แรงจากความดันของไหลนิ่ง
- ความดันที่ความลึกหนึ่ง
- p = ρgh
- แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
- F = ρg·hc·A
- จุดศูนย์กลางความดัน
- yp = yc + Ic/(ycA)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- Ic = bH³/12
กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
- ความต่อเนื่อง
- A1v1 = A2v2
- เบอร์นูลลี
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- อัตราการไหล
- Q = A·v
- พื้นที่วงกลม
- A = πd²/4
แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
- เลขเรย์โนลดส์
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- ระบอบการไหล
- ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
- ความเร็วเฉลี่ย
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ดาร์ซี–ไวส์บาค
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- การสูญเสียย่อย
- hm = ΣK·V²/(2g)
- ค่า K ทั่วไป
- ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
- ความดันตก
- Δp = ρ·g·hf
- อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- ทางออกอิสระ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ปั๊มและกำลังของปั๊ม
- กำลังไฮดรอลิก
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- กำลังที่เพลา
- Pshaft = Ph/ηpump
- กำลังไฟฟ้า
- Pel = Pshaft/ηmotor
- เฮดของปั๊ม
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- การสูญเสียในระบบ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2โจทย์ฝึก
1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 3 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
น้ำไหล 14 L/s ผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 50 mm ความดันในส่วนแคบคือ 70 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาความดัน p1 ในส่วนกว้าง
Q = 14 L/sd1 = 100 mmd2 = 50 mmp2 = 70 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
เวนจูรีมิเตอร์แนวนอน (ทางเข้า 100 mm คอคอด 60 mm) ส่งน้ำ มาโนมิเตอร์ปรอทรูปตัว U ต่อระหว่างทางเข้ากับคอคอดแสดงผลต่างระดับ 120 mm สัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.95 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ ρ = 1000 kg/m³ สำหรับน้ำ 13 600 kg/m³ สำหรับปรอท และ g = 9.81 m/s²
d1 = 100 mmd2 = 60 mmΔh = 120 mmCd = 0.95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
น้ำ (ρ = 1000 kg/m³) ไหลด้วย 2.4 m/s ผ่านท่อแนวนอนยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 และ g = 9.81 m/s² หาความดันตก Δp ตลอดท่อใน kPa
V = 2.4 m/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 19 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 2 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 5) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s
Δz = 19 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 30 L/s ต้านเฮด 48 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 82% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 94% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า Pel ที่มอเตอร์ดึง ใน kW
Q = 30 L/sH = 48 mηpump = 82%ηmotor = 94%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 40 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 10 m ท่อยาว 400 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 5 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ถังบนปิดและอากาศเหนือน้ำมีความดันเกจ 300 kPa หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้
Q = 40 L/sΔz = 10 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 5ptank = 300 kPa
H = m
3สารละลาย
1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 176.6 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN
คำตอบ
F = 176.6 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 72.84 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3.75·2.25 = 72.84 kN
คำตอบ
F = 72.84 kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: p1 = 93.83 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ความเร็ว
v1 = Q/A1 = 0.014/0.007854 = 1.783 m/s
v2 = Q/A2 = 0.014/0.001963 = 7.13 m/s
เบอร์นูลลี
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 70 + ½·1000·(7.13² − 1.783²)/1000 = 70 + 23.83 = 93.83 kPa
คำตอบ
p1 = 93.83 kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: Q = 15.68 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ผลต่างความดันจากมาโนมิเตอร์
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.12 = 14833 Pa
ความเร็วที่คอคอด
สมการความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีรวมกันให้ความเร็วที่คอคอดอุดมคติ
β = 60/100 = 0.6
v2 = √(2·14833/(1000·(1 − 0.1296))) = 5.838 m/s
อัตราการไหลจริง
Q = Cd·A2·v2 = 0.95·0.002827·5.838 = 0.01568 m³/s = 15.68 L/s
คำตอบ
Q = 15.68 L/s
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: Δp = 47.52 kPa
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
การสูญเสียเฮด
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(150/0.2)·2.4²/(2·9.81) = 4.844 m
ความดันตก
ท่ออยู่ในแนวนอนและความเร็วไม่เปลี่ยน สมการพลังงานจึงเหลือ Δp = ρ·g·hf
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·4.844 = 47520 Pa = 47.52 kPa
คำตอบ
Δp = 47.52 kPa
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: Q = 56.53 L/s
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
สัมประสิทธิ์การสูญเสีย
f·L/D = 0.022·200/0.15 = 29.33
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1
สมการพลังงาน
ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ
19 = (29.33 + 7.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·19/36.43) = 3.199 m/s
อัตราการไหล
Q = V·π·D²/4 = 3.199·0.01767 = 0.05653 m³/s = 56.53 L/s
คำตอบ
Q = 56.53 L/s
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pel = 18.33 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·48 = 14.13 kW
กำลังที่เพลา
Pshaft = 14.13/0.82 = 17.23 kW
กำลังไฟฟ้า
Pel = 17.23/0.94 = 18.33 kW
คำตอบ
Pel = 18.33 kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: H = 54.42 m
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ความเร็ว
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
การสูญเสียเฮด
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (48 + 5)·0.2611 = 13.84 m
เฮดความดัน
p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m
เฮดของปั๊ม
ผิวทั้งสองแทบจะนิ่ง จึงไม่มีพจน์เฮดความเร็ว
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 10 + 30.58 + 13.84 = 54.42 m
คำตอบ
H = 54.42 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics