แรงจากความดันของไหลนิ่ง
- ความดันที่ความลึกหนึ่ง
- p = ρgh
- แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
- F = ρg·hc·A
- จุดศูนย์กลางความดัน
- yp = yc + Ic/(ycA)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- Ic = bH³/12
กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
- ความต่อเนื่อง
- A1v1 = A2v2
- เบอร์นูลลี
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- อัตราการไหล
- Q = A·v
- พื้นที่วงกลม
- A = πd²/4
แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
- เลขเรย์โนลดส์
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- ระบอบการไหล
- ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
- ความเร็วเฉลี่ย
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ดาร์ซี–ไวส์บาค
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- การสูญเสียย่อย
- hm = ΣK·V²/(2g)
- ค่า K ทั่วไป
- ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
- ความดันตก
- Δp = ρ·g·hf
- อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- ทางออกอิสระ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ปั๊มและกำลังของปั๊ม
- กำลังไฮดรอลิก
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- กำลังที่เพลา
- Pshaft = Ph/ηpump
- กำลังไฟฟ้า
- Pel = Pshaft/ηmotor
- เฮดของปั๊ม
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- การสูญเสียในระบบ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2โจทย์ฝึก
1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 1 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 2 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 40 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 250 kPa และความเร็วคือ 2.25 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ในช่วงแคบ
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 250 kPav1 = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
สายยางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 50 mm ใช้ไซฟอนน้ำจากถังเปิด จุดสูงสุด C ของสายยางอยู่สูงกว่าผิวน้ำ 0.5 m และปลายทางออก (เปิดสู่อากาศ) อยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 4 m ไม่คิดการสูญเสียและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราการไหล Q
d = 50 mmzC = +0.5 mz2 = −4 mg = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
น้ำ (ρ = 1000 kg/m³) ไหลด้วย 2.8 m/s ผ่านท่อแนวนอนยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.03 และ g = 9.81 m/s² หาความดันตก Δp ตลอดท่อใน kPa
V = 2.8 m/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
ท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm (ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.025) ต่อจากอ่างเก็บน้ำเปิดและปล่อยน้ำเป็นลำอิสระสู่อากาศ การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 2 ตัว (ตัวละ K = 0.3) และวาล์ว (K = 2) ใช้ g = 9.81 m/s² ผิวอ่างต้องสูงกว่าทางออกของท่อ H เท่าใดเพื่อให้ได้อัตราการไหล 75 L/s
Q = 75 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2
H = m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 10 L/s ต้านเฮด 50 m ขณะที่เพลาใช้ 8.2 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์
Q = 10 L/sH = 50 mPshaft = 8.2 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 12 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 13 m ท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้
Q = 12 L/sΔz = 13 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.02ΣK = 8
H = m
3สารละลาย
1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 77.25 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·4.5 = 77.25 kN
คำตอบ
F = 77.25 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 35.61 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·2.75·1.5 = 35.61 kN
คำตอบ
F = 35.61 kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: p2 = 221.2 kPa
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.25·(75/40)² = 7.91 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.25² − 7.91²)/1000 = −28.75 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−28.75) = 221.2 kPa
คำตอบ
p2 = 221.2 kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: Q = 17.39 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ความเร็วในสายยาง
ผิวน้ำและทางออกเปิดสู่อากาศทั้งคู่ พจน์ความดันจึงหักล้างกัน
v = √(2g·4) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s
อัตราการไหล
Q = A·v = 0.001963·8.859 = 0.01739 m³/s = 17.39 L/s
คำตอบ
Q = 17.39 L/s
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: Δp = 117.6 kPa
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
การสูญเสียเฮด
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(150/0.15)·2.8²/(2·9.81) = 11.99 m
ความดันตก
ท่ออยู่ในแนวนอนและความเร็วไม่เปลี่ยน สมการพลังงานจึงเหลือ Δp = ρ·g·hf
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·11.99 = 117600 Pa = 117.6 kPa
คำตอบ
Δp = 117.6 kPa
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: H = 0.9525 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็ว
V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s
V²/(2g) = 0.05738 m
สัมประสิทธิ์การสูญเสีย
f·L/D = 0.025·150/0.3 = 12.5
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 = 3.1
สมการพลังงาน
ลำน้ำที่ทางออกยังมีเฮดความเร็ว ไม่ใช่การสูญเสียแต่ต้องจ่ายให้
H = (1 + 12.5 + 3.1)·0.05738 = 0.9525 m
คำตอบ
H = 0.9525 m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: η = 59.82 %
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·50 = 4.905 kW
ประสิทธิภาพ
η = Ph/Pshaft = 4.905/8.2 = 59.82%
คำตอบ
η = 59.82%
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: H = 17.52 m
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ความเร็ว
V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s
V²/(2g) = 0.119 m
การสูญเสียเฮด
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0.119 = 4.521 m
เฮดของปั๊ม
ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป
H = Δz + hL = 13 + 4.521 = 17.52 m
คำตอบ
H = 17.52 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics