กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เลขเรย์โนลดส์: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
ระบอบการไหล: ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
ความเร็วเฉลี่ย: V = Q/A, A = π·D²/4
ดาร์ซี–ไวส์บาค: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
การสูญเสียย่อย: h_m = ΣK·V²/(2g)
ค่า K ทั่วไป: ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
ความดันตก: Δp = ρ·g·h_f
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ทางออกอิสระ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ปั๊มและกำลังของปั๊ม

กำลังไฮดรอลิก: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
กำลังที่เพลา: P_shaft = P_h/η_pump
กำลังไฟฟ้า: P_el = P_shaft/η_motor
เฮดของปั๊ม: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
การสูญเสียในระบบ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2โจทย์ฝึก

1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 0.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 0.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหล 15 L/s ผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 150 mm เป็น 100 mm ความดันในส่วนแคบคือ 170 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาความดัน p₁ ในส่วนกว้าง

Q = 15 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 170 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

ถังน้ำปิดมีอากาศอัดอยู่เหนือน้ำที่ความดันเกจ 200 kPa น้ำออกทางช่องเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm ซึ่งอยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 3.5 m สู่อากาศภายนอก ไม่คิดการสูญเสีย จงหา อัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²

p_air = 200 kPa (เกจ)h = 3.5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง

น้ำ (ρ = 1000 kg/m³) ไหลด้วย 2.3 m/s ผ่านท่อแนวนอนยาว 50 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 และ g = 9.81 m/s² หาความดันตก Δp ตลอดท่อใน kPa

V = 2.3 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก

อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 24 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 4 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 5) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s

Δz = 24 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง

ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 25 L/s ต้านเฮด 12 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 85% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 94% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า P_el ที่มอเตอร์ดึง ใน kW

Q = 25 L/sH = 12 mη_pump = 85%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก

ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 14 m ท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 5 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้

Q = 50 L/sΔz = 14 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 5

H = m

3สารละลาย

1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 29.43 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·2 = 29.43 kN

คำตอบ

F = 29.43 kN

2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 1.556 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.5·3 = 55.62 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.25/(1.5·3) = 1.556 m

คำตอบ

y_cp = 1.556 m

3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₁ = 171.5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็ว

v₁ = Q/A₁ = 0.015/0.01767 = 0.8488 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

เบอร์นูลลี

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 170 + ½·1000·(1.91² − 0.8488²)/1000 = 170 + 1.464 = 171.5 kPa

คำตอบ

p₁ = 171.5 kPa

4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 42.51 L/s

เบอร์นูลลีจากผิวน้ำถึงลำน้ำ

v = √(2·(200000/1000 + 9.81·3.5)) = 21.65 m/s

อัตราการไหล

Q = A·v = 0.001963·21.65 = 0.04251 m³/s = 42.51 L/s

คำตอบ

Q = 42.51 L/s

5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Δp = 15.87 kPa

การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค h_f = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย h_m = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = h_f + h_m โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย

การสูญเสียเฮด

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(50/0.15)·2.3²/(2·9.81) = 1.618 m

ความดันตก

ท่ออยู่ในแนวนอนและความเร็วไม่เปลี่ยน สมการพลังงานจึงเหลือ Δp = ρ·g·h_f

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·1.618 = 15870 Pa = 15.87 kPa

คำตอบ

Δp = 15.87 kPa

6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

คำตอบ: Q = 72.86 L/s

สัมประสิทธิ์การสูญเสีย

f·L/D = 0.02·150/0.15 = 20

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

สมการพลังงาน

ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ

24 = (20 + 7.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·24/27.7) = 4.123 m/s

อัตราการไหล

Q = V·π·D²/4 = 4.123·0.01767 = 0.07286 m³/s = 72.86 L/s

คำตอบ

Q = 72.86 L/s

7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: P_el = 3.683 kW

กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: P_shaft = P_h/η_pump และมอเตอร์ดึง P_el = P_shaft/η_motor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด

กำลังไฮดรอลิก

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·12 = 2.943 kW

กำลังที่เพลา

P_shaft = 2.943/0.85 = 3.462 kW

กำลังไฟฟ้า

P_el = 3.462/0.94 = 3.683 kW

คำตอบ

P_el = 3.683 kW

8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม

คำตอบ: H = 23.38 m

ความเร็ว

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

การสูญเสียเฮด

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 5)·0.408 = 9.385 m

เฮดของปั๊ม

ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป

H = Δz + h_L = 14 + 9.385 = 23.38 m

คำตอบ

H = 23.38 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics