แรงจากความดันของไหลนิ่ง
- ความดันที่ความลึกหนึ่ง
- p = ρgh
- แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
- F = ρg·hc·A
- จุดศูนย์กลางความดัน
- yp = yc + Ic/(ycA)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- Ic = bH³/12
กลศาสตร์ของไหล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
- ความต่อเนื่อง
- A1v1 = A2v2
- เบอร์นูลลี
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- อัตราการไหล
- Q = A·v
- พื้นที่วงกลม
- A = πd²/4
แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
- เลขเรย์โนลดส์
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- ระบอบการไหล
- ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
- ความเร็วเฉลี่ย
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ดาร์ซี–ไวส์บาค
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- การสูญเสียย่อย
- hm = ΣK·V²/(2g)
- ค่า K ทั่วไป
- ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
- ความดันตก
- Δp = ρ·g·hf
- อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- ทางออกอิสระ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ปั๊มและกำลังของปั๊ม
- กำลังไฮดรอลิก
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- กำลังที่เพลา
- Pshaft = Ph/ηpump
- กำลังไฟฟ้า
- Pel = Pshaft/ηmotor
- เฮดของปั๊ม
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- การสูญเสียในระบบ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2โจทย์ฝึก
1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 1.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาความลึก ycp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว
d = 4 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
ท่อพิโตต์สแตติกในอุโมงค์ลมอ่านผลต่างระหว่างความดันหยุดนิ่งกับความดันสถิตได้ 950 Pa ความหนาแน่นของอากาศคือ 1.2 kg/m³ จงหาอัตราเร็วอากาศ v
p0 − p = 950 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
สายยางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 50 mm ใช้ไซฟอนน้ำจากถังเปิด จุดสูงสุด C ของสายยางอยู่สูงกว่าผิวน้ำ 2.5 m และปลายทางออก (เปิดสู่อากาศ) อยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 4.5 m ไม่คิดการสูญเสียและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความดันสัมบูรณ์ pC ที่จุด C ความดันบรรยากาศคือ 101.3 kPa
d = 50 mmzC = +2.5 mz2 = −4.5 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
น้ำ (ρ = 1000 kg/m³) ไหลด้วย 2.2 m/s ผ่านท่อแนวนอนยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 และ g = 9.81 m/s² หาความดันตก Δp ตลอดท่อใน kPa
V = 2.2 m/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 300 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 4 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 0.2) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² ผลต่างระดับน้ำ Δz ระหว่างอ่างทั้งสองเท่าใดจึงให้อัตราการไหล 150 L/s
Q = 150 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
ปั๊มที่มีประสิทธิภาพ 72% ส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 40 L/s ต้านเฮด 62 m ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังที่เพลา Pshaft ที่ต้องใช้ ใน kW
Q = 40 L/sH = 62 mη = 72%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 75 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 31 m ท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้
Q = 75 L/sΔz = 31 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8
H = m
3สารละลาย
1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 176.6 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN
คำตอบ
F = 176.6 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: ycp = 5.349 m
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5.25·5 = 257.5 kN
จุดศูนย์กลางความดัน
ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์
Ic = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 5.25 + 2.604/(5.25·5) = 5.349 m
คำตอบ
ycp = 5.349 m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: v = 39.79 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
เบอร์นูลลีถึงจุดหยุดนิ่ง
การไหลหยุดนิ่งที่ปลายท่อ พลังงานจลน์จึงปรากฏเป็นความดันที่เพิ่มขึ้น
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·950/1.2) = 39.79 m/s
คำตอบ
v = 39.79 m/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: pC = 32.63 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ความเร็วในสายยาง
ผิวน้ำและทางออกเปิดสู่อากาศทั้งคู่ พจน์ความดันจึงหักล้างกัน
v = √(2g·4.5) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s
เบอร์นูลลีจากผิวน้ำถึง C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(9.396²/2 + 9.81·2.5)/1000 = 101.3 − 68.67 = 32.63 kPa
คำตอบ
pC = 32.63 kPa
ถ้าความดันนี้ลดลงถึงความดันไอของน้ำ ไซฟอนจะหยุดทำงาน
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: Δp = 14.52 kPa
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
การสูญเสียเฮด
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(100/0.3)·2.2²/(2·9.81) = 1.48 m
ความดันตก
ท่ออยู่ในแนวนอนและความเร็วไม่เปลี่ยน สมการพลังงานจึงเหลือ Δp = ρ·g·hf
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·1.48 = 14520 Pa = 14.52 kPa
คำตอบ
Δp = 14.52 kPa
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: Δz = 9.947 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็ว
V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s
V²/(2g) = 0.4759 m
สัมประสิทธิ์การสูญเสีย
f·L/D = 0.015·300/0.25 = 18
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9
การสูญเสียเฮดรวม
hf = 18·0.4759 = 8.567 m
hm = 2.9·0.4759 = 1.38 m
Δz = hf + hm = 9.947 m
คำตอบ
Δz = 9.947 m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pshaft = 33.79 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·62 = 24.33 kW
กำลังที่เพลา
Pshaft = Ph/η = 24.33/0.72 = 33.79 kW
คำตอบ
Pshaft = 33.79 kW
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: H = 36.52 m
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ความเร็ว
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
การสูญเสียเฮด
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11 + 8)·0.2905 = 5.519 m
เฮดของปั๊ม
ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป
H = Δz + hL = 31 + 5.519 = 36.52 m
คำตอบ
H = 36.52 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics