กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2โจทย์ฝึก

1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 0.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 0.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

ท่อพิโตต์สแตติกในอุโมงค์ลมอ่านผลต่างระหว่างความดันหยุดนิ่งกับความดันสถิตได้ 300 Pa ความหนาแน่นของอากาศคือ 1.2 kg/m³ จงหาอัตราเร็วอากาศ v

p₀ − p = 300 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

สายยางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 32 mm ใช้ไซฟอนน้ำจากถังเปิด จุดสูงสุด C ของสายยางอยู่สูงกว่าผิวน้ำ 1.5 m และปลายทางออก (เปิดสู่อากาศ) อยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 3 m ไม่คิดการสูญเสียและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราการไหล Q

d = 32 mmz_C = +1.5 mz₂ = −3 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 2.4 m/s ผ่านท่อยาว 50 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 75 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.025 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน h_f

V = 2.4 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 34 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 3 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 10) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s

Δz = 34 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1.0

Q = L/s

7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 15 L/s ต้านเฮด 42 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 65% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 94% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า P_el ที่มอเตอร์ดึง ใน kW

Q = 15 L/sH = 42 mη_pump = 65%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 10 m ท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ถังบนปิดและอากาศเหนือน้ำมีความดันเกจ 300 kPa หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8p_tank = 300 kPa

H = m

3สารละลาย

1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 397.3 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·9 = 397.3 kN

คำตอบ

F = 397.3 kN

2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 9.81 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1·1 = 9.81 kN

คำตอบ

F = 9.81 kN

3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: v = 22.36 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

เบอร์นูลลีถึงจุดหยุดนิ่ง

การไหลหยุดนิ่งที่ปลายท่อ พลังงานจลน์จึงปรากฏเป็นความดันที่เพิ่มขึ้น

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·300/1.2) = 22.36 m/s

คำตอบ

v = 22.36 m/s

4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 6.17 L/s

ความเร็วในสายยาง

ผิวน้ำและทางออกเปิดสู่อากาศทั้งคู่ พจน์ความดันจึงหักล้างกัน

v = √(2g·3) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

อัตราการไหล

Q = A·v = 0.0008042·7.672 = 0.00617 m³/s = 6.17 L/s

คำตอบ

Q = 6.17 L/s

5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: h_f = 4.893 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 2.4²/(2·9.81) = 0.2936 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(50/0.075)·2.4²/(2·9.81) = 4.893 m

คำตอบ

h_f = 4.893 m

6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Q = 256.7 L/s

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.02·150/0.25 = 12

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

สมการพลังงาน

ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ

34 = (12 + 12.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·34/24.4) = 5.229 m/s

อัตราการไหล

Q = V·π·D²/4 = 5.229·0.04909 = 0.2567 m³/s = 256.7 L/s

คำตอบ

Q = 256.7 L/s

7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_el = 10.12 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·42 = 6.18 kW

กำลังที่เพลา

P_shaft = 6.18/0.65 = 9.508 kW

กำลังไฟฟ้า

P_el = 9.508/0.94 = 10.12 kW

คำตอบ

P_el = 10.12 kW

8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 43.03 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s

V²/(2g) = 0.1291 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11 + 8)·0.1291 = 2.453 m

เฮดความดัน

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองแทบจะนิ่ง จึงไม่มีพจน์เฮดความเร็ว

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 30.58 + 2.453 = 43.03 m

คำตอบ

H = 43.03 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics