แรงจากความดันของไหลนิ่ง
- ความดันที่ความลึกหนึ่ง
- p = ρgh
- แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
- F = ρg·hc·A
- จุดศูนย์กลางความดัน
- yp = yc + Ic/(ycA)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- Ic = bH³/12
กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
- ความต่อเนื่อง
- A1v1 = A2v2
- เบอร์นูลลี
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- อัตราการไหล
- Q = A·v
- พื้นที่วงกลม
- A = πd²/4
แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
- เลขเรย์โนลดส์
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- ระบอบการไหล
- ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
- ความเร็วเฉลี่ย
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ดาร์ซี–ไวส์บาค
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- การสูญเสียย่อย
- hm = ΣK·V²/(2g)
- ค่า K ทั่วไป
- ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
- ความดันตก
- Δp = ρ·g·hf
- อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- ทางออกอิสระ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ปั๊มและกำลังของปั๊ม
- กำลังไฮดรอลิก
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- กำลังที่เพลา
- Pshaft = Ph/ηpump
- กำลังไฟฟ้า
- Pel = Pshaft/ηmotor
- เฮดของปั๊ม
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- การสูญเสียในระบบ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2โจทย์ฝึก
1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 0.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 0.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาความลึก ycp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว
d = 3 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
น้ำไหลผ่านเวนจูรีมิเตอร์แนวนอนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางทางเข้า 150 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางคอคอด 75 mm ความดันที่ทางเข้าสูงกว่าที่คอคอด 48 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาอัตราการไหล Q
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 48 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
หัวฉีดน้ำพุชี้ขึ้นตรง ๆ ใต้หัวฉีดเล็กน้อย ท่อจ่ายมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm และความดันเกจ 20 kPa เส้นผ่านศูนย์กลางทางออกของหัวฉีดคือ 20 mm และผลต่างความสูงคร่อมหัวฉีดน้อยมากจนละเลยได้ ไม่คิดการสูญเสียและแรงต้านอากาศ จงหาความสูง H ที่ลำน้ำพุ่งขึ้นเหนือหัวฉีด ใช้ g = 9.81 m/s²
d1 = 50 mmp1 = 20 kPa (เกจ)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 2.2 m/s ผ่านท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 50 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf
V = 2.2 m/sL = 150 mD = 50 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
ท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm (ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.025) ต่อจากอ่างเก็บน้ำเปิดและปล่อยน้ำเป็นลำอิสระสู่อากาศ การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 2 ตัว (ตัวละ K = 0.3) และวาล์ว (K = 2) ใช้ g = 9.81 m/s² ผิวอ่างต้องสูงกว่าทางออกของท่อ H เท่าใดเพื่อให้ได้อัตราการไหล 150 L/s
Q = 150 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2
H = m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
ปั๊มที่มีประสิทธิภาพ 60% ส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 25 L/s ต้านเฮด 40 m ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังที่เพลา Pshaft ที่ต้องใช้ ใน kW
Q = 25 L/sH = 40 mη = 60%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 21 m ท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 4 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้
Q = 50 L/sΔz = 21 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 4
H = m
3สารละลาย
1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 36.79 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·3 = 36.79 kN
คำตอบ
F = 36.79 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: ycp = 3.8 m
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·4.5 = 165.5 kN
จุดศูนย์กลางความดัน
ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์
Ic = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.75 + 0.8438/(3.75·4.5) = 3.8 m
คำตอบ
ycp = 3.8 m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: Q = 44.71 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ความต่อเนื่อง
v1 = v2·(75/150)² = 0.25·v2
เบอร์นูลลีระหว่างทางเข้ากับคอคอด
ท่ออยู่ในแนวนอน จึงมีเพียงความดันและความเร็วที่เปลี่ยน
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·48000/(1000·(1 − 0.0625))) = 10.12 m/s
v1 = 2.53 m/s
อัตราการไหล
Q = A2·v2 = 0.004418·10.12 = 0.04471 m³/s = 44.71 L/s
คำตอบ
Q = 44.71 L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: H = 2.092 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ความเร็วที่ทางออก
β = 20/50 = 0.4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·20000/(1000·0.9744)) = 6.407 m/s
ความสูงของลำน้ำ
เบอร์นูลลีตามลำน้ำ: ที่จุดสูงสุดความเร็วเป็นศูนย์และความดันกลับเป็นความดันบรรยากาศ
H = v2²/(2g) = 6.407²/(2·9.81) = 2.092 m
คำตอบ
H = 2.092 m
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: hf = 13.32 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
เฮดความเร็ว
V²/(2g) = 2.2²/(2·9.81) = 0.2467 m
ดาร์ซี–ไวส์บาค
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(150/0.05)·2.2²/(2·9.81) = 13.32 m
คำตอบ
hf = 13.32 m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: H = 9.09 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็ว
V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s
V²/(2g) = 0.4759 m
สัมประสิทธิ์การสูญเสีย
f·L/D = 0.025·150/0.25 = 15
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 = 3.1
สมการพลังงาน
ลำน้ำที่ทางออกยังมีเฮดความเร็ว ไม่ใช่การสูญเสียแต่ต้องจ่ายให้
H = (1 + 15 + 3.1)·0.4759 = 9.09 m
คำตอบ
H = 9.09 m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pshaft = 16.35 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·40 = 9.81 kW
กำลังที่เพลา
Pshaft = Ph/η = 9.81/0.6 = 16.35 kW
คำตอบ
Pshaft = 16.35 kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: H = 26.71 m
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ความเร็ว
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
การสูญเสียเฮด
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 4)·0.408 = 5.712 m
เฮดของปั๊ม
ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป
H = Δz + hL = 21 + 5.712 = 26.71 m
คำตอบ
H = 26.71 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics