การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 11 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 45 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 60 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 96% หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 11 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 45N₂ = 60η = 96%

T₁ = N·m

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 24 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 20 ฟัน เฟืองวงแหวนถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 1440 rpm จงหาความเร็ว n_c ของโครงพาเฟืองดาวเคราะห์

N_s = 24N_p = 20n_s = 1440 rpm

n_c = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลา ทองเหลือง ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm และยาว 1 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm และยาว 2.5 m แรงบิด 200 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหามุมบิด φ_C ของปลาย C ในหน่วยองศา

T = 200 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 1 md₂ = 25 mm, L₂ = 2.5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลาตันต้องส่งกำลัง 5 kW ที่ 1800 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 5 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 70 MPa, σᵧ = 90 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τ_max

σ_x = 70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −40 MPa, σᵧ = 10 MPa และ τₓᵧ = −60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 30° ตามเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = −40 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งอะลูมิเนียม ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 55 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 500 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm, ยาว 200 mm, E = 110 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 80 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ₂ ในท่อนที่ 2

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: บรอนซ์, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 1 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 40 mm ตามด้วยยอด 15.4 mm หนึ่งรอบถัดมา หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 40 mmx₁ = 15.4 mmn = 1

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 40 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 30 kN/m และ k₂ = 15 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 109.4 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/100.5 = 109.4 N·m

คำตอบ

T₁ = 109.4 N·m

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_c = 392.7 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·20 = 64

สมการวิลลิสเมื่อยึดเฟืองวงแหวน

ตั้ง n_r = 0 แล้วแก้หาความเร็วของโครงพา

(1440 − n_c)/(0 − n_c) = −64/24

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1440·24/88 = 392.7 rpm

คำตอบ

n_c = 392.7 rpm

โครงพาหมุนในทิศทางเดียวกับเฟืองดวงอาทิตย์

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ_C = 22.85 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

มุมบิดของแต่ละท่อน

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 200000·1000/(39000·79522) = 0.06449 rad

φ_BC = 200000·2500/(39000·38350) = 0.3343 rad

มุมบิดรวม

φ_C = 0.06449 + 0.3343 = 0.3988 rad = 22.85°

คำตอบ

φ_C = 22.85°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 15 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 5000/188.5 = 26.53 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·26526/(π·40)) = 15 mm

คำตอบ

d = 15 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 60.83 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

รัศมีของวงกลมมอร์

τ_max = R = √(((70 − 90)/2)² + 60²) = 60.83 MPa

คำตอบ

τ_max = 60.83 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_θ = −51.65 MPa

สมการการแปลง

τ_θ = −−25·−0.866 + −60·0.5 = −51.65 MPa

คำตอบ

τ_θ = −51.65 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 3908 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 55·1000/201.1 = 273.5 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 273.5/70000 = 0.003908 = 3908 µε

คำตอบ

ε = 3908 µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ₂ = 27.8 MPa

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

ความแข็ง

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1.08 × 10⁶ N/mm

ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2

F₂ = 80000·1.08 × 10⁶/1.583 × 10⁶ = 54591 N

ความเค้น

σ₂ = 54591/1963 = 27.8 MPa (แรงอัด)

คำตอบ

σ₂ = 27.8 MPa

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 35.09 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1500² = 35092 N = 35.09 kN

คำตอบ

P_cr = 35.09 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 17.27 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

คำตอบ

σ_cr = 17.27 MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1502

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/1)·ln(40/15.4) = 0.9545

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9545/√(39.48 + 0.9111) = 0.1502

คำตอบ

ζ = 0.1502

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 5.338 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 30 + 15 = 45 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(45000/40) = 33.54 rad/s

f_n = 33.54/(2π) = 5.338 Hz

คำตอบ

f_n = 5.338 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design