กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน
I = Ic + A·d²
หน้าตัดประกอบ
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

วิธีการ

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
Ø 25 mmอะลูมิเนียม2.5 mP = 90 kN

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งอะลูมิเนียม ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 90 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
50 kN12300 mm200 mmØ30Ø50σ2​ = ?

ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 300 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm, ยาว 200 mm, E = 110 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 50 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ2 ในท่อนที่ 2

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: บรอนซ์, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.การบิดของเพลาปานกลาง
do​ = ?T = 100 N·m

เพลากลวงต้องรับแรงบิด 100 N·m เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.5 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด do

T = 100 N·mdi/do = 0.5τallow = 40 MPa
do = mm
4.การบิดของเพลายาก
Td = ?

เพลาตันต้องส่งกำลัง 20 kW ที่ 1000 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 80 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
10 kN/m35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

35 kN @ 4 m10 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
12 kN/m45 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

45 kN @ 6 m45 kN @ 1 m12 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
100 mm240 mm156 mmØ30xIx​ = ?

แผ่น 100 mm × 240 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 156 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
260201408xM = 10 kN·mขนาดเป็น mm

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 10 kN·m หาความเค้นดัด σล่าง ที่ขอบล่าง

bf = 260 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 140 mmM = 10 kN·m
σล่าง = MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
σx​ = 70σy​ = −20τxy​ = 30MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 70 MPa, σᵧ = −20 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τmax

σx = 70 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
σx​τxy​ผิวของเพลา

เพลาตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm รับ แรงอัดตามแนวแกน 110 kN ร่วมกับแรงบิด 2000 N·m ที่ผิวของเพลา จงหาความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุด σ1

d = 50 mmF = −110 kNT = 2000 N·m
σ1 = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
P = 29 kNABδ2 m1 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 2 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δP ใต้แรงกระทำ

P = 29 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
w = 15 kN/mP = 4 kNδL = 5 m

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w และแรงจุด P ที่กึ่งกลางช่วง ใช้การซ้อนทับหาระยะแอ่น δmax ที่กึ่งกลางช่วง

P = 4 kNw = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 3 m30 × 40 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
PL = 2.5 md = 30 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์

L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm
σcr = MPa

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 2619 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 90·1000/490.9 = 183.3 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 183.3/70000 = 0.002619 = 2619 µε

คำตอบ

ε = 2619 µε
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ2 = 17.73 MPa

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

ความแข็ง

k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 110000·1963/200 = 1.08 × 10⁶ N/mm

ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2

F2 = 50000·1.08 × 10⁶/1.551 × 10⁶ = 34810 N

ความเค้น

σ2 = 34810/1963 = 17.73 MPa (แรงอัด)

คำตอบ

σ2 = 17.73 MPa
3.การบิดของเพลา

คำตอบ: do = 23.86 mm

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้

T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·40·0.9375)) = 23.86 mm
di = 0.5·23.86 = 11.93 mm

คำตอบ

do = 23.86 mm

เพลาตันต้องมี d = 23.35 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 22.99 mm

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·80)) = 22.99 mm

คำตอบ

d = 22.99 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: E (x = 4 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R1 = 41.67 kN, R2 = 53.33 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

MA = 0, MB = 36.67, MC = 63.33, MD = 80, ME = 86.67 kN·m, MF = 48.33, MG = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย E: ME = 86.67 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: B (x = 1 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R1 = 57 kN, R2 = 93 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

MA = 0, MB = 51 kN·m, MC = 45, MD = 27, ME = −3, MF = −45, MG = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย B: MB = 51 kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 114.2 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (24000·120 − 706.9·156)/(24000 − 706.9) = 118.9 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

100·240³/12 + 24000·1.092² = 115.2 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·37.09² = 1.012 × 10⁶ mm⁴

ลบ

Ix = 114.2 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 114.2 × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σล่าง = 171.9 MPa

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: Af = 260·20 = 5200 mm², yf = 140 + 20/2 = 150 mm
เอว: Aw = 8·140 = 1120 mm², yw = 140/2 = 70 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5200·150 + 1120·70)/6320 = 135.8 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 260·20³/12 + 5200·(150 − 135.8)² = 1.218 × 10⁶ mm⁴
เอว: 8·140³/12 + 1120·(70 − 135.8)² = 6.682 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.218 × 10⁶ + 6.682 × 10⁶ = 7.9 × 10⁶ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ

y = 135.8 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·135.8/7.9 × 10⁶ = 171.9 MPa

คำตอบ

σล่าง = 171.9 MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τmax = 54.08 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

στxyCτmax​

รัศมีของวงกลมมอร์

τmax = R = √(((70 − −20)/2)² + 30²) = 54.08 MPa

คำตอบ

τmax = 54.08 MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ1 = 58.16 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

ความเค้นที่ผิว

σ = F/A = −110000/(π·50²/4) = −110000/1963 = −56.02 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81.49 MPa
στxyCσ1​σ2​

วงกลมของมอร์

C = σ/2 = −28.01 MPa
R = √((−28.01)² + 81.49²) = 86.17 MPa
σ1 = C + R = 58.16 MPa
σ2 = C − R = −114.2 MPa

คำตอบ

σ1 = 58.16 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δP = 21.66 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 29000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

การโก่งตัวใต้แรงกระทำ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 29000·2000²·1000²/(3·5.95 × 10¹¹·3000) = 21.66 mm

คำตอบ

δP = 21.66 mm
12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δmax = 28.8 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 4000 N, w = 15 N/mm, L = 5000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

δP = PL³/(48EI) = 4000·5000³/(48·4.6 × 10¹²) = 2.264 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 26.54 mm

บวกเข้าด้วยกัน

δmax = 2.264 + 26.54 = 28.8 mm

คำตอบ

δmax = 28.8 mm
13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 78.96 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1500² = 78957 N = 78.96 kN

คำตอบ

Pcr = 78.96 kN
14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σcr = 4.441 MPa

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/7.5 = 666.7

ความเค้นวิกฤต

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666.7² = 4.441 MPa

คำตอบ

σcr = 4.441 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials