การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

เพลาขนานสองเพลาห่างกัน 225 mm ต้องต่อกันด้วยเฟืองตรงคู่หนึ่งที่มีโมดูล 2.5 mm และอัตราทดความเร็ว 5 : 1 เฟืองใหญ่ต้องมีกี่ฟัน N₂

a = 225 mmm = 2.5 mmi = 5

N₂ =

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 150 mm กับพูลเลย์ 400 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 800 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา

d₁ = 150 mmd₂ = 400 mmC = 800 mm

θ = °

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันอะลูมิเนียมถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 100 N·md = 20 mmL = 1.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลาตันต้องส่งกำลัง 50 kW ที่ 300 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 80 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 150 MPa, σᵧ = −30 MPa และ τₓᵧ = 10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θ_p จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°

σ_x = 150 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 20 MPa, σᵧ = 120 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 50° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x

σ_x = 20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งอะลูมิเนียม ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 20 kNd = 16 mmL = 0.5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 160 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 110 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 80 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด P_max

แท่ง: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaท่อ: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ต้องรับ 50 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 50 kNn = 3L = 1.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 80 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 8 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.5 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 80 kgk = 8 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริง k₃ = 40 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 30 kN/m และ k₂ = 5 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 25 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N₂ = 150

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

จำนวนฟันทั้งหมด

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·225/2.5 = 180

แบ่งตามอัตราส่วน

N₁ = 180/(1 + 5) = 30

N₂ = 5·30 = 150

คำตอบ

N₂ = 150

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: θ = 162 °

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมของสายพาน

asin(0.1563) = 8.989°

มุมโอบ

θ = 180 − 2·8.989 = 162°

คำตอบ

θ = 162°

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 21.04 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(26000·15708) = 0.3673 rad

φ = 0.3673·180/π = 21.04°

คำตอบ

φ = 21.04°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 46.62 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·80)) = 46.62 mm

คำตอบ

d = 46.62 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θ_p = 3.17 °

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

มุมบนวงกลม

จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ

2θ_p = atan2(2·10, 150 − −30) = 6.34°

มุมบนชิ้นส่วน

θ_p = 3.17°

คำตอบ

θ_p = 3.17°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_θ = 137.8 MPa

สมการการแปลง

σ_θ = 70 + −50·−0.1736 + 60·0.9848 = 137.8 MPa

คำตอบ

σ_θ = 137.8 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 1421 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201.1 = 99.47 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 99.47/70000 = 0.001421 = 1421 µε

คำตอบ

ε = 1421 µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P_max = 347.9 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·3063 = 4.783 × 10⁸ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.0008, 0.0007273) = 0.0007273 (บรอนซ์)

โหลดสูงสุด

P_max = 0.0007273·4.783 × 10⁸ = 347860 N = 347.9 kN

คำตอบ

P_max = 347.9 kN

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 13.43 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2800² = 13428 N = 13.43 kN

คำตอบ

P_cr = 13.43 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 61.1 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 61.1 mm

คำตอบ

d = 61.1 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 196.4 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 1.378 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(8000/80) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1.592 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.5²) = 1.378 Hz

คำตอบ

f_d = 1.378 Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 4.349 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 30 + 5 = 35 kN/m

k_eq = 35·40/(35 + 40) = 18.67 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(18667/25) = 27.33 rad/s

f_n = 27.33/(2π) = 4.349 Hz

คำตอบ

f_n = 4.349 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design