กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2โจทย์ฝึก

1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

ท่อพิโตต์สแตติกในท่อน้ำอ่านผลต่างระหว่างความดันหยุดนิ่งกับความดันสถิตได้ 38 kPa จงหาความเร็วของน้ำ v ที่ปลายท่อ

p₀ − p = 38 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

หัวฉีดน้ำพุชี้ขึ้นตรง ๆ ใต้หัวฉีดเล็กน้อย ท่อจ่ายมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 100 mm และความดันเกจ 130 kPa เส้นผ่านศูนย์กลางทางออกของหัวฉีดคือ 20 mm และผลต่างความสูงคร่อมหัวฉีดน้อยมากจนละเลยได้ ไม่คิดการสูญเสียและแรงต้านอากาศ จงหาความสูง H ที่ลำน้ำพุ่งขึ้นเหนือหัวฉีด ใช้ g = 9.81 m/s²

d₁ = 100 mmp₁ = 130 kPa (เกจ)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำไหลด้วย 150 L/s ผ่านท่อยาว 800 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน h_f

Q = 150 L/sL = 800 mD = 250 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 2 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 0.2) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² ผลต่างระดับน้ำ Δz ระหว่างอ่างทั้งสองเท่าใดจึงให้อัตราการไหล 150 L/s

Q = 150 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 60 L/s ต้านเฮด 50 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 82% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 92% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า P_el ที่มอเตอร์ดึง ใน kW

Q = 60 L/sH = 50 mη_pump = 82%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 100 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 21 m ท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 6 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 100 L/sΔz = 21 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 6

H = m

3สารละลาย

1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 58.86 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

คำตอบ

F = 58.86 kN

2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 3.524 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.5·1 = 30.21 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0.08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 0.08333/(3.5·1) = 3.524 m

คำตอบ

y_cp = 3.524 m

3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: v = 8.718 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

เบอร์นูลลีถึงจุดหยุดนิ่ง

การไหลหยุดนิ่งที่ปลายท่อ พลังงานจลน์จึงปรากฏเป็นความดันที่เพิ่มขึ้น

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·38000/1000) = 8.718 m/s

คำตอบ

v = 8.718 m/s

4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: H = 13.27 m

ความเร็วที่ทางออก

β = 20/100 = 0.2

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·130000/(1000·0.9984)) = 16.14 m/s

ความสูงของลำน้ำ

เบอร์นูลลีตามลำน้ำ: ที่จุดสูงสุดความเร็วเป็นศูนย์และความดันกลับเป็นความดันบรรยากาศ

H = v₂²/(2g) = 16.14²/(2·9.81) = 13.27 m

คำตอบ

H = 13.27 m

5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: h_f = 33.51 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

ความเร็วเฉลี่ย

A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²

V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 3.056²/(2·9.81) = 0.4759 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(800/0.25)·3.056²/(2·9.81) = 33.51 m

คำตอบ

h_f = 33.51 m

6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Δz = 9.471 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s

V²/(2g) = 0.4759 m

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.022·200/0.25 = 17.6

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3

การสูญเสียเฮดรวม

h_f = 17.6·0.4759 = 8.376 m

h_m = 2.3·0.4759 = 1.095 m

Δz = h_f + h_m = 9.471 m

คำตอบ

Δz = 9.471 m

7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_el = 39.01 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·50 = 29.43 kW

กำลังที่เพลา

P_shaft = 29.43/0.82 = 35.89 kW

กำลังไฟฟ้า

P_el = 35.89/0.92 = 39.01 kW

คำตอบ

P_el = 39.01 kW

8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 24.81 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 6)·0.2115 = 3.807 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป

H = Δz + h_L = 21 + 3.807 = 24.81 m

คำตอบ

H = 24.81 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics