แรงจากความดันของไหลนิ่ง
- ความดันที่ความลึกหนึ่ง
- p = ρgh
- แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
- F = ρg·hc·A
- จุดศูนย์กลางความดัน
- yp = yc + Ic/(ycA)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- Ic = bH³/12
กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
- ความต่อเนื่อง
- A1v1 = A2v2
- เบอร์นูลลี
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- อัตราการไหล
- Q = A·v
- พื้นที่วงกลม
- A = πd²/4
แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
- เลขเรย์โนลดส์
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- ระบอบการไหล
- ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
- ความเร็วเฉลี่ย
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ดาร์ซี–ไวส์บาค
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- การสูญเสียย่อย
- hm = ΣK·V²/(2g)
- ค่า K ทั่วไป
- ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
- ความดันตก
- Δp = ρ·g·hf
- อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- ทางออกอิสระ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ปั๊มและกำลังของปั๊ม
- กำลังไฮดรอลิก
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- กำลังที่เพลา
- Pshaft = Ph/ηpump
- กำลังไฟฟ้า
- Pel = Pshaft/ηmotor
- เฮดของปั๊ม
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- การสูญเสียในระบบ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2โจทย์ฝึก
1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 1.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 0.5 m หาความลึก ycp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว
d = 0.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
น้ำระบายจากถังเปิดขนาดใหญ่ผ่านช่องขอบคมเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm ระดับน้ำอยู่สูงกว่าช่อง 5.5 m คงที่ และสัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.61 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²
d = 20 mmh = 5.5 mCd = 0.61g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 40 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 6 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 150 kPa และความเร็วคือ 1.75 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ที่หน้าตัด 2
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 150 kPav1 = 1.75 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
น้ำไหลด้วย 4 L/s ผ่านท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.03 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf
Q = 4 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
ท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm (ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015) ต่อจากอ่างเก็บน้ำเปิดและปล่อยน้ำเป็นลำอิสระสู่อากาศ การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 4 ตัว (ตัวละ K = 0.3) และวาล์ว (K = 5) ใช้ g = 9.81 m/s² ผิวอ่างต้องสูงกว่าทางออกของท่อ H เท่าใดเพื่อให้ได้อัตราการไหล 120 L/s
Q = 120 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5
H = m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 20 L/s ต้านเฮด 70 m ขณะที่เพลาใช้ 18.3 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์
Q = 20 L/sH = 70 mPshaft = 18.3 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 75 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 12 m ท่อยาว 400 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ประสิทธิภาพปั๊มคือ 80% หากำลังที่เพลา Pshaft ใน kW
Q = 75 L/sΔz = 12 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 8η = 80%
Pshaft = kW
3สารละลาย
1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 88.29 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN
คำตอบ
F = 88.29 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: ycp = 1.722 m
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1.5·2 = 37.08 kN
จุดศูนย์กลางความดัน
ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์
Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.5 + 0.6667/(1.5·2) = 1.722 m
คำตอบ
ycp = 1.722 m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: Q = 1.991 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ความเร็วลำน้ำอุดมคติ
√(2gh) = √(2·9.81·5.5) = 10.39 m/s
อัตราการไหลจริง
สัมประสิทธิ์การไหลออกคิดรวมการหดตัวของลำน้ำและแรงเสียดทานที่ขอบ
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.61·0.0003142·10.39 = 0.001991 m³/s = 1.991 L/s
คำตอบ
Q = 1.991 L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: p2 = 73.75 kPa
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.75·(75/40)² = 6.152 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.75² − 6.152²)/1000 = −17.39 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 150 + (−17.39) − 58.86 = 73.75 kPa
คำตอบ
p2 = 73.75 kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: hf = 0.7932 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็วเฉลี่ย
A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²
V = Q/A = 0.004/0.007854 = 0.5093 m/s
เฮดความเร็ว
V²/(2g) = 0.5093²/(2·9.81) = 0.01322 m
ดาร์ซี–ไวส์บาค
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(200/0.1)·0.5093²/(2·9.81) = 0.7932 m
คำตอบ
hf = 0.7932 m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: H = 2.233 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็ว
V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m
สัมประสิทธิ์การสูญเสีย
f·L/D = 0.015·150/0.3 = 7.5
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 = 6.7
สมการพลังงาน
ลำน้ำที่ทางออกยังมีเฮดความเร็ว ไม่ใช่การสูญเสียแต่ต้องจ่ายให้
H = (1 + 7.5 + 6.7)·0.1469 = 2.233 m
คำตอบ
H = 2.233 m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: η = 75.05 %
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·70 = 13.73 kW
ประสิทธิภาพ
η = Ph/Pshaft = 13.73/18.3 = 75.05%
คำตอบ
η = 75.05%
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pshaft = 14.54 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ความเร็ว
V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s
V²/(2g) = 0.119 m
การสูญเสียเฮด
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0.119 = 3.807 m
เฮดของปั๊ม
H = Δz + hL = 12 + 3.807 = 15.81 m
กำลังที่เพลา
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·15.81/0.8 = 14.54 kW
คำตอบ
Pshaft = 14.54 kW
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics