กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง
p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
F = ρg·hc·A
จุดศูนย์กลางความดัน
yp = yc + Ic/(ycA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
Ic = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง
A1v1 = A2v2
เบอร์นูลลี
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
อัตราการไหล
Q = A·v
พื้นที่วงกลม
A = πd²/4

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล
ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย
V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย
hm = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป
ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก
Δp = ρ·g·hf
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา
Pshaft = Ph/ηpump
กำลังไฟฟ้า
Pel = Pshaft/ηmotor
เฮดของปั๊ม
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
การสูญเสียในระบบ
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2โจทย์ฝึก

1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำd = 2 mH = 3 m

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำd = 4 mH = 2.5 m

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 4 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
12d1​ = 100 mm, p1​ = ?d2​ = 50 mm, p2​ = 120 kPa

น้ำไหล 12 L/s ผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 50 mm ความดันในส่วนแคบคือ 120 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาความดัน p1 ในส่วนกว้าง

Q = 12 L/sd1 = 100 mmd2 = 50 mmp2 = 120 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
12d1​ = 75 mm, p1​ = 240 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 7 m

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 40 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 7 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 240 kPa และความเร็วคือ 1.25 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ที่หน้าตัด 2

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 240 kPav1 = 1.25 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
V = 1.7 m/sD = 200 mmL = 50 mf = 0.028

น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 1.7 m/s ผ่านท่อยาว 50 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.028 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf

V = 1.7 m/sL = 50 mD = 200 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
K = 2ทางออกอิสระH = ?L = 600 m, D = 300 mm, f = 0.0154× ข้องอ (K = 0.3)

ท่อยาว 600 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm (ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015) ต่อจากอ่างเก็บน้ำเปิดและปล่อยน้ำเป็นลำอิสระสู่อากาศ การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 4 ตัว (ตัวละ K = 0.3) และวาล์ว (K = 2) ใช้ g = 9.81 m/s² ผิวอ่างต้องสูงกว่าทางออกของท่อ H เท่าใดเพื่อให้ได้อัตราการไหล 200 L/s

Q = 200 L/sL = 600 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
PQ = 30 L/sH = 76 m

ปั๊มที่มีประสิทธิภาพ 82% ส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 30 L/s ต้านเฮด 76 m ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังที่เพลา Pshaft ที่ต้องใช้ ใน kW

Q = 30 L/sH = 76 mη = 82%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
PQ = 60 L/sΔz = 15 mL = 300 m, D = 200 mm, f = 0.018, ΣK = 6

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 60 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 15 m ท่อยาว 300 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 6 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 60 L/sΔz = 15 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 6
H = m

3สารละลาย

1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 309 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
ประตูน้ำd = 2 mH = 3 mF

แรงลัพธ์

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·9 = 309 kN

คำตอบ

F = 309 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 264 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

yc = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
ประตูน้ำd = 4 mH = 2.5 mF

แรงลัพธ์

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·5.25·5 = 264 kN

คำตอบ

F = 264 kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p1 = 137.5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็ว

v1 = Q/A1 = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s
v2 = Q/A2 = 0.012/0.001963 = 6.112 m/s

เบอร์นูลลี

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 120 + ½·1000·(6.112² − 1.528²)/1000 = 120 + 17.51 = 137.5 kPa

คำตอบ

p1 = 137.5 kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p2 = 162.5 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.25·(75/40)² = 4.395 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.25² − 4.395²)/1000 = −8.875 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 240 + (−8.875) − 68.67 = 162.5 kPa

คำตอบ

p2 = 162.5 kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: hf = 1.031 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 1.7²/(2·9.81) = 0.1473 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(50/0.2)·1.7²/(2·9.81) = 1.031 m

คำตอบ

hf = 1.031 m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: H = 14.16 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

ความเร็ว

V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.015·600/0.3 = 30
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7

สมการพลังงาน

ลำน้ำที่ทางออกยังมีเฮดความเร็ว ไม่ใช่การสูญเสียแต่ต้องจ่ายให้

H = (1 + 30 + 3.7)·0.408 = 14.16 m

คำตอบ

H = 14.16 m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: Pshaft = 27.28 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·76 = 22.37 kW

กำลังที่เพลา

Pshaft = Ph/η = 22.37/0.82 = 27.28 kW

คำตอบ

Pshaft = 27.28 kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 21.14 m

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

ความเร็ว

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m

การสูญเสียเฮด

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 6)·0.1859 = 6.135 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป

H = Δz + hL = 15 + 6.135 = 21.14 m

คำตอบ

H = 21.14 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics