แรงจากความดันของไหลนิ่ง
- ความดันที่ความลึกหนึ่ง
- p = ρgh
- แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
- F = ρg·hc·A
- จุดศูนย์กลางความดัน
- yp = yc + Ic/(ycA)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- Ic = bH³/12
กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
- ความต่อเนื่อง
- A1v1 = A2v2
- เบอร์นูลลี
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- อัตราการไหล
- Q = A·v
- พื้นที่วงกลม
- A = πd²/4
แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
- เลขเรย์โนลดส์
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- ระบอบการไหล
- ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
- ความเร็วเฉลี่ย
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ดาร์ซี–ไวส์บาค
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- การสูญเสียย่อย
- hm = ΣK·V²/(2g)
- ค่า K ทั่วไป
- ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
- ความดันตก
- Δp = ρ·g·hf
- อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- ทางออกอิสระ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ปั๊มและกำลังของปั๊ม
- กำลังไฮดรอลิก
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- กำลังที่เพลา
- Pshaft = Ph/ηpump
- กำลังไฟฟ้า
- Pel = Pshaft/ηmotor
- เฮดของปั๊ม
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- การสูญเสียในระบบ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2โจทย์ฝึก
1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 0.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 0.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาความลึก ycp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว
d = 3 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 40 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 150 kPa และความเร็วคือ 1.75 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ในช่วงแคบ
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 150 kPav1 = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 150 mm เป็น 40 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 3 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 220 kPa และความเร็วคือ 1 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ที่หน้าตัด 2
d1 = 150 mmd2 = 40 mmp1 = 220 kPav1 = 1 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
น้ำไหลด้วย 20 L/s ผ่านท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf
Q = 20 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 25 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 3 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 10) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s
Δz = 25 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 60 L/s ต้านเฮด 80 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 60% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 94% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า Pel ที่มอเตอร์ดึง ใน kW
Q = 60 L/sH = 80 mηpump = 60%ηmotor = 94%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 80 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 21 m ท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 6 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้
Q = 80 L/sΔz = 21 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 6
H = m
3สารละลาย
1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 176.6 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·9 = 176.6 kN
คำตอบ
F = 176.6 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: ycp = 3.8 m
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3.75·1.5 = 69.53 kN
จุดศูนย์กลางความดัน
ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์
Ic = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.75 + 0.2813/(3.75·1.5) = 3.8 m
คำตอบ
ycp = 3.8 m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: p2 = 132.6 kPa
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.75·(75/40)² = 6.152 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.75² − 6.152²)/1000 = −17.39 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 150 + (−17.39) = 132.6 kPa
คำตอบ
p2 = 132.6 kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: p2 = 92.19 kPa
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(150/40)² = 14.06 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 14.06²)/1000 = −98.38 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 220 + (−98.38) − 29.43 = 92.19 kPa
คำตอบ
p2 = 92.19 kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: hf = 7.271 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็วเฉลี่ย
A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
เฮดความเร็ว
V²/(2g) = 2.546²/(2·9.81) = 0.3305 m
ดาร์ซี–ไวส์บาค
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(100/0.1)·2.546²/(2·9.81) = 7.271 m
คำตอบ
hf = 7.271 m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: Q = 129.4 L/s
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
สัมประสิทธิ์การสูญเสีย
f·L/D = 0.022·150/0.2 = 16.5
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4
สมการพลังงาน
ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ
25 = (16.5 + 12.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·25/28.9) = 4.12 m/s
อัตราการไหล
Q = V·π·D²/4 = 4.12·0.03142 = 0.1294 m³/s = 129.4 L/s
คำตอบ
Q = 129.4 L/s
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pel = 83.49 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·80 = 47.09 kW
กำลังที่เพลา
Pshaft = 47.09/0.6 = 78.48 kW
กำลังไฟฟ้า
Pel = 78.48/0.94 = 83.49 kW
คำตอบ
Pel = 83.49 kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: H = 26.62 m
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ความเร็ว
V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
การสูญเสียเฮด
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11 + 6)·0.3305 = 5.619 m
เฮดของปั๊ม
ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป
H = Δz + hL = 21 + 5.619 = 26.62 m
คำตอบ
H = 26.62 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics