กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความยืด δ ของแท่งทองเหลืองภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 80 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 160 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 120 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 70 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 80 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด P_max

แท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaท่อ: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลา เหล็กกล้า ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 75 mm และยาว 2 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm และยาว 1.2 m แรงบิด 1000 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหามุมบิด φ_C ของปลาย C ในหน่วยองศา

T = 1000 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 2 md₂ = 60 mm, L₂ = 1.2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงส่งกำลัง 30 kW ที่ 1800 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

P = 30 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

60 kN @ 2 m15 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 2.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 5 mP = 40 kN ที่ 2.5 mw = 8 kN/m จาก 0 ถึง 5 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หน้าตัดรางรูปตัว U วางโดยด้านเปิดหงายขึ้น: แผ่นฐานกว้าง 260 mm มีขาตั้งตรงสองขา สูงรวม 80 mm ฐานและขาทั้งหมดหนา 18 mm จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x รอบแกนแนวนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 260 mmh = 80 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

แผ่น 150 mm × 150 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 60 mm สูง 50 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 97.5 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 150 mmh = 150 mmช่องตัด: 60 × 50 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = −40 MPa, σᵧ = 10 MPa และ τₓᵧ = −10 MPa (แรงดึงเป็นบวก) จงหามุม θ_s ระหว่าง −90° ถึง 90° จากแกน x ถึงเส้นแนวฉากของระนาบที่ความเค้นเฉือนมีค่าบวกสูงสุด +R (เฉือนเป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = −40 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −40 MPa และ τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 275 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์ฟอน มิเซส (พลังงานการบิดเบี้ยว)

σ_x = 20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานยื่นรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว หาระยะแอ่น δ ที่ปลายอิสระ

w = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_req ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้

w = 8 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 125 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 125 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 7.958 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 80·1000/201.1 = 397.9 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองเหลือง = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 397.9/100000 = 0.003979 = 3979 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.003979·2000 mm = 7.958 mm

คำตอบ

δ = 7.958 mm

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P_max = 553.5 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·8482 = 6.919 × 10⁸ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.0008, 0.001143) = 0.0008 (เหล็กกล้า)

โหลดสูงสุด

P_max = 0.0008·6.919 × 10⁸ = 553549 N = 553.5 kN

คำตอบ

P_max = 553.5 kN

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ_C = 1.137 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว

J₁ = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

มุมบิดของแต่ละท่อน

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·2000/(80000·3.106 × 10⁶) = 0.008048 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·1200/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.01179 rad

มุมบิดรวม

φ_C = 0.008048 + 0.01179 = 0.01984 rad = 1.137°

คำตอบ

φ_C = 1.137°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 4.938 MPa

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 30000/188.5 = 159.2 N·m

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

ความเค้นเฉือนสูงสุด

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·30/966855 = 4.938 MPa

คำตอบ

τ_max = 4.938 MPa

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: B (x = 2 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 55 kN, R₂ = 20 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 110 kN·m, M_C = 100, M_D = 90, M_E = 80, M_F = 40, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย B: M_B = 110 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 75 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN กระทำที่ x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·2.5 + 8·5·2.5

R_B = 200/5 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

ตัดที่ x = 2.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 40·2.5 − 8·2.5·1.25 = 75 kN·m

คำตอบ

M_x = 75 kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 3.259 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ให้ถือว่าฐานเต็มความกว้างและขาสองขาอยู่เหนือฐาน (สูง h − t) เพื่อไม่ให้นับซ้ำ

เบส: A₁ = 260·18 = 4680 mm², y₁ = 9 mm

ขาสองขา: A₂ = 2·18·62 = 2232 mm², y₂ = 18 + 62/2 = 49 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (4680·9 + 2232·49)/6912 = 21.92 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

เบส: 260·18³/12 + 4680·(9 − 21.92)² = 907173 mm⁴

ขาสองขา: 2·18·62³/12 + 2232·(49 − 21.92)² = 2.352 × 10⁶ mm⁴

I_x = 907173 + 2.352 × 10⁶

I_x = 3.259 × 10⁶ mm⁴ = 3.259 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 3.259 × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 39.81 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (22500·75 − 3000·97.5)/(22500 − 3000) = 71.54 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

150·150³/12 + 22500·3.462² = 42.46 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

60·50³/12 + 3000·25.96² = 2.647 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 39.81 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 39.81 × 10⁶ mm⁴

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θ_s = 55.9 °

มุมบนวงกลม

บนวงกลมของมอร์ จุดบนสุด (+R) ห่าง 90° จากจุดหลัก σ₁ ส่วนบนชิ้นส่วนย่อยคือ 45°

cos 2θ_s = −10/26.93 = −0.3714, sin 2θ_s = −(−25)/26.93 = 0.9285

2θ_s = atan2(25, −10) = 111.8°

มุมบนชิ้นส่วน

θ_s = 55.9°

ตรวจสอบ: θ_s − θ_p = 55.9 − (−79.1) = 135°

คำตอบ

θ_s = 55.9°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 3.154

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = −10 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 40 MPa, σ₂ = −60 MPa, σ₃ = 0

ฟอน มิเซส

σ_vM = √(40² − 40·(−60) + (−60)²) = 87.18 MPa

n = 275/87.18 = 3.154

คำตอบ

n = 3.154

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ = 1.786 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

ระยะแอ่น

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 1.786 mm

คำตอบ

δ = 1.786 mm

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: I_req = 11.51 × 10⁶ mm⁴

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·1500⁴/(384·11000·4.167) = 1.151 × 10⁷ mm⁴

I_req = 11.51 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_req = 11.51 × 10⁶ mm⁴

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 7.369 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·2500 = 5000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/5000² = 7369 N = 7.369 kN

คำตอบ

P_cr = 7.369 kN

14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 94.76 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2.5·125000 = 312500 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 94.76 mm

คำตอบ

d = 94.76 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 211.1 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials