กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง
p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
F = ρg·hc·A
จุดศูนย์กลางความดัน
yp = yc + Ic/(ycA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
Ic = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง
A1v1 = A2v2
เบอร์นูลลี
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
อัตราการไหล
Q = A·v
พื้นที่วงกลม
A = πd²/4

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล
ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย
V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย
hm = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป
ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก
Δp = ρ·g·hf
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา
Pshaft = Ph/ηpump
กำลังไฟฟ้า
Pel = Pshaft/ηmotor
เฮดของปั๊ม
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
การสูญเสียในระบบ
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2โจทย์ฝึก

1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำd = 2.5 mH = 3 m

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำd = 2.5 mH = 1 m

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
d1​ = 250 mmd2​ = 125 mm12p1​ − p2​ = 46 kPaQ = ?

น้ำไหลผ่านเวนจูรีมิเตอร์แนวนอนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางทางเข้า 250 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางคอคอด 125 mm ความดันที่ทางเข้าสูงกว่าที่คอคอด 46 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาอัตราการไหล Q

d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 46 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
12d1​ = 200 mm, p1​ = 200 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 9 m

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 200 mm เป็น 75 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 9 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 200 kPa และความเร็วคือ 1.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ที่หน้าตัด 2

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 200 kPav1 = 1.5 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
Q = 100 L/sD = 300 mmL = 400 mf = 0.02

น้ำไหลด้วย 100 L/s ผ่านท่อยาว 400 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf

Q = 100 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
K = 0.2Δz = ?L = 300 m, D = 300 mm, f = 0.0154× ข้องอ (K = 0.3)

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 300 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 4 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 0.2) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² ผลต่างระดับน้ำ Δz ระหว่างอ่างทั้งสองเท่าใดจึงให้อัตราการไหล 150 L/s

Q = 150 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
PQ = 15 L/sH = 68 m

ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 15 L/s ต้านเฮด 68 m ขณะที่เพลาใช้ 11.8 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์

Q = 15 L/sH = 68 mPshaft = 11.8 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
150 kPa (เกจ)PQ = 100 L/sΔz = 11 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0.018, ΣK = 5

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 100 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 11 m ท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 5 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ถังบนปิดและอากาศเหนือน้ำมีความดันเกจ 150 kPa หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 100 L/sΔz = 11 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 5ptank = 150 kPa
H = m

3สารละลาย

1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 117.7 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
ประตูน้ำd = 2.5 mH = 3 mF

แรงลัพธ์

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN

คำตอบ

F = 117.7 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 25.9 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
ประตูน้ำd = 2.5 mH = 1 mF

แรงลัพธ์

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3·1 = 25.9 kN

คำตอบ

F = 25.9 kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 121.6 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความต่อเนื่อง

v1 = v2·(125/250)² = 0.25·v2

เบอร์นูลลีระหว่างทางเข้ากับคอคอด

ท่ออยู่ในแนวนอน จึงมีเพียงความดันและความเร็วที่เปลี่ยน

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·46000/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.906 m/s
v1 = 2.477 m/s

อัตราการไหล

Q = A2·v2 = 0.01227·9.906 = 0.1216 m³/s = 121.6 L/s

คำตอบ

Q = 121.6 L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p2 = 55.95 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(200/75)² = 10.67 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 10.67²)/1000 = −55.76 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 200 + (−55.76) − 88.29 = 55.95 kPa

คำตอบ

p2 = 55.95 kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: hf = 2.72 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

ความเร็วเฉลี่ย

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²
V = Q/A = 0.1/0.07069 = 1.415 m/s

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 1.415²/(2·9.81) = 0.102 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(400/0.3)·1.415²/(2·9.81) = 2.72 m

คำตอบ

hf = 2.72 m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Δz = 4.108 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

ความเร็ว

V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s
V²/(2g) = 0.2295 m

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.015·300/0.3 = 15
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9

การสูญเสียเฮดรวม

hf = 15·0.2295 = 3.443 m
hm = 2.9·0.2295 = 0.6656 m
Δz = hf + hm = 4.108 m

คำตอบ

Δz = 4.108 m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: η = 84.8 %

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·68 = 10.01 kW

ประสิทธิภาพ

η = Ph/Pshaft = 10.01/11.8 = 84.8%

คำตอบ

η = 84.8%
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 28.87 m

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

ความเร็ว

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m

การสูญเสียเฮด

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7.2 + 5)·0.2115 = 2.581 m

เฮดความดัน

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองแทบจะนิ่ง จึงไม่มีพจน์เฮดความเร็ว

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 11 + 15.29 + 2.581 = 28.87 m

คำตอบ

H = 28.87 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics