แรงจากความดันของไหลนิ่ง
- ความดันที่ความลึกหนึ่ง
- p = ρgh
- แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
- F = ρg·hc·A
- จุดศูนย์กลางความดัน
- yp = yc + Ic/(ycA)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- Ic = bH³/12
กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
- ความต่อเนื่อง
- A1v1 = A2v2
- เบอร์นูลลี
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- อัตราการไหล
- Q = A·v
- พื้นที่วงกลม
- A = πd²/4
แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
- เลขเรย์โนลดส์
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- ระบอบการไหล
- ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
- ความเร็วเฉลี่ย
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ดาร์ซี–ไวส์บาค
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- การสูญเสียย่อย
- hm = ΣK·V²/(2g)
- ค่า K ทั่วไป
- ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
- ความดันตก
- Δp = ρ·g·hf
- อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- ทางออกอิสระ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ปั๊มและกำลังของปั๊ม
- กำลังไฮดรอลิก
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- กำลังที่เพลา
- Pshaft = Ph/ηpump
- กำลังไฟฟ้า
- Pel = Pshaft/ηmotor
- เฮดของปั๊ม
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- การสูญเสียในระบบ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2โจทย์ฝึก
1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 4 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 1 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
น้ำระบายจากถังเปิดขนาดใหญ่ผ่านช่องขอบคมเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm ระดับน้ำอยู่สูงกว่าช่อง 2 m คงที่ และสัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.62 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²
d = 25 mmh = 2 mCd = 0.62g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
เวนจูรีมิเตอร์แนวนอน (ทางเข้า 100 mm คอคอด 50 mm) ส่งน้ำ มาโนมิเตอร์ปรอทรูปตัว U ต่อระหว่างทางเข้ากับคอคอดแสดงผลต่างระดับ 120 mm สัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.97 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ ρ = 1000 kg/m³ สำหรับน้ำ 13 600 kg/m³ สำหรับปรอท และ g = 9.81 m/s²
d1 = 100 mmd2 = 50 mmΔh = 120 mmCd = 0.97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
น้ำ (ρ = 1000 kg/m³) ไหลด้วย 1 m/s ผ่านท่อแนวนอนยาว 50 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 75 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 และ g = 9.81 m/s² หาความดันตก Δp ตลอดท่อใน kPa
V = 1 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 18 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 3 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 0.2) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s
Δz = 18 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 100 L/s ต้านเฮด 20 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 80% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 92% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า Pel ที่มอเตอร์ดึง ใน kW
Q = 100 L/sH = 20 mηpump = 80%ηmotor = 92%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 60 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 8 m ท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ประสิทธิภาพปั๊มคือ 78% หากำลังที่เพลา Pshaft ใน kW
Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8η = 78%
Pshaft = kW
3สารละลาย
1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 193.1 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5.25·3.75 = 193.1 kN
คำตอบ
F = 193.1 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 48.56 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·2.25·2.5 = 48.56 kN
คำตอบ
F = 48.56 kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: Q = 1.906 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ความเร็วลำน้ำอุดมคติ
√(2gh) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s
อัตราการไหลจริง
สัมประสิทธิ์การไหลออกคิดรวมการหดตัวของลำน้ำและแรงเสียดทานที่ขอบ
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.62·0.0004909·6.264 = 0.001906 m³/s = 1.906 L/s
คำตอบ
Q = 1.906 L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: Q = 10.71 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ผลต่างความดันจากมาโนมิเตอร์
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.12 = 14833 Pa
ความเร็วที่คอคอด
สมการความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีรวมกันให้ความเร็วที่คอคอดอุดมคติ
β = 50/100 = 0.5
v2 = √(2·14833/(1000·(1 − 0.0625))) = 5.625 m/s
อัตราการไหลจริง
Q = Cd·A2·v2 = 0.97·0.001963·5.625 = 0.01071 m³/s = 10.71 L/s
คำตอบ
Q = 10.71 L/s
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: Δp = 6.667 kPa
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
การสูญเสียเฮด
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(50/0.075)·1²/(2·9.81) = 0.6796 m
ความดันตก
ท่ออยู่ในแนวนอนและความเร็วไม่เปลี่ยน สมการพลังงานจึงเหลือ Δp = ρ·g·hf
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·0.6796 = 6667 Pa = 6.667 kPa
คำตอบ
Δp = 6.667 kPa
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: Q = 86.91 L/s
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
สัมประสิทธิ์การสูญเสีย
f·L/D = 0.018·100/0.15 = 12
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.6
สมการพลังงาน
ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ
18 = (12 + 2.6)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·18/14.6) = 4.918 m/s
อัตราการไหล
Q = V·π·D²/4 = 4.918·0.01767 = 0.08691 m³/s = 86.91 L/s
คำตอบ
Q = 86.91 L/s
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pel = 26.66 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·20 = 19.62 kW
กำลังที่เพลา
Pshaft = 19.62/0.8 = 24.52 kW
กำลังไฟฟ้า
Pel = 24.52/0.92 = 26.66 kW
คำตอบ
Pel = 26.66 kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pshaft = 8.422 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ความเร็ว
V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
การสูญเสียเฮด
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 8)·0.1859 = 3.16 m
เฮดของปั๊ม
H = Δz + hL = 8 + 3.16 = 11.16 m
กำลังที่เพลา
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·11.16/0.78 = 8.422 kW
คำตอบ
Pshaft = 8.422 kW
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics