กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2โจทย์ฝึก

1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำระบายจากถังเปิดขนาดใหญ่ผ่านช่องขอบคมเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm ระดับน้ำอยู่สูงกว่าช่อง 4 m คงที่ และสัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.65 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²

d = 50 mmh = 4 mC_d = 0.65g = 9.81 m/s²

Q = L/s

4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

ถังน้ำปิดมีอากาศอัดอยู่เหนือน้ำที่ความดันเกจ 70 kPa น้ำออกทางช่องเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ซึ่งอยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 4.5 m สู่อากาศภายนอก ไม่คิดการสูญเสีย จงหา ความเร็วของลำน้ำ v ใช้ g = 9.81 m/s²

p_air = 70 kPa (เกจ)h = 4.5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำไหลด้วย 25 L/s ผ่านท่อยาว 500 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.025 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน h_f

Q = 25 L/sL = 500 mD = 100 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.025 การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 2 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 2) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² ผลต่างระดับน้ำ Δz ระหว่างอ่างทั้งสองเท่าใดจึงให้อัตราการไหล 150 L/s

Q = 150 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ปั๊มที่มีประสิทธิภาพ 85% ส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 30 L/s ต้านเฮด 46 m ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังที่เพลา P_shaft ที่ต้องใช้ ใน kW

Q = 30 L/sH = 46 mη = 85%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 75 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 20 m ท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 5 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 75 L/sΔz = 20 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 5

H = m

3สารละลาย

1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 49.66 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·2.25 = 49.66 kN

คำตอบ

F = 49.66 kN

2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 3.524 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.5·2 = 86.52 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 0.1667/(3.5·2) = 3.524 m

คำตอบ

y_cp = 3.524 m

3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 11.31 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็วลำน้ำอุดมคติ

√(2gh) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

อัตราการไหลจริง

สัมประสิทธิ์การไหลออกคิดรวมการหดตัวของลำน้ำและแรงเสียดทานที่ขอบ

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.65·0.001963·8.859 = 0.01131 m³/s = 11.31 L/s

คำตอบ

Q = 11.31 L/s

4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: v = 15.11 m/s

เบอร์นูลลีจากผิวน้ำถึงลำน้ำ

v = √(2·(70000/1000 + 9.81·4.5)) = 15.11 m/s

คำตอบ

v = 15.11 m/s

5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: h_f = 64.55 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

ความเร็วเฉลี่ย

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²

V = Q/A = 0.025/0.007854 = 3.183 m/s

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 3.183²/(2·9.81) = 0.5164 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(500/0.1)·3.183²/(2·9.81) = 64.55 m

คำตอบ

h_f = 64.55 m

6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Δz = 4.766 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s

V²/(2g) = 0.2295 m

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.025·200/0.3 = 16.67

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

การสูญเสียเฮดรวม

h_f = 16.67·0.2295 = 3.825 m

h_m = 4.1·0.2295 = 0.941 m

Δz = h_f + h_m = 4.766 m

คำตอบ

Δz = 4.766 m

7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_shaft = 15.93 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·46 = 13.54 kW

กำลังที่เพลา

P_shaft = P_h/η = 13.54/0.85 = 15.93 kW

คำตอบ

P_shaft = 15.93 kW

8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 27.84 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 5)·0.2905 = 7.843 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป

H = Δz + h_L = 20 + 7.843 = 27.84 m

คำตอบ

H = 27.84 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics