ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
- แรงเฉือนและโมเมนต์
- V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
- ความเค้นดัด
- σ = M·y/I
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- มอดูลัสหน้าตัด
- W = I/ymax
- รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- Mmax = wL²/8
วิธีการ
- หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
- ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
- แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
- สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์
เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
- เซนทรอยด์
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- ทฤษฎีบทแกนขนาน
- I = Ic + A·d²
- หน้าตัดประกอบ
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
การแอ่นตัวของคาน
- แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
- δ = PL³/(48EI)
- น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- คานยื่น แรงที่ปลาย
- δ = PL³/(3EI)
- คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- δ = wL⁴/(8EI)
- การซ้อนทับ
- δ = δ1 + δ2
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2โจทย์ฝึก
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความยืด δ ของแท่งอะลูมิเนียมภายใต้แรงตามแนวแกน
P = 90 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σmax ในแท่ง
P = 30 kNช่วงที่ 1: Ø35 mm, 0.5 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 1.5 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา
T = 200 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
เพลา ทองเหลือง ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm ยึดที่ A แรงบิด 750 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 2.5 m และแรงบิด 500 N·m ในทิศทางเดียวกันกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 0.5 m จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา
d = 30 mmTB = 750 N·mTC = 500 N·mAB = 2.5 mBC = 0.5 m
τmax = MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
หาแรงเฉือน Vx ที่หน้าตัด x = 2.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก
L = 4 mw = 10 kN/m จาก 0 ถึง 4 mx = 2.5 m
Vx = kN
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 2.5 m ถึงปลายอิสระ C แรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w กระทำตลอดความยาว A–C จงหาโมเมนต์ดัดแอ่นลงสูงสุด Mmax ระหว่างจุดรองรับ
L = 7.5 mw = 10 kN/m จาก 0 ถึง 7.5 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 5 m
Mmax = kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
แผ่น 100 mm × 200 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 70 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์
b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
แผ่น 120 mm × 240 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 80 mm สูง 30 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 168 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์
b = 120 mmh = 240 mmช่องตัด: 80 × 30 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งมี σₓ = 140 MPa, σᵧ = 80 MPa และ τₓᵧ = −10 MPa (แรงดึงเป็นบวก) จงหามุม θs ระหว่าง −90° ถึง 90° จากแกน x ถึงเส้นแนวฉากของระนาบที่ความเค้นเฉือนมีค่าบวกสูงสุด +R (เฉือนเป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)
σx = 140 MPaσy = 80 MPaτxy = −10 MPa
θs = °
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 0 MPa และ τₓᵧ = −40 MPa (σz = 0) จงหาความเค้นสมมูลฟอน มิเซส σvM
σx = 120 MPaσy = 0 MPaτxy = −40 MPa
σvM = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δmax ที่กึ่งกลางช่วง
w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ b = 2 m จากจุดรองรับ B จงหาการโก่งตัวสูงสุด δmax ของคาน
P = 3 kNb = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ต้องรับ 120 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d
P = 120 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm
3สารละลาย
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 9.592 mm
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 90·1000/201.1 = 447.6 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 447.6/70000 = 0.006395 = 6395 µε
ความยืด
δ = ε·L = 0.006395·1500 mm = 9.592 mm
คำตอบ
δ = 9.592 mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: σmax = 95.49 MPa
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 31.18 MPa
σ2 = 95.49 MPa
ความเค้นสูงสุด
ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า
σmax = 95.49 MPa
คำตอบ
σmax = 95.49 MPa
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: φ = 3.831 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
มุมบิด
φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(39000·38350) = 0.06686 rad
φ = 0.06686·180/π = 3.831°
คำตอบ
φ = 3.831°
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: τmax = 235.8 MPa
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิดภายใน
ให้ทิศของ TC เป็นบวก
TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC + TB = 500 + 750 = 1250 N·m
ความเค้นเฉือนสูงสุด
ท่อนที่มีแรงบิดภายในมากที่สุดมีความเค้นมากที่สุด (เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน)
|T|max = 1250 N·m
τmax = 16·1.25 × 10⁶/(π·30³) = 235.8 MPa
คำตอบ
τmax = 235.8 MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Vx = −5 kN
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งตัว
แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN กระทำที่ x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·4·2
RB = 80/4 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
ตัดที่ x = 2.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้
มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น
V = RA − (น้ำหนักบรรทุกลงทั้งหมดทางซ้ายของรอยตัด)
Vx = 20 − 10·2.5 = −5 kN
คำตอบ
Vx = −5 kN
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mmax = 17.58 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งหมด รวมถึงแรงกระทำบนส่วนยื่น
แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 10·7.5 = 75 kN กระทำที่ x̄ = 3.75 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·7.5·3.75
RB = 281.3/5 = 56.25 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 56.25 = 18.75 kN
แรงเฉือนเป็นศูนย์
RA − w·x0 = 0 → x0 = 18.75/10 = 1.875 m
โมเมนต์แอ่นลงสูงสุด
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 18.75²/(2·10) = 17.58 kN·m
คำตอบ
Mmax = 17.58 kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: Ix = 63.07 × 10⁶ mm⁴
หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64
เซนทรอยด์
ȳ = (20000·100 − 2827·70)/(20000 − 2827) = 104.9 mm
แผ่นเต็มรอบ ȳ
100·200³/12 + 20000·−4.939² = 67.15 × 10⁶ mm⁴
รูรอบ ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−34.94² = 4.088 × 10⁶ mm⁴
ลบ
Ix = 63.07 × 10⁶ mm⁴
คำตอบ
Ix = 63.07 × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: Ix = 132 × 10⁶ mm⁴
หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64
เซนทรอยด์
ȳ = (28800·120 − 2400·168)/(28800 − 2400) = 115.6 mm
แผ่นเต็มรอบ ȳ
120·240³/12 + 28800·4.364² = 138.8 × 10⁶ mm⁴
รูรอบ ȳ
80·30³/12 + 2400·52.36² = 6.761 × 10⁶ mm⁴
ลบ
Ix = 132 × 10⁶ mm⁴
คำตอบ
Ix = 132 × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: θs = −54.22 °
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลม
บนวงกลมของมอร์ จุดบนสุด (+R) ห่าง 90° จากจุดหลัก σ₁ ส่วนบนชิ้นส่วนย่อยคือ 45°
cos 2θs = −10/31.62 = −0.3162, sin 2θs = −30/31.62 = −0.9487
2θs = atan2(−30, −10) = −108.4°
มุมบนชิ้นส่วน
θs = −54.22°
ตรวจสอบ: θs − θp = −54.22 − (−9.217) = −45°
คำตอบ
θs = −54.22°
มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σvM = 138.6 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σY ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σY/2
ความเค้นหลัก
C = 60 MPa, R = 72.11 MPa
σ1 = 132.1 MPa, σ2 = −12.11 MPa, σ3 = 0
ฟอน มิเซส
σvM = √(132.1² − 132.1·(−12.11) + (−12.11)²) = 138.6 MPa
คำตอบ
σvM = 138.6 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: δmax = 1.941 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
ระยะแอ่น
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 1.941 mm
คำตอบ
δmax = 1.941 mm
12.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: δmax = 18.71 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
P = 3000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
ตำแหน่งของค่าสูงสุด
ตั้งมุมลาดเอียงในช่วงที่ยาวกว่าเท่ากับศูนย์ จะได้ตำแหน่ง
x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm
ระยะแอ่นสูงสุด
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 18.71 mm
คำตอบ
δmax = 18.71 mm
13.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 467.9 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1500² = 467892 N = 467.9 kN
คำตอบ
Pcr = 467.9 kN
14.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: d = 46.94 mm
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ
Pcr = n·P = 2·120000 = 240000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 46.94 mm
คำตอบ
d = 46.94 mm
ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 119.3 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials