กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งทองแดง ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 35 kNd = 10 mmL = 1.5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 150 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 70 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 100 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด P_max

แท่ง: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaท่อ: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลากลวง อะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก 80 mm ภายใน 48 mm ยาว 1 m) ถูกยึดที่ปลายหนึ่งและถูกบิดด้วยแรงบิด 1500 N·m ที่อีกปลาย จงหามุมบิด φ ในหน่วยองศา

T = 1500 N·md_o = 80 mmd_i = 48 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา อะลูมิเนียม ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm ยึดที่ A แรงบิด 1500 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 1 m และแรงบิด 200 N·m ในทิศทางตรงข้ามกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 0.5 m จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

d = 50 mmT_B = 1500 N·mT_C = 200 N·mAB = 1 mBC = 0.5 m

τ_max = MPa

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

45 kN @ 4 m6 kN/m, 1–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน และแรงกระทำเป็นจุด P จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด M_max ในคาน

L = 10 mP = 40 kN ที่ 4 mw = 8 kN/m จาก 0 ถึง 10 m

M_max = kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หน้าตัดรางรูปตัว U วางโดยด้านเปิดหงายขึ้น: แผ่นฐานกว้าง 180 mm มีขาตั้งตรงสองขา สูงรวม 170 mm ฐานและขาทั้งหมดหนา 16 mm จงหาความสูง ȳ ของเซนทรอยด์เหนือขอบล่าง

b = 180 mmh = 170 mmt = 16 mm

ȳ = mm

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

คานเหล็กหล่อมีหน้าตัดรูปตัว T ตามที่แสดง โดยปีกอยู่ด้านบน ความเค้นที่ยอมให้คือ 30 MPa สำหรับแรงดึง และ 150 MPa สำหรับแรงอัด จงหาโมเมนต์ดัดแอ่นลงมากที่สุด M_allow ที่คานรับได้

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 50 MPa, σᵧ = −10 MPa และ τₓᵧ = 50 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τ_max

σ_x = 50 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 40 MPa, σᵧ = 70 MPa และ τₓᵧ = 10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 60° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x

σ_x = 40 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

w = 20 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.การแอ่นตัวของคานยาก

คานยื่นที่มีค้ำยันถูกยึดแน่นที่ A และรองรับอย่างง่าย (ค้ำยัน) ที่ B รับแรงกระทำเป็นจุด P ที่กึ่งกลางช่วงคาน EI คงที่ จงหาขนาดของโมเมนต์ดัด M_A ที่ปลายยึดแน่น

L = 4 mP = 70 kN ที่ 2 m

M_A = kN·m

13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 145 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 145 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 3809 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 35·1000/78.54 = 445.6 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองแดง = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 445.6/117000 = 0.003809 = 3809 µε

คำตอบ

ε = 3809 µε

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P_max = 303.9 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4.053 × 10⁸ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.00075, 0.001429) = 0.00075 (เหล็กกล้า)

โหลดสูงสุด

P_max = 0.00075·4.053 × 10⁸ = 303949 N = 303.9 kN

คำตอบ

P_max = 303.9 kN

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 0.9444 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3.5 × 10⁶ mm⁴

มุมบิด

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1.5 × 10⁶·1000/(26000·3.5 × 10⁶) = 0.01648 rad

φ = 0.01648·180/π = 0.9444°

คำตอบ

φ = 0.9444°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 52.97 MPa

แรงบิดภายใน

ให้ทิศของ T_C เป็นบวก

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 1500 = −1300 N·m

ความเค้นเฉือนสูงสุด

ท่อนที่มีแรงบิดภายในมากที่สุดมีความเค้นมากที่สุด (เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน)

|T|_max = 1300 N·m

τ_max = 16·1.3 × 10⁶/(π·50³) = 52.97 MPa

คำตอบ

τ_max = 52.97 MPa

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: E (x = 4 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 27.5 kN, R₂ = 47.5 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 27.5, M_C = 52, M_D = 70.5, M_E = 83 kN·m, M_F = 44.5, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย E: M_E = 83 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_max = 192 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN กระทำที่ x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·4 + 8·10·5

R_B = 560/10 = 56 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 56 = 64 kN

V = 0 ที่ใด

V(4⁻) = R_A − w·4 = 32 kN

V(4⁺) = 32 − 40 = −8 kN

แรงเฉือนเปลี่ยนเครื่องหมายที่แรงกระทำ ดังนั้นค่าสูงสุดอยู่ใต้แรงกระทำ

โมเมนต์สูงสุด

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 64·4 − 8·4²/2 = 192 kN·m

คำตอบ

M_max = 192 kN·m

เกิดที่ x = 4 m จาก A

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: ȳ = 61.65 mm

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ให้ถือว่าฐานเต็มความกว้างและขาสองขาอยู่เหนือฐาน (สูง h − t) เพื่อไม่ให้นับซ้ำ

เบส: A₁ = 180·16 = 2880 mm², y₁ = 8 mm

ขาสองขา: A₂ = 2·16·154 = 4928 mm², y₂ = 16 + 154/2 = 93 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (2880·8 + 4928·93)/7808 = 61.65 mm

คำตอบ

ȳ = 61.65 mm

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: M_allow = 3.066 kN·m

เซนทรอยด์

ȳ = (2700·187.5 + 1800·90)/4500 = 148.5 mm

ขอบบน: c = 195 − 148.5 = 46.5 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

I = 180·15³/12 + 2700·39² + 10·180³/12 + 1800·58.5² = 1.518 × 10⁷ mm⁴

โมเมนต์ที่แต่ละขอบยอมให้

แอ่นลง: ด้านบนรับแรงอัด ด้านล่างรับแรงดึง

ขอบบน: M = 150·1.518 × 10⁷/46.5 = 48.96 kN·m

ขอบล่าง: M = 30·1.518 × 10⁷/148.5 = 3.066 kN·m

ค่าที่เป็นตัวกำหนด

M_allow = min = 3.066 kN·m (ขอบล่าง)

คำตอบ

M_allow = 3.066 kN·m

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 58.31 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

รัศมีของวงกลมมอร์

τ_max = R = √(((50 − −10)/2)² + 50²) = 58.31 MPa

คำตอบ

τ_max = 58.31 MPa

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_θ = 71.16 MPa

สมการการแปลง

σ_θ = 55 + −15·−0.5 + 10·0.866 = 71.16 MPa

คำตอบ

σ_θ = 71.16 MPa

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 1.211 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่น

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 1.211 mm

คำตอบ

δ_max = 1.211 mm

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: M_A = 52.5 kN·m

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) สำหรับคานอินดีเทอร์มิเนตเชิงสถิตยศาสตร์ ให้ถอดจุดรองรับส่วนเกินออกแล้วกำหนดให้การโก่งตัวตรงนั้นเป็นศูนย์ (ความสอดคล้อง)

ถอดค้ำยันออก

เมื่อไม่มีค้ำยัน คานจะเป็นคานยื่น ปลายอิสระจะโก่งตัวภายใต้แรงกระทำ

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

ความสอดคล้องของการโก่งตัวที่ค้ำยัน

แรงจากค้ำยัน R_B เพียงอย่างเดียวยกปลายอิสระขึ้น R_BL³/(3EI) ค้ำยันทำให้ B มีการโก่งตัวเป็นศูนย์ ดังนั้นทั้งสองค่าต้องหักล้างกัน EI หักล้างกันไป

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·70/16 = 21.88 kN

โมเมนต์ที่ปลายยึดแน่น

โมเมนต์รอบ A ของแรงกระทำและแรงจากค้ำยัน

M_A = P·L/2 − R_B·L = 140 − 87.5 = 52.5 kN·m

คำตอบ

M_A = 52.5 kN·m

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 13.43 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2800² = 13428 N = 13.43 kN

คำตอบ

P_cr = 13.43 kN

14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 72.04 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 72.04 mm

คำตอบ

d = 72.04 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 166.6 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials