กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน
I = Ic + A·d²
หน้าตัดประกอบ
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

วิธีการ

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
Ø 16 mmทองเหลือง2.5 mP = 15 kN

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งทองเหลือง ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 15 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
Ø 35 mmอะลูมิเนียม0.5 mØ 12 mmทองแดง2 mP = 65 kN

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σmax ในแท่ง

P = 65 kNช่วงที่ 1: Ø35 mm, 0.5 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 2 m, ทองแดง (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.การบิดของเพลาปานกลาง
d1​ = 40 mmd2​ = 20 mmT = 200 N·mABC0.8 m1 m

เพลา ทองเหลือง ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm และยาว 0.8 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm และยาว 1 m แรงบิด 200 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหามุมบิด φC ของปลาย C ในหน่วยองศา

T = 200 N·md1 = 40 mm, L1 = 0.8 md2 = 20 mm, L2 = 1 mG = 39 GPa
φC = °
4.การบิดของเพลายาก
Td = ?

เพลาตันต้องส่งกำลัง 20 kW ที่ 1500 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 60 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 20 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
w = 2 kN/mABหน้าตัด4.5 m0.5 m

หาโมเมนต์ดัด Mx ที่หน้าตัด x = 4.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 5 mw = 2 kN/m จาก 0 ถึง 5 mx = 4.5 m
Mx = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
20 kN25 kN10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

20 kN @ 0 m25 kN @ 6 m10 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
100 mm200 mm120 mmØ40xIx​ = ?

แผ่น 100 mm × 200 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 120 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
170300148xM = 100 kN·mขนาดเป็น mm

หน้าตัดรูปตัว I สมมาตรมีปีกกว้าง 170 mm หนา 14 mm ความลึกรวม 300 mm และเอวหนา 8 mm รับโมเมนต์ดัด 100 kN·m รอบแกน x จงหาขนาดของความเค้นดัด σj ที่รอยต่อระหว่างเอวกับปีกบน

B = 170 mmH = 300 mmtf = 14 mmtw = 8 mmM = 100 kN·m
σj = MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
σx​ = −70σy​ = 30τxy​ = 60MPa

จุดหนึ่งมี σₓ = −70 MPa, σᵧ = 30 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (แรงดึงเป็นบวก) ชิ้นส่วนย่อยถูกหมุน 45° ตามเข็มนาฬิกา จงหาความเค้นตั้งฉาก σy′ บนหน้าของชิ้นส่วนย่อยที่หมุนแล้วซึ่งตั้งฉากกับแกน y′ ที่หมุนแล้ว

σx = −70 MPaσy = 30 MPaτxy = 60 MPaθ = -45°
σy′ = MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
σx​ = 150σy​ = −70τxy​ = −20MPa

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 150 MPa, σᵧ = −70 MPa และ τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 355 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์เทรสกา (ความเค้นเฉือนสูงสุด)

σx = 150 MPaσy = −70 MPaτxy = −20 MPaσY = 355 MPa
n =
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
P = 22 kNABδ1 m2 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 1 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δP ใต้แรงกระทำ

P = 22 kNa = 1 mL = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
w = 20 kN/mP = 30 kNδL = 2 m

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w และแรงจุด P ที่กึ่งกลางช่วง ใช้การซ้อนทับหาระยะแอ่น δmax ที่กึ่งกลางช่วง

P = 30 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 6 md = 50 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 50 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
P = 85 kNL = 1.5 md = ?หน้าตัด

เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 85 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 85 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)
d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 746 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 15·1000/201.1 = 74.6 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองเหลือง = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 74.6/100000 = 0.000746 = 746 µε

คำตอบ

ε = 746 µε
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σmax = 574.7 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 67.56 MPa
σ2 = 574.7 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σmax = 574.7 MPa

คำตอบ

σmax = 574.7 MPa
3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φC = 19.64 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว

J1 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

มุมบิดของแต่ละท่อน

T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 200000·800/(39000·251327) = 0.01632 rad
φBC = 200000·1000/(39000·15708) = 0.3265 rad

มุมบิดรวม

φC = 0.01632 + 0.3265 = 0.3428 rad = 19.64°

คำตอบ

φC = 19.64°
4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 22.11 mm

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 20000/157.1 = 127.3 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·60)) = 22.11 mm

คำตอบ

d = 22.11 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mx = 2.25 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN กระทำที่ x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·5·2.5
RB = 25/5 = 5 kN
ΣFy = 0: RA = 10 − 5 = 5 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 5RB​ = 5หน้าตัด4.5 m0.5 m

ตัดที่ x = 4.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = RA·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)
Mx = 5·4.5 − 2·4.5·2.25 = 2.25 kN·m

คำตอบ

Mx = 2.25 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: F (x = 5 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R1 = 21.25 kN, R2 = 33.75 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

MA = 0, MB = −20, MC = −18.75, MD = −17.5, ME = −16.25, MF = −25 kN·m, MG = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย F: MF = −25 kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 66 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (20000·100 − 1257·120)/(20000 − 1257) = 98.66 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

100·200³/12 + 20000·1.341² = 66.7 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·40⁴/64 + 1257·21.34² = 0.698 × 10⁶ mm⁴

ลบ

Ix = 66 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 66 × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σj = 122.7 MPa

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านนอกลบช่องว่างด้านข้างสองช่อง

ช่องว่างทั้งสองรวมกันกว้าง (B − tw) และสูง hw = H − 2tf และใช้แกน x ร่วมกัน

hw = 300 − 2·14 = 272 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (170·300³ − 162·272³)/12
Ix = 1.108 × 10⁸ mm⁴

ความเค้นดัด

y = 150 − 14 = 136 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁸·136/1.108 × 10⁸ = 122.7 MPa

คำตอบ

σj = 122.7 MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σy′ = 40 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

สมการการแปลงสำหรับหน้า y′

σy′ = −20 − (−50)·0 − 60·(−1) = 40 MPa

ตรวจสอบ

ผลรวมของความเค้นตั้งฉากไม่เปลี่ยนเมื่อหมุน

σx′ = −80 MPa, σx′ + σy′ = −40 = σx + σy

คำตอบ

σy′ = 40 MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 1.588

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σY ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σY/2

στxyCσ1​σ2​

ความเค้นหลัก

C = 40 MPa, R = 111.8 MPa
σ1 = 151.8 MPa, σ2 = −71.8 MPa, σ3 = 0

เทรสกา

σmax − σmin = 223.6 MPa
n = 355/223.6 = 1.588

คำตอบ

n = 1.588

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δP = 5.752 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 22000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

การโก่งตัวใต้แรงกระทำ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 22000·1000²·2000²/(3·1.7 × 10¹²·3000) = 5.752 mm

คำตอบ

δP = 5.752 mm
12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δmax = 1.091 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 30000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

δP = PL³/(48EI) = 30000·2000³/(48·8.4 × 10¹²) = 0.5952 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 0.496 mm

บวกเข้าด้วยกัน

δmax = 0.5952 + 0.496 = 1.091 mm

คำตอบ

δmax = 1.091 mm
13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 34.33 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4200² = 34331 N = 34.33 kN

คำตอบ

Pcr = 34.33 kN
14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 61.28 mm

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 61.28 mm

คำตอบ

d = 61.28 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 97.92 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials