เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
มอเตอร์ 1.5 kW หมุนที่ 1500 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 15 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 50 ฟัน ไม่คิดการสูญเสีย หาแรงบิด T1 บนเพลาของมอเตอร์
P = 1.5 kWn1 = 1500 rpmN1 = 15N2 = 50η = 100%
T1 = N·m
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 16 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 30 ฟัน เฟืองวงแหวนถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 1200 rpm จงหาความเร็ว nc ของโครงพาเฟืองดาวเคราะห์
Ns = 16Np = 30ns = 1200 rpm
nc = rpm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลากลวงต้องรับแรงบิด 1000 N·m เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.75 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 75 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด do
T = 1000 N·mdi/do = 0.75τallow = 75 MPa
do = mm
4.การบิดของเพลายาก
เพลา อะลูมิเนียม ตันส่งกำลัง 20 kW ที่ 1450 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 1° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด
P = 20 kWN = 1450 rpmτallow = 40 MPaθallow = 1°/mG = 26 GPa
d = mm
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งมี σₓ = 140 MPa, σᵧ = 30 MPa และ τₓᵧ = −10 MPa (แรงดึงเป็นบวก) จงหามุม θs ระหว่าง −90° ถึง 90° จากแกน x ถึงเส้นแนวฉากของระนาบที่ความเค้นเฉือนมีค่าบวกสูงสุด +R (เฉือนเป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)
σx = 140 MPaσy = 30 MPaτxy = −10 MPa
θs = °
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
ถังทรงกระบอกผนังบางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 1500 mm ความหนาผนัง 15 mm บรรจุแก๊สที่ความดันเกจ 1.2 MPa ทำจากแผ่นเชื่อมตามรอยเชื่อมเกลียวที่ทำมุม 55° กับแกนของทรงกระบอก จงหาขนาดของความเค้นเฉือน |τn| ที่กระทำตามรอยเชื่อม
D = 1500 mmt = 15 mmp = 1.2 MPaα = 55°
|τn| = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 100 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 100 GPa) ทั้งสองยาว 400 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 150 kN จงหาระยะหด δ
P = 150 kNแท่ง: Ø40 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σmax ในแท่ง
P = 70 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 1 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø16 mm, 0.5 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ต้องรับ 85 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d
P = 85 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)
d = mm
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
มวล 15 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 20 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 50 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ
m = 15 kgk = 20 kN/mc = 50 N·s/m
ζ =
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 40 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 40 kN/m และ k₂ = 10 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ หาค่าความแข็งสมมูล keq ของระบบสปริงใน kN/m
m = 40 kgk1 = 40 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: T1 = 9.549 N·m
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
แรงบิดของมอเตอร์
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/157.1 = 9.549 N·m
คำตอบ
T1 = 9.549 N·m
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: nc = 208.7 rpm
ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว
จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน
Nr = Ns + 2·Np = 16 + 2·30 = 76
สมการวิลลิสเมื่อยึดเฟืองวงแหวน
ตั้ง nr = 0 แล้วแก้หาความเร็วของโครงพา
(1200 − nc)/(0 − nc) = −76/16
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1200·16/92 = 208.7 rpm
คำตอบ
nc = 208.7 rpm
โครงพาหมุนในทิศทางเดียวกับเฟืองดวงอาทิตย์
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: do = 46.31 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·75·0.6836)) = 46.31 mm
di = 0.75·46.31 = 34.73 mm
คำตอบ
do = 46.31 mm
เพลาตันต้องมี d = 40.8 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: d = 41.47 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งแรง
T = 131.7 N·m = 131714 N·mm
dτ = ∛(16·131714/(π·40)) = 25.6 mm
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งเกร็ง
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·131714/(π·26000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 41.47 mm
เส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็นตัวกำหนด
ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด
d = max(25.6, 41.47) = 41.47 mm
คำตอบ
d = 41.47 mm
ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: θs = −50.15 °
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลม
บนวงกลมของมอร์ จุดบนสุด (+R) ห่าง 90° จากจุดหลัก σ₁ ส่วนบนชิ้นส่วนย่อยคือ 45°
cos 2θs = −10/55.9 = −0.1789, sin 2θs = −55/55.9 = −0.9839
2θs = atan2(−55, −10) = −100.3°
มุมบนชิ้นส่วน
θs = −50.15°
ตรวจสอบ: θs − θp = −50.15 − (−5.152) = −45°
คำตอบ
θs = −50.15°
มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: |τn| = 14.1 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ทรงกระบอกผนังบาง: ความเค้นตามเส้นรอบวง σh = pr/t และความเค้นตามแนวแกน σa = pr/(2t) ทั้งสองคือความเค้นหลักในผนัง
ความเค้นในผนัง
r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 1.2·750/15 = 60 MPa
σa = pr/(2t) = 30 MPa
แปลงไปยังรอยเชื่อม
ให้ x ตามแนวแกน (σa) และ y รอบเส้นรอบวง (σh) เส้นแนวฉากของรอยเชื่อมทำมุม 90° − α กับแกน
|τn| = (60 − 30)·sin 55°·cos 55° = 14.1 MPa
คำตอบ
|τn| = 14.1 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 0.0714 mm
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
พื้นที่
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
ความแข็งตามแนวแกนรวม
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5890 = 8.404 × 10⁸ N
ระยะหด
δ = 150000·400/8.404 × 10⁸ = 0.0714 mm
คำตอบ
δ = 0.0714 mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: σmax = 348.2 MPa
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 99.03 MPa
σ2 = 348.2 MPa
ความเค้นสูงสุด
ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า
σmax = 348.2 MPa
คำตอบ
σmax = 348.2 MPa
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 38.55 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2000² = 38553 N = 38.55 kN
คำตอบ
Pcr = 38.55 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: d = 122.6 mm
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ
Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 122.6 mm
คำตอบ
d = 122.6 mm
ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 195.8 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: ζ = 0.04564
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
การหน่วงวิกฤต
cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·15) = 1095 N·s/m
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = c/cc = 50/1095 = 0.04564
คำตอบ
ζ = 0.04564
ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: keq = 50 kN/m
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k1 + k2
keq = 40 + 10 = 50 kN/m
คำตอบ
keq = 50 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design