เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 100 mm ที่ 2880 rpm แรงตึงคือ 1200 N ที่ด้านตึงและ 300 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW
d1 = 100 mmn1 = 2880 rpmT1 = 1200 NT2 = 300 N
P = kW
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 15 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 20 ฟัน โครงพาเฟืองดาวเคราะห์ถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 900 rpm จงหาความเร็ว nr ของเฟืองวงแหวน (ขนาด)
Ns = 15Np = 20ns = 900 rpm
nr = rpm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา
T = 400 N·md = 50 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
เพลาตันต้องส่งกำลัง 100 kW ที่ 3000 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 80 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้
P = 100 kWN = 3000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −30 MPa, σᵧ = 100 MPa และ τₓᵧ = −60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τmax
σx = −30 MPaσy = 100 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 60 MPa และ τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 350 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์เทรสกา (ความเค้นเฉือนสูงสุด)
σx = 30 MPaσy = 60 MPaτxy = 40 MPaσY = 350 MPa
n =
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
แท่งหนึ่งประกอบด้วยท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm, ยาว 500 mm, E = 200 GPa) ต่อปลายชนปลายกับท่อนที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 300 mm, E = 120 GPa) ยึดปลายหนึ่งและดึงอีกปลาย จงหาโหลดตามแนวแกน P ที่ทำให้มันยืดทั้งหมด 0.25 mm
ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองแดง, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σmax ในแท่ง
P = 35 kNช่วงที่ 1: Ø40 mm, 1 m, ทองแดง (E = 117 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 1 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 20 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
L = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 60 mm
σcr = MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
มวล 8 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 5 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.4 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง fd ของการสั่นอิสระใน Hz
m = 8 kgk = 5 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 20 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 60 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 15 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz
m = 20 kgk1 = 60 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: P = 13.57 kW
ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = eμθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง
ความเร็วสายพาน
v = 15.08 m/s
กำลัง
P = (1200 − 300)·15.08 = 13572 W = 13.57 kW
คำตอบ
P = 13.57 kW
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: nr = 245.5 rpm
ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว
จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน
Nr = Ns + 2·Np = 15 + 2·20 = 55
สมการวิลลิสเมื่อยึดโครงพา
เมื่อ nc = 0 เฟืองดวงอาทิตย์ขับเฟืองวงแหวนผ่านเฟืองดาวเคราะห์ ซึ่งทำหน้าที่เป็นเฟืองกลาง
nr = −ns·Ns/Nr = −900·15/55 = −245.5 rpm
|nr| = 245.5 rpm
คำตอบ
nr = 245.5 rpm
เฟืองวงแหวนหมุนสวนทางกับเฟืองดวงอาทิตย์
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: φ = 0.7662 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
มุมบิด
φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(39000·613592) = 0.01337 rad
φ = 0.01337·180/π = 0.7662°
คำตอบ
φ = 0.7662°
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: d = 27.26 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 100000/314.2 = 318.3 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·80)) = 27.26 mm
คำตอบ
d = 27.26 mm
ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: τmax = 88.46 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
รัศมีของวงกลมมอร์
τmax = R = √(((−30 − 100)/2)² + −60²) = 88.46 MPa
คำตอบ
τmax = 88.46 MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: n = 3.99
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σY ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σY/2
ความเค้นหลัก
C = 45 MPa, R = 42.72 MPa
σ1 = 87.72 MPa, σ2 = 2.28 MPa, σ3 = 0
เทรสกา
σmax − σmin = 87.72 MPa
n = 350/87.72 = 3.99
คำตอบ
n = 3.99
n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: P = 25.13 kN
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
พื้นที่
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²
ความอ่อนตัว
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
โหลด
P = 0.25/9.947 × 10⁻⁶ = 25133 N = 25.13 kN
คำตอบ
P = 25.13 kN
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: σmax = 309.5 MPa
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 27.85 MPa
σ2 = 309.5 MPa
ความเค้นสูงสุด
ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า
σmax = 309.5 MPa
คำตอบ
σmax = 309.5 MPa
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 3.876 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 1·2000 = 2000 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2000² = 3876 N = 3.876 kN
คำตอบ
Pcr = 3.876 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: σcr = 6.218 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
รัศมีไจเรชันและความเพรียว
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/15 = 333.3
ความเค้นวิกฤต
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333.3² = 6.218 MPa
คำตอบ
σcr = 6.218 MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fd = 3.647 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง
ωn = √(5000/8) = 25 rad/s
fn = 25/(2π) = 3.979 Hz
ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.979·√(1 − 0.4²) = 3.647 Hz
คำตอบ
fd = 3.647 Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fn = 3.898 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k1 + 1/k2
1/keq = 1/60 + 1/15 → keq = 60·15/(60 + 15) = 12 kN/m
ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(12000/20) = 24.49 rad/s
fn = 24.49/(2π) = 3.898 Hz
คำตอบ
fn = 3.898 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design