กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 70 GPa) ทั้งสองยาว 300 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 80 kN จงหาระยะหด δ

P = 80 kNแท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 500 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 500 mm, E = 70 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 80 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ₂ ในท่อนที่ 2

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: อะลูมิเนียม, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลากลวง ทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก 50 mm ภายใน 25 mm ยาว 1.5 m) ถูกยึดที่ปลายหนึ่งและถูกบิดด้วยแรงบิด 100 N·m ที่อีกปลาย จงหามุมบิด φ ในหน่วยองศา

T = 100 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 1.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงต้องส่งกำลัง 50 kW ที่ 1000 rpm เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.7 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 50 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด d_o

P = 50 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0.7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาแรงเฉือน V_x ที่หน้าตัด x = 2 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 6 mw = 6 kN/m จาก 0 ถึง 6 mx = 2 m

V_x = kN

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 1.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 6 mP = 55 kN ที่ 1.5 mw = 12 kN/m จาก 0 ถึง 6 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หน้าตัดรูปตัว I สมมาตรมีปีกกว้าง 180 mm หนา 16 mm ความลึกรวม 500 mm และเอวหนา 8 mm จงหาโมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่น S_x สำหรับการดัดรอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน x

B = 180 mmH = 500 mmt_f = 16 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

แผ่น 200 mm × 240 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 40 mm สูง 20 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 156 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 200 mmh = 240 mmช่องตัด: 40 × 20 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = −30 MPa, σᵧ = 110 MPa และ τₓᵧ = −20 MPa (แรงดึงเป็นบวก) ชิ้นส่วนย่อยถูกหมุน 15° ทวนเข็มนาฬิกา จงหาความเค้นตั้งฉาก σ_y′ บนหน้าของชิ้นส่วนย่อยที่หมุนแล้วซึ่งตั้งฉากกับแกน y′ ที่หมุนแล้ว

σ_x = −30 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −10 MPa, σᵧ = 30 MPa และ τₓᵧ = −30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 20° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x

σ_x = −10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_req ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 50 mm

P_cr = kN

14.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.0952 mm

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·2199 = 2.521 × 10⁸ N

ระยะหด

δ = 80000·300/2.521 × 10⁸ = 0.0952 mm

คำตอบ

δ = 0.0952 mm

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ₂ = 29.34 MPa

ความแข็ง

k₁ = 200000·706.9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 70000·706.9/500 = 98960 N/mm

ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2

F₂ = 80000·98960/381704 = 20741 N

ความเค้น

σ₂ = 20741/706.9 = 29.34 MPa (แรงอัด)

คำตอบ

σ₂ = 29.34 MPa

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 0.3831 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

มุมบิด

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·1500/(39000·575243) = 0.006686 rad

φ = 0.006686·180/π = 0.3831°

คำตอบ

φ = 0.3831°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d_o = 40 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้

T = 477.5 N·m = 477465 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·50·0.7599)) = 40 mm

d_i = 0.7·40 = 28 mm

คำตอบ

d_o = 40 mm

เพลาตันต้องมี d = 36.5 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: V_x = 6 kN

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN กระทำที่ x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

ตัดที่ x = 2 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

V = R_A − (น้ำหนักบรรทุกลงทั้งหมดทางซ้ายของรอยตัด)

V_x = 18 − 6·2 = 6 kN

คำตอบ

V_x = 6 kN

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 102.4 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN กระทำที่ x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·1.5 + 12·6·3

R_B = 298.5/6 = 49.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 127 − 49.75 = 77.25 kN

ตัดที่ x = 1.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 77.25·1.5 − 12·1.5·0.75 = 102.4 kN·m

คำตอบ

M_x = 102.4 kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: S_x = 1623 × 10³ mm³

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = I_c + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านนอกลบช่องว่างด้านข้างสองช่อง

ช่องว่างทั้งสองรวมกันกว้าง (B − t_w) และสูง h_w = H − 2t_f และใช้แกน x ร่วมกัน

h_w = 500 − 2·16 = 468 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·500³ − 172·468³)/12

I_x = 4.058 × 10⁸ mm⁴

มอดูลัสหน้าตัด

c = H/2 = 250 mm

S_x = I/c = 4.058 × 10⁸/250

S_x = 1.623 × 10⁶ mm³ = 1623 × 10³ mm³

คำตอบ

S_x = 1623 × 10³ mm³

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 229.3 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (48000·120 − 800·156)/(48000 − 800) = 119.4 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

200·240³/12 + 48000·0.6102² = 230.4 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

40·20³/12 + 800·36.61² = 1.099 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 229.3 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 229.3 × 10⁶ mm⁴

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_y′ = 110.6 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

สมการการแปลงสำหรับหน้า y′

σ_y′ = 40 − (−70)·0.866 − (−20)·0.5 = 110.6 MPa

ตรวจสอบ

ผลรวมของความเค้นตั้งฉากไม่เปลี่ยนเมื่อหมุน

σ_x′ = −30.62 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 80 = σ_x + σ_y

คำตอบ

σ_y′ = 110.6 MPa

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_θ = −24.6 MPa

สมการการแปลง

σ_θ = 10 + −20·0.766 + −30·0.6428 = −24.6 MPa

คำตอบ

σ_θ = −24.6 MPa

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 19.38 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่น

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 19.38 mm

คำตอบ

δ_max = 19.38 mm

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: I_req = 27.12 × 10⁶ mm⁴

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·3000⁴/(384·70000·8.333) = 2.712 × 10⁷ mm⁴

I_req = 27.12 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_req = 27.12 × 10⁶ mm⁴

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 77.24 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2800² = 77244 N = 77.24 kN

คำตอบ

P_cr = 77.24 kN

14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 31.58 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31.58 MPa

คำตอบ

σ_cr = 31.58 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials