กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง
p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
F = ρg·hc·A
จุดศูนย์กลางความดัน
yp = yc + Ic/(ycA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
Ic = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง
A1v1 = A2v2
เบอร์นูลลี
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
อัตราการไหล
Q = A·v
พื้นที่วงกลม
A = πd²/4

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล
ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย
V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย
hm = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป
ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก
Δp = ρ·g·hf
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา
Pshaft = Ph/ηpump
กำลังไฟฟ้า
Pel = Pshaft/ηmotor
เฮดของปั๊ม
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
การสูญเสียในระบบ
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2โจทย์ฝึก

1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำd = 1.5 mH = 1.5 m

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำd = 3 mH = 1 m

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
12d1​ = 100 mm, p1​ = 260 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 50 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 260 kPa และความเร็วคือ 2 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ในช่วงแคบ

d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 260 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
12d1​ = 75 mm, p1​ = 150 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 6 m

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 40 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 6 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 150 kPa และความเร็วคือ 2.75 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ที่หน้าตัด 2

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 150 kPav1 = 2.75 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
V = 1.5 m/sD = 100 mmL = 50 mf = 0.028

น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 1.5 m/s ผ่านท่อยาว 50 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.028 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf

V = 1.5 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
K = 2ทางออกอิสระH = ?L = 100 m, D = 100 mm, f = 0.0253× ข้องอ (K = 0.3)

ท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm (ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.025) ต่อจากอ่างเก็บน้ำเปิดและปล่อยน้ำเป็นลำอิสระสู่อากาศ การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 3 ตัว (ตัวละ K = 0.3) และวาล์ว (K = 2) ใช้ g = 9.81 m/s² ผิวอ่างต้องสูงกว่าทางออกของท่อ H เท่าใดเพื่อให้ได้อัตราการไหล 10 L/s

Q = 10 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2
H = m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
PQ = 50 L/sH = 34 m

ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s ต้านเฮด 34 m ขณะที่เพลาใช้ 19.6 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์

Q = 50 L/sH = 34 mPshaft = 19.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
PQ = 20 L/sΔz = 9 mL = 100 m, D = 100 mm, f = 0.025, ΣK = 3

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 20 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 9 m ท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.025 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 3 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ประสิทธิภาพปั๊มคือ 85% หากำลังที่เพลา Pshaft ใน kW

Q = 20 L/sΔz = 9 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.025ΣK = 3η = 85%
Pshaft = kW

3สารละลาย

1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 33.11 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

yc = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
ประตูน้ำd = 1.5 mH = 1.5 mF

แรงลัพธ์

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.25·1.5 = 33.11 kN

คำตอบ

F = 33.11 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 86.52 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
ประตูน้ำd = 3 mH = 1 mF

แรงลัพธ์

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3.5·2 = 86.52 kN

คำตอบ

F = 86.52 kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p2 = 230 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(100/50)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 260 + (−30) = 230 kPa

คำตอบ

p2 = 230 kPa
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p2 = 48.19 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(75/40)² = 9.668 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.75² − 9.668²)/1000 = −42.95 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 150 + (−42.95) − 58.86 = 48.19 kPa

คำตอบ

p2 = 48.19 kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: hf = 1.606 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

เฮดความเร็ว

V²/(2g) = 1.5²/(2·9.81) = 0.1147 m

ดาร์ซี–ไวส์บาค

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(50/0.1)·1.5²/(2·9.81) = 1.606 m

คำตอบ

hf = 1.606 m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: H = 2.429 m

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

ความเร็ว

V = Q/A = 0.01/0.007854 = 1.273 m/s
V²/(2g) = 0.08263 m

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.025·100/0.1 = 25
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4

สมการพลังงาน

ลำน้ำที่ทางออกยังมีเฮดความเร็ว ไม่ใช่การสูญเสียแต่ต้องจ่ายให้

H = (1 + 25 + 3.4)·0.08263 = 2.429 m

คำตอบ

H = 2.429 m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: η = 85.09 %

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·34 = 16.68 kW

ประสิทธิภาพ

η = Ph/Pshaft = 16.68/19.6 = 85.09%

คำตอบ

η = 85.09%
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: Pshaft = 4.214 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

ความเร็ว

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

การสูญเสียเฮด

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 3)·0.3305 = 9.254 m

เฮดของปั๊ม

H = Δz + hL = 9 + 9.254 = 18.25 m

กำลังที่เพลา

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·18.25/0.85 = 4.214 kW

คำตอบ

Pshaft = 4.214 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics