายาก

คุณต้องการ €75 000 ในอีก 8 ปี คุณออมเงินจำนวนเท่ากันทุกสิ้นเดือนในบัญชีที่ให้ดอกเบี้ย 5.4% ต่อปี ทบต้นรายเดือน จงหาเงินฝากรายเดือน A

FV = €75 0005.4% / 12N = 96

A = €

27.NPV และ IRRปานกลาง

การลงทุน €60 000 ให้กระแสเงินสดเมื่อสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 ดังนี้: €16 000, €21 000, €26 000 ต้นทุนเงินทุนคือ 12% หามูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 16 000CF₂ = 21 000CF₃ = 26 000

NPV = €

28.NPV และ IRRยาก

โครงการมีต้นทุน €20 000 และให้ผลตอบแทน €8 000, €9 500, €9 000 ทุกสิ้นปีที่ 1 ถึง 3 กระแสเงินสดนำไปลงทุนซ้ำได้ที่ต้นทุนเงินทุน 8% จงหาอัตราผลตอบแทนภายในที่ปรับปรุงแล้ว MIRR เป็นเปอร์เซ็นต์

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 9 500CF₃ = 9 000

MIRR = %

29.การแจกแจงปกติปานกลาง

X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 250 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 g Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 500 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 9 g จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 769.7 g ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 769.7 g

P =

30.การแจกแจงปกติยาก

เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.02 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.01 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.01 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

รู: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mmเพลา: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 8 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

โมเมนต์รอบจุด A

ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: R_B·5 − 15·2 − 10 = 0

R_B = 40/5 = 8 kN

สมดุลในแนวดิ่ง

R_A = 15 − 8 = 7 kN

คำตอบ

R_B = 8 kN

แรงปฏิกิริยาติดลบกระทำลง

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 27.92 kN

แรงลัพธ์ของแรงกระทำแบบแผ่

W = 5·5 = 25 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5.5 m

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1 + 25·5.5

R_B = 167.5/6 = 27.92 kN

R_A = 55 − 27.92 = 27.08 kN

คำตอบ

R_B = 27.92 kN

3.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน BF

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ B

AB และ BC อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง BF

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 15 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 18.75 kN (T), DE: 18.75 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 25 kN (C), HE: 31.25 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 25 kN (T), HC: 18.75 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: BF

4.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน BF

จุดต่อ B

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 51.25 kN (T), BC: 51.25 kN (T), CD: 73.75 kN (T), DE: 73.75 kN (T), FG: 82.5 kN (C), GH: 82.5 kN (C), AF: 44.19 kN (C), HE: 104.3 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 44.19 kN (T), HC: 12.37 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: BF

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_max = 68.25 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1.5 + 35·4

R_B = 222.5/5 = 44.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 44.5 = 45.5 kN

โมเมนต์ใต้แต่ละแรง

เก็บส่วนทางซ้ายของแต่ละแรงไว้

ใต้ P₁: M = R_A·1.5 = 45.5·1.5 = 68.25 kN·m

ใต้ P₂: M = R_B·1 = 44.5·1 = 44.5 kN·m

ค่าที่มากที่สุด

M_max = 68.25 kN·m (ใต้ P₁)

คำตอบ

M_max = 68.25 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_max = 74.06 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN กระทำที่ x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2.5 + 12·4·2

R_B = 233.5/4 = 58.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 103 − 58.38 = 44.63 kN

V = 0 ที่ใด

V(2.5⁻) = R_A − w·2.5 = 14.63 kN

V(2.5⁺) = 14.63 − 55 = −40.38 kN

แรงเฉือนเปลี่ยนเครื่องหมายที่แรงกระทำ ดังนั้นค่าสูงสุดอยู่ใต้แรงกระทำ

โมเมนต์สูงสุด

M_max = R_A·2.5 − w·2.5²/2 = 44.63·2.5 − 12·2.5²/2 = 74.06 kN·m

คำตอบ

M_max = 74.06 kN·m

เกิดที่ x = 2.5 m จาก A

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_P = 3.127 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 9000 N, a = 6500 mm, b = 1500 mm, L = 8000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

การโก่งตัวใต้แรงกระทำ

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 9000·6500²·1500²/(3·1.14 × 10¹³·8000) = 3.127 mm

คำตอบ

δ_P = 3.127 mm

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 3.594 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 15000 N, L = 6000 mm

EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

แรงหนึ่งที่ L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 1.797 mm

บวกแรงทั้งสอง

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 3.594 mm

คำตอบ

δ_max = 3.594 mm

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 17.9 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/2100² = 17904 N = 17.9 kN

คำตอบ

P_cr = 17.9 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 1.919 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1.919 MPa

คำตอบ

σ_cr = 1.919 MPa

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 39.91 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (22500·75 − 2827·52.5)/(22500 − 2827) = 78.23 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

150·150³/12 + 22500·−3.234² = 42.42 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−25.73² = 2.509 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 39.91 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 39.91 × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 41.74 × 10⁶ mm⁴

เซนทรอยด์

ȳ = (22500·75 − 1200·90)/(22500 − 1200) = 74.15 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

150·150³/12 + 22500·0.8451² = 42.2 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

30·40³/12 + 1200·15.85² = 0.4613 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 41.74 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 41.74 × 10⁶ mm⁴

13.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: u = 49.05 kPa

ความเค้นประสิทธิผล (เทอร์ซากี): โครงสร้างของดินรับความเค้น σ′ = σ − u ความเค้นรวม σ คือน้ำหนักของทุกสิ่งเหนือจุดนั้น Σγ·h โดยใช้หน่วยน้ำหนักแห้งเหนือระดับน้ำใต้ดิน และหน่วยน้ำหนักอิ่มตัวใต้ระดับน้ำใต้ดิน ใต้ระดับน้ำใต้ดิน ความดันน้ำในช่องว่างเป็นแบบไฮโดรสแตติก: u = γ_w·(ความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน)

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

คำตอบ

u = 49.05 kPa

14.ความเค้นประสิทธิผลในดิน

คำตอบ: u = 29.43 kPa

ความดันน้ำในช่องว่าง

ความดันน้ำเพิ่มขึ้นตามความลึกใต้ระดับน้ำใต้ดิน

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

คำตอบ

u = 29.43 kPa

15.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: S = 75.85 mm

การอัดตัวคายน้ำปฐมภูมิ ของชั้นดินเหนียวหนา H โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลที่กึ่งกลางชั้น: σ′_f = σ′₀ + Δσ ดินเหนียวที่อัดตัวปกติ: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) ดินเหนียวที่อัดตัวเกินปกติจะอัดซ้ำตาม C_r จนถึงความดันอัดตัวก่อนหน้า σ′_p และเป็นไปตาม C_c เฉพาะหลังจากนั้น เวลา: t = T_v·H_dr²/c_v โดยระยะระบายน้ำ H_dr เท่ากับ H/2 เมื่อน้ำออกได้ทั้งด้านบนและล่าง และ H เมื่อระบายด้านเดียว

เปรียบเทียบกับความดันอัดตัวก่อนหน้า

σ′_f = 105 + 180 = 285 kPa > 165 kPa

การทรุดตัว

อัดซ้ำจนถึง σ′_p แล้วอัดตัวบริสุทธิ์เมื่อเกินนั้น

S = 0.03·2.5/(1 + 1.15)·log₁₀(165/105) + 0.25·2.5/(1 + 1.15)·log₁₀(285/165)

S = 6.847 + 69 = 75.85 mm

คำตอบ

S = 75.85 mm

16.การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ

คำตอบ: t = 2350 วัน

ระยะระบายน้ำ

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m

H_dr,field = 9.5/2 = 4.75 m

ปรับสเกลเวลา

t = T_v·H_dr²/c_v โดยใช้ T_v และ c_v เดียวกันทั้งในห้องปฏิบัติการและในสนาม

t_field = 15·(4.75/0.01)² = 3.384 × 10⁶ min

t_field = 3.384 × 10⁶/1440 = 2350 วัน

คำตอบ

t = 2350 วัน

17.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 24.52 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·1 = 24.52 kN

คำตอบ

F = 24.52 kN

18.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 2.048 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.75·3.75 = 56.65 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 1.953/(1.75·3.75) = 2.048 m

คำตอบ

y_cp = 2.048 m

19.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: h_f = 48.01 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 2.9²/(2·9.81) = 0.4286 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(300/0.075)·2.9²/(2·9.81) = 48.01 m

คำตอบ

h_f = 48.01 m

20.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Q = 32.85 L/s

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.02·200/0.15 = 26.67

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

สมการพลังงาน

ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ

6 = (26.67 + 7.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·6/34.07) = 1.859 m/s

อัตราการไหล

Q = V·π·D²/4 = 1.859·0.01767 = 0.03285 m³/s = 32.85 L/s

คำตอบ

Q = 32.85 L/s

21.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: Q = 14.93 m³/s

สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4

เรขาคณิต

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1·1.5)·1.5 = 7.5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.5·√(1 + 1²) = 7.743 m

R = A/P = 0.9687 m

ความเร็ว

V = (1/0.022)·0.9687^2/3·0.002^1/2 = 1.99 m/s

อัตราการไหล

Q = A·V = 7.5·1.99 = 14.93 m³/s

คำตอบ

Q = 14.93 m³/s

22.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

คำตอบ: S = 0.001843 m/m

เรขาคณิต

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 1.5·1.6)·1.6 = 6.24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1.6·√(1 + 1.5²) = 7.269 m

R = A/P = 0.8585 m

แก้สมการแมนนิงหา S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·11/(6.24·0.9033) = 0.04294

S = 0.04294² = 0.001843

คำตอบ

S = 0.001843

นั่นคือท้องน้ำลดลง 1.843 m ต่อกิโลเมตร

23.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: η = 75 %

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·66 = 97.12 kW

ประสิทธิภาพ

η = P_h/P_shaft = 97.12/129.5 = 75%

คำตอบ

η = 75%

24.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 25.21 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14.4 + 6)·0.3046 = 6.214 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป

H = Δz + h_L = 19 + 6.214 = 25.21 m

คำตอบ

H = 25.21 m

25.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: EAR = 16.99 %

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)ⁿ เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราต่องวด

r/m = 0.16/4 = 0.04

ทบตลอดหนึ่งปี

EAR = (1 + 0.04)⁴ − 1 = 1.17 − 1 = 16.99%

คำตอบ

EAR = 16.99%

EAR สูงกว่าอัตราตามชื่อเสมอเมื่อทบต้นมากกว่าหนึ่งครั้งต่อปี

26.มูลค่าของเงินตามเวลา

คำตอบ: A = 626.3 €

อัตราต่อเดือนและจำนวนครั้งที่ฝาก

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·8 = 96

เงินฝาก

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0.0045/(1.539 − 1) = €626.34

คำตอบ

A = €626.34

27.NPV และ IRR

คำตอบ: NPV = −10467 €

มูลค่าปัจจุบันสุทธิ: คิดลดกระแสเงินสดทุกรายการกลับมาที่วันนี้ด้วยอัตราผลตอบแทนที่ต้องการ r แล้วรวมกัน: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ โครงการที่มี NPV > 0 ให้ผลตอบแทนมากกว่า r และเพิ่มมูลค่า อัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) คืออัตราที่ทำให้ NPV = 0

มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดแต่ละรายการ

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 16 000/1.12 = 14 285.71

CF₂/(1 + 0.12)² = 21 000/1.254 = 16 741.07

CF₃/(1 + 0.12)³ = 26 000/1.405 = 18 506.29

รวมเข้าด้วยกัน

NPV = €−10 466.93

คำตอบ

NPV = €−10 466.93

NPV เป็นลบ ดังนั้นโครงการให้ผลตอบแทนน้อยกว่าที่ต้องการ

28.NPV และ IRR

คำตอบ: MIRR = 12.65 %

IRR ที่ปรับปรุงแล้ว: ทบเงินที่ได้รับทุกก้อนไปข้างหน้าถึงสิ้นโครงการที่อัตราการลงทุนซ้ำ (โดยปกติคือต้นทุนเงินทุน) เพื่อให้ได้มูลค่าสิ้นสุด TV MIRR คืออัตราที่เปลี่ยนเงินลงทุนเริ่มต้นเป็น TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1

มูลค่าสิ้นสุดของเงินที่ได้รับ

8 000·1.08² = 9 331.20

9 500·1.08¹ = 10 260.00

9 000·1.08⁰ = 9 000.00

TV = 28 591.20

MIRR

MIRR = (28 591.20/20 000)^1/3 − 1 = 12.65%

คำตอบ

MIRR = 12.65%

29.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.02275

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (769.7 − 750)/9.849 = 2

หางด้านบน

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

คำตอบ

P = 0.02275

30.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.9207

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01414 mm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 0.02)/0.01414 = −1.41

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207

คำตอบ

P = 0.9207

นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น การสอบ FE exam จัดโดย NCEES ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems และไม่ได้รับรอง ExamProblems

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil