การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

เพลาขนานสองเพลาห่างกัน 240 mm ต้องต่อกันด้วยเฟืองตรงคู่หนึ่งที่มีโมดูล 4 mm และอัตราทดความเร็ว 4 : 1 เฟืองใหญ่ต้องมีกี่ฟัน N₂

a = 240 mmm = 4 mmi = 4

N₂ =

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ขับ 80 mm ที่ 2880 rpm กับพูลเลย์ 200 mm ศูนย์กลางห่างกัน 1200 mm สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานคือ 0.35 และแรงตึงด้านตึงต้องไม่เกิน 1200 N จงหากำลังสูงสุด P ที่สายพานส่งได้โดยไม่ลื่น ในหน่วย kW (ไม่คิดผลของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์)

d₁ = 80 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 200 mmC = 1200 mmμ = 0.35T₁ = 1200 N

P = kW

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันเหล็กกล้าถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 250 N·md = 25 mmL = 2.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา อะลูมิเนียม ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm ยึดที่ A แรงบิด 200 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 1.5 m และแรงบิด 1500 N·m ในทิศทางตรงข้ามกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 1 m จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

d = 30 mmT_B = 200 N·mT_C = 1500 N·mAB = 1.5 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 30 MPa, σᵧ = 120 MPa และ τₓᵧ = −20 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θ_p จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°

σ_x = 30 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −70 MPa, σᵧ = −20 MPa และ τₓᵧ = −40 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 30° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = −70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งหนึ่งประกอบด้วยท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 300 mm, E = 200 GPa) ต่อปลายชนปลายกับท่อนที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 400 mm, E = 100 GPa) ยึดปลายหนึ่งและดึงอีกปลาย จงหาโหลดตามแนวแกน P ที่ทำให้มันยืดทั้งหมด 0.2 mm

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองเหลือง, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm, ยาว 500 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 300 mm, E = 120 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 30 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ₂ ในท่อนที่ 2

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองแดง, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 40 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 55 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 55 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 40 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 200 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 850 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 40 kgk = 200 kN/mc = 850 N·s/m

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 80 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 5 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N₂ = 96

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

จำนวนฟันทั้งหมด

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·240/4 = 120

แบ่งตามอัตราส่วน

N₁ = 120/(1 + 4) = 24

N₂ = 4·24 = 96

คำตอบ

N₂ = 96

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 9.484 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมโอบ

θ = 3.042 rad

แรงตึงด้านหย่อน

e^μθ = e^1.065 = 2.9, T₂ = 1200/2.9 = 413.9 N

กำลัง

P = (1200 − 413.9)·12.06 = 9.484 kW

คำตอบ

P = 9.484 kW

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 11.67 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(80000·38350) = 0.2037 rad

φ = 0.2037·180/π = 11.67°

คำตอบ

φ = 11.67°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 282.9 MPa

แรงบิดภายใน

ให้ทิศของ T_C เป็นบวก

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 200 = 1300 N·m

ความเค้นเฉือนสูงสุด

ท่อนที่มีแรงบิดภายในมากที่สุดมีความเค้นมากที่สุด (เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน)

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1.5 × 10⁶/(π·30³) = 282.9 MPa

คำตอบ

τ_max = 282.9 MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θ_p = −78.02 °

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

มุมบนวงกลม

จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ

2θ_p = atan2(2·−20, 30 − 120) = −156°

มุมบนชิ้นส่วน

θ_p = −78.02°

คำตอบ

θ_p = −78.02°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_θ = 1.651 MPa

สมการการแปลง

τ_θ = −−25·0.866 + −40·0.5 = 1.651 MPa

คำตอบ

τ_θ = 1.651 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P = 45.7 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

ความอ่อนตัว

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1257) = 3.183 × 10⁻⁶ mm/N

โหลด

P = 0.2/4.377 × 10⁻⁶ = 45696 N = 45.7 kN

คำตอบ

P = 45.7 kN

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ₂ = 29.38 MPa

ความแข็ง

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 120000·706.9/300 = 282743 N/mm

ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2

F₂ = 30000·282743/408407 = 20769 N

ความเค้น

σ₂ = 20769/706.9 = 29.38 MPa (แรงอัด)

คำตอบ

σ₂ = 29.38 MPa

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 158.8 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1250² = 158752 N = 158.8 kN

คำตอบ

P_cr = 158.8 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 66.42 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 66.42 mm

คำตอบ

d = 66.42 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 120.4 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1503

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·40) = 5657 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 850/5657 = 0.1503

คำตอบ

ζ = 0.1503

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 4.706 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/80 + 1/5 → k_eq = 80·5/(80 + 5) = 4.706 kN/m

คำตอบ

k_eq = 4.706 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design