แรงจากความดันของไหลนิ่ง
- ความดันที่ความลึกหนึ่ง
- p = ρgh
- แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
- F = ρg·hc·A
- จุดศูนย์กลางความดัน
- yp = yc + Ic/(ycA)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- Ic = bH³/12
กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
- ความต่อเนื่อง
- A1v1 = A2v2
- เบอร์นูลลี
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- อัตราการไหล
- Q = A·v
- พื้นที่วงกลม
- A = πd²/4
แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
- เลขเรย์โนลดส์
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- ระบอบการไหล
- ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
- ความเร็วเฉลี่ย
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ดาร์ซี–ไวส์บาค
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- การสูญเสียย่อย
- hm = ΣK·V²/(2g)
- ค่า K ทั่วไป
- ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
- ความดันตก
- Δp = ρ·g·hf
- อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- ทางออกอิสระ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ปั๊มและกำลังของปั๊ม
- กำลังไฮดรอลิก
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- กำลังที่เพลา
- Pshaft = Ph/ηpump
- กำลังไฟฟ้า
- Pel = Pshaft/ηmotor
- เฮดของปั๊ม
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- การสูญเสียในระบบ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2โจทย์ฝึก
1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 1 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาความลึก ycp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว
d = 3 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
น้ำไหลผ่านเวนจูรีมิเตอร์แนวนอนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางทางเข้า 200 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางคอคอด 150 mm ความดันที่ทางเข้าสูงกว่าที่คอคอด 21 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาอัตราการไหล Q
d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 21 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 25 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 6 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 270 kPa และความเร็วคือ 0.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ที่หน้าตัด 2
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 270 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 1.8 m/s ผ่านท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.03 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf
V = 1.8 m/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 20 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 4 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 2) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s
Δz = 20 mL = 200 mD = 300 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
ปั๊มที่มีประสิทธิภาพ 75% ส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 100 L/s ต้านเฮด 68 m ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังที่เพลา Pshaft ที่ต้องใช้ ใน kW
Q = 100 L/sH = 68 mη = 75%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 11 m ท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ประสิทธิภาพปั๊มคือ 78% หากำลังที่เพลา Pshaft ใน kW
Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 8η = 78%
Pshaft = kW
3สารละลาย
1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 110.4 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·4.5 = 110.4 kN
คำตอบ
F = 110.4 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: ycp = 4.373 m
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·4.25·7.5 = 320.5 kN
จุดศูนย์กลางความดัน
ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์
Ic = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.25 + 3.906/(4.25·7.5) = 4.373 m
คำตอบ
ycp = 4.373 m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: Q = 138.5 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ความต่อเนื่อง
v1 = v2·(150/200)² = 0.5625·v2
เบอร์นูลลีระหว่างทางเข้ากับคอคอด
ท่ออยู่ในแนวนอน จึงมีเพียงความดันและความเร็วที่เปลี่ยน
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·21000/(1000·(1 − 0.3164))) = 7.838 m/s
v1 = 4.409 m/s
อัตราการไหล
Q = A2·v2 = 0.01767·7.838 = 0.1385 m³/s = 138.5 L/s
คำตอบ
Q = 138.5 L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: p2 = 201.1 kPa
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(75/25)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 270 + (−10) − 58.86 = 201.1 kPa
คำตอบ
p2 = 201.1 kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: hf = 3.716 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
เฮดความเร็ว
V²/(2g) = 1.8²/(2·9.81) = 0.1651 m
ดาร์ซี–ไวส์บาค
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(150/0.2)·1.8²/(2·9.81) = 3.716 m
คำตอบ
hf = 3.716 m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: Q = 329.7 L/s
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
สัมประสิทธิ์การสูญเสีย
f·L/D = 0.02·200/0.3 = 13.33
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7
สมการพลังงาน
ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ
20 = (13.33 + 4.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·20/18.03) = 4.665 m/s
อัตราการไหล
Q = V·π·D²/4 = 4.665·0.07069 = 0.3297 m³/s = 329.7 L/s
คำตอบ
Q = 329.7 L/s
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pshaft = 88.94 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·68 = 66.71 kW
กำลังที่เพลา
Pshaft = Ph/η = 66.71/0.75 = 88.94 kW
คำตอบ
Pshaft = 88.94 kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pshaft = 15.13 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ความเร็ว
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
การสูญเสียเฮด
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0.408 = 13.06 m
เฮดของปั๊ม
H = Δz + hL = 11 + 13.06 = 24.06 m
กำลังที่เพลา
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·24.06/0.78 = 15.13 kW
คำตอบ
Pshaft = 15.13 kW
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics