กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2โจทย์ฝึก

1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 0.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำระบายจากถังเปิดขนาดใหญ่ผ่านช่องขอบคมเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm ระดับน้ำอยู่สูงกว่าช่อง 2 m คงที่ และสัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.63 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²

d = 25 mmh = 2 mC_d = 0.63g = 9.81 m/s²

Q = L/s

4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

ถังน้ำปิดมีอากาศอัดอยู่เหนือน้ำที่ความดันเกจ 50 kPa น้ำออกทางช่องเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm ซึ่งอยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 4 m สู่อากาศภายนอก ไม่คิดการสูญเสีย จงหา อัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²

p_air = 50 kPa (เกจ)h = 4 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำ (ρ = 1000 kg/m³) ไหลด้วย 1.8 m/s ผ่านท่อแนวนอนยาว 50 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.028 และ g = 9.81 m/s² หาความดันตก Δp ตลอดท่อใน kPa

V = 1.8 m/sL = 50 mD = 300 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 4 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 2) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² ผลต่างระดับน้ำ Δz ระหว่างอ่างทั้งสองเท่าใดจึงให้อัตราการไหล 60 L/s

Q = 60 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 10 L/s ต้านเฮด 78 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 82% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 92% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า P_el ที่มอเตอร์ดึง ใน kW

Q = 10 L/sH = 78 mη_pump = 82%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 40 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 10 m ท่อยาว 600 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ถังบนปิดและอากาศเหนือน้ำมีความดันเกจ 250 kPa หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 40 L/sΔz = 10 mL = 600 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 8p_tank = 250 kPa

H = m

3สารละลาย

1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 18.39 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.25·1.5 = 18.39 kN

คำตอบ

F = 18.39 kN

2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 33.11 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·1.5 = 33.11 kN

คำตอบ

F = 33.11 kN

3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 1.937 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็วลำน้ำอุดมคติ

√(2gh) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

อัตราการไหลจริง

สัมประสิทธิ์การไหลออกคิดรวมการหดตัวของลำน้ำและแรงเสียดทานที่ขอบ

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.63·0.0004909·6.264 = 0.001937 m³/s = 1.937 L/s

คำตอบ

Q = 1.937 L/s

4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 4.197 L/s

เบอร์นูลลีจากผิวน้ำถึงลำน้ำ

v = √(2·(50000/1000 + 9.81·4)) = 13.36 m/s

อัตราการไหล

Q = A·v = 0.0003142·13.36 = 0.004197 m³/s = 4.197 L/s

คำตอบ

Q = 4.197 L/s

5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Δp = 7.56 kPa

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

การสูญเสียเฮด

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(50/0.3)·1.8²/(2·9.81) = 0.7706 m

ความดันตก

ท่ออยู่ในแนวนอนและความเร็วไม่เปลี่ยน สมการพลังงานจึงเหลือ Δp = ρ·g·h_f

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·0.7706 = 7560 Pa = 7.56 kPa

คำตอบ

Δp = 7.56 kPa

6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Δz = 14.51 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.06/0.01767 = 3.395 m/s

V²/(2g) = 0.5876 m

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.015·200/0.15 = 20

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7

การสูญเสียเฮดรวม

h_f = 20·0.5876 = 11.75 m

h_m = 4.7·0.5876 = 2.762 m

Δz = h_f + h_m = 14.51 m

คำตอบ

Δz = 14.51 m

7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_el = 10.14 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·78 = 7.652 kW

กำลังที่เพลา

P_shaft = 7.652/0.82 = 9.331 kW

กำลังไฟฟ้า

P_el = 9.331/0.92 = 10.14 kW

คำตอบ

P_el = 10.14 kW

8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 58.46 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (80 + 8)·0.2611 = 22.98 m

เฮดความดัน

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองแทบจะนิ่ง จึงไม่มีพจน์เฮดความเร็ว

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 25.48 + 22.98 = 58.46 m

คำตอบ

H = 58.46 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics