กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2โจทย์ฝึก

1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 40 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 200 kPa และความเร็วคือ 1.75 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ในช่วงแคบ

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 200 kPav₁ = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

สายยางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 40 mm ใช้ไซฟอนน้ำจากถังเปิด จุดสูงสุด C ของสายยางอยู่สูงกว่าผิวน้ำ 2 m และปลายทางออก (เปิดสู่อากาศ) อยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 2.5 m ไม่คิดการสูญเสียและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความดันสัมบูรณ์ p_C ที่จุด C ความดันบรรยากาศคือ 101.3 kPa

d = 40 mmz_C = +2 mz₂ = −2.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 0.9 m/s ผ่านท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน h_f

V = 0.9 m/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 400 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 4 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 2) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² ผลต่างระดับน้ำ Δz ระหว่างอ่างทั้งสองเท่าใดจึงให้อัตราการไหล 200 L/s

Q = 200 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 80 L/s ต้านเฮด 74 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 70% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 92% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า P_el ที่มอเตอร์ดึง ใน kW

Q = 80 L/sH = 74 mη_pump = 70%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 60 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 9 m ท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ประสิทธิภาพปั๊มคือ 82% หากำลังที่เพลา P_shaft ใน kW

Q = 60 L/sΔz = 9 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

3สารละลาย

1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 47.82 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·1.5 = 47.82 kN

คำตอบ

F = 47.82 kN

2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 4.373 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4.25·2.5 = 106.8 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.25 + 1.302/(4.25·2.5) = 4.373 m

คำตอบ

y_cp = 4.373 m

3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 141.7 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/40)² = 10.94 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 10.94²)/1000 = −58.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−58.28) = 141.7 kPa

คำตอบ

p₂ = 141.7 kPa

4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p_C = 57.15 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็วในสายยาง

ผิวน้ำและทางออกเปิดสู่อากาศทั้งคู่ พจน์ความดันจึงหักล้างกัน

v = √(2g·2.5) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s

เบอร์นูลลีจากผิวน้ำถึง C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(7.004²/2 + 9.81·2)/1000 = 101.3 − 44.15 = 57.15 kPa

คำตอบ

p_C = 57.15 kPa

ถ้าความดันนี้ลดลงถึงความดันไอของน้ำ ไซฟอนจะหยุดทำงาน

5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: h_f = 0.4954 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 0.9²/(2·9.81) = 0.04128 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(200/0.25)·0.9²/(2·9.81) = 0.4954 m

คำตอบ

h_f = 0.4954 m

6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Δz = 11.71 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.018·400/0.3 = 24

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7

การสูญเสียเฮดรวม

h_f = 24·0.408 = 9.793 m

h_m = 4.7·0.408 = 1.918 m

Δz = h_f + h_m = 11.71 m

คำตอบ

Δz = 11.71 m

7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_el = 90.18 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·74 = 58.08 kW

กำลังที่เพลา

P_shaft = 58.08/0.7 = 82.96 kW

กำลังไฟฟ้า

P_el = 82.96/0.92 = 90.18 kW

คำตอบ

P_el = 90.18 kW

8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_shaft = 9.73 kW

ความเร็ว

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.5 + 8)·0.1859 = 4.555 m

เฮดของปั๊ม

H = Δz + h_L = 9 + 4.555 = 13.55 m

กำลังที่เพลา

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·13.55/0.82 = 9.73 kW

คำตอบ

P_shaft = 9.73 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics