กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง
p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
F = ρg·hc·A
จุดศูนย์กลางความดัน
yp = yc + Ic/(ycA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
Ic = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง
A1v1 = A2v2
เบอร์นูลลี
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
อัตราการไหล
Q = A·v
พื้นที่วงกลม
A = πd²/4

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล
ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย
V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย
hm = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป
ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก
Δp = ρ·g·hf
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา
Pshaft = Ph/ηpump
กำลังไฟฟ้า
Pel = Pshaft/ηmotor
เฮดของปั๊ม
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
การสูญเสียในระบบ
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2โจทย์ฝึก

1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำd = 1.5 mH = 2 m

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำd = 3 mH = 3 m

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาความลึก ycp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
12d1​ = 100 mm, p1​ = 150 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 75 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 150 kPa และความเร็วคือ 0.75 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ในช่วงแคบ

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 150 kPav1 = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
12d1​ = 75 mm, p1​ = 350 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 1 m

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 40 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 1 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 350 kPa และความเร็วคือ 1.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ที่หน้าตัด 2

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 350 kPav1 = 1.5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
V = 2.5 m/sD = 300 mmL = 800 mf = 0.028

น้ำ (ρ = 1000 kg/m³) ไหลด้วย 2.5 m/s ผ่านท่อแนวนอนยาว 800 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.028 และ g = 9.81 m/s² หาความดันตก Δp ตลอดท่อใน kPa

V = 2.5 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
K = 5Δz = 6 mL = 600 m, D = 300 mm, f = 0.0153× ข้องอ (K = 0.3)

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 600 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 6 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 3 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 5) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s

Δz = 6 mL = 600 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
PQ = 50 L/sH = 34 m

ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s ต้านเฮด 34 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 80% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 92% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า Pel ที่มอเตอร์ดึง ใน kW

Q = 50 L/sH = 34 mηpump = 80%ηmotor = 92%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
PQ = 120 L/sΔz = 8 mL = 300 m, D = 250 mm, f = 0.02, ΣK = 5

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 120 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 8 m ท่อยาว 300 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 5 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 120 L/sΔz = 8 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 5
H = m

3สารละลาย

1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 49.05 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

yc = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
ประตูน้ำd = 1.5 mH = 2 mF

แรงลัพธ์

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN

คำตอบ

F = 49.05 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: ycp = 4.667 m

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
ประตูน้ำd = 3 mH = 3 mF

แรงลัพธ์

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·4.5·6 = 271.5 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

Ic = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.5 + 4.5/(4.5·6) = 4.667 m

คำตอบ

ycp = 4.667 m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p2 = 149.4 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(100/75)² = 1.333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 1.333²)/1000 = −0.6076 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 150 + (−0.6076) = 149.4 kPa

คำตอบ

p2 = 149.4 kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p2 = 327.4 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(75/40)² = 5.273 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 5.273²)/1000 = −12.78 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 350 + (−12.78) − 9.81 = 327.4 kPa

คำตอบ

p2 = 327.4 kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Δp = 233.3 kPa

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

การสูญเสียเฮด

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(800/0.3)·2.5²/(2·9.81) = 23.79 m

ความดันตก

ท่ออยู่ในแนวนอนและความเร็วไม่เปลี่ยน สมการพลังงานจึงเหลือ Δp = ρ·g·hf

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·23.79 = 233333 Pa = 233.3 kPa

คำตอบ

Δp = 233.3 kPa
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Q = 125.4 L/s

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.015·600/0.3 = 30
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

สมการพลังงาน

ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ

6 = (30 + 7.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·6/37.4) = 1.774 m/s

อัตราการไหล

Q = V·π·D²/4 = 1.774·0.07069 = 0.1254 m³/s = 125.4 L/s

คำตอบ

Q = 125.4 L/s
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: Pel = 22.66 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·34 = 16.68 kW

กำลังที่เพลา

Pshaft = 16.68/0.8 = 20.85 kW

กำลังไฟฟ้า

Pel = 20.85/0.92 = 22.66 kW

คำตอบ

Pel = 22.66 kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 16.83 m

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

ความเร็ว

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m

การสูญเสียเฮด

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 5)·0.3046 = 8.833 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป

H = Δz + hL = 8 + 8.833 = 16.83 m

คำตอบ

H = 16.83 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics