ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
- แรงเฉือนและโมเมนต์
- V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
- ความเค้นดัด
- σ = M·y/I
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- มอดูลัสหน้าตัด
- W = I/ymax
- รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- Mmax = wL²/8
วิธีการ
- หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
- ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
- แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
- สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์
เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
- เซนทรอยด์
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- ทฤษฎีบทแกนขนาน
- I = Ic + A·d²
- หน้าตัดประกอบ
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
การแอ่นตัวของคาน
- แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
- δ = PL³/(48EI)
- น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- คานยื่น แรงที่ปลาย
- δ = PL³/(3EI)
- คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- δ = wL⁴/(8EI)
- การซ้อนทับ
- δ = δ1 + δ2
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2โจทย์ฝึก
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 100 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 70 mm, E = 120 GPa) ทั้งสองยาว 600 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 80 kN จงหาระยะหด δ
P = 80 kNแท่ง: Ø20 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ
P = 75 kNช่วงที่ 1: Ø25 mm, 0.5 m, ทองแดง (E = 117 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 1 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)
δ = mm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลากลวงต้องรับแรงบิด 400 N·m เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.7 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 60 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด do
T = 400 N·mdi/do = 0.7τallow = 60 MPa
do = mm
4.การบิดของเพลายาก
เพลา ทองเหลือง ตันส่งกำลัง 50 kW ที่ 1500 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 50 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 0.25° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด
P = 50 kWN = 1500 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.25°/mG = 39 GPa
d = mm
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุดสองแรง จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน
L = 4 mP1 = 10 kN ที่ 1 mP2 = 30 kN ที่ 1.5 m
Mmax = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน และแรงกระทำเป็นจุด P จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน
L = 4 mP = 30 kN ที่ 1.5 mw = 3 kN/m จาก 0 ถึง 4 m
Mmax = kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
หน้าตัดรางรูปตัว U วางโดยด้านเปิดหงายขึ้น: แผ่นฐานกว้าง 180 mm มีขาตั้งตรงสองขา สูงรวม 80 mm ฐานและขาทั้งหมดหนา 20 mm จงหาความสูง ȳ ของเซนทรอยด์เหนือขอบล่าง
b = 180 mmh = 80 mmt = 20 mm
ȳ = mm
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
คานเหล็กหล่อมีหน้าตัดรูปตัว T ตามที่แสดง โดยปีกอยู่ด้านบน ความเค้นที่ยอมให้คือ 30 MPa สำหรับแรงดึง และ 120 MPa สำหรับแรงอัด จงหาโมเมนต์ดัดโค้งคว่ำมากที่สุด Mallow ที่คานรับได้ (ตอบเป็นขนาด)
bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 300 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งมี σₓ = 80 MPa และ σᵧ = 0 MPa ความเค้นเฉือน τxy (ขนาด) เพิ่มได้มากที่สุดเท่าใดก่อนที่ความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุดจะถึง 135 MPa
σx = 80 MPaσy = 0 MPaσ1 = 135 MPa
τxy = MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 20 MPa, σᵧ = 30 MPa และ τₓᵧ = 40 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 30° ตามเข็มนาฬิกาจากแกน x
σx = 20 MPaσy = 30 MPaτxy = 40 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
คานยื่นรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว หาระยะแอ่น δ ที่ปลายอิสระ
w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
คานไม้ช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 125 mm รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคานต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 จงหาความลึกที่น้อยที่สุด hreq ของหน้าตัด
w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)b = 125 mm
hreq = mm
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
L = 1 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm
σcr = MPa
3สารละลาย
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 0.08832 mm
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
พื้นที่
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
ความแข็งตามแนวแกนรวม
ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·4006 = 5.435 × 10⁸ N
ระยะหด
δ = 80000·600/5.435 × 10⁸ = 0.08832 mm
คำตอบ
δ = 0.08832 mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 4.063 mm
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 152.8 MPa
σ2 = 238.7 MPa
รวมความยืดของแต่ละช่วง
δ1 = σ1L1/E1 = 152.8·500/117000 = 0.6529 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 238.7·1000/70000 = 3.41 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.063 mm
คำตอบ
δ = 4.063 mm
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: do = 35.48 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้
T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·60·0.7599)) = 35.48 mm
di = 0.7·35.48 = 24.84 mm
คำตอบ
do = 35.48 mm
เพลาตันต้องมี d = 32.38 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: d = 66.07 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 50000/157.1 = 318.3 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งแรง
T = 318.3 N·m = 318310 N·mm
dτ = ∛(16·318310/(π·50)) = 31.89 mm
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งเกร็ง
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·318310/(π·39000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 66.07 mm
เส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็นตัวกำหนด
ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด
d = max(31.89, 66.07) = 66.07 mm
คำตอบ
d = 66.07 mm
ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mmax = 34.38 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งตัว
ΣMA = 0: RB·4 = 10·1 + 30·1.5
RB = 55/4 = 13.75 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 13.75 = 26.25 kN
โมเมนต์ใต้แต่ละแรง
เก็บส่วนทางซ้ายของแต่ละแรงไว้
ใต้ P1: M = RA·1 = 26.25·1 = 26.25 kN·m
ใต้ P2: M = RB·2.5 = 13.75·2.5 = 34.38 kN·m
ค่าที่มากที่สุด
Mmax = 34.38 kN·m (ใต้ P2)
คำตอบ
Mmax = 34.38 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mmax = 33.75 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งตัว
แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN กระทำที่ x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1.5 + 3·4·2
RB = 69/4 = 17.25 kN
ΣFy = 0: RA = 42 − 17.25 = 24.75 kN
V = 0 ที่ใด
V(1.5⁻) = RA − w·1.5 = 20.25 kN
V(1.5⁺) = 20.25 − 30 = −9.75 kN
แรงเฉือนเปลี่ยนเครื่องหมายที่แรงกระทำ ดังนั้นค่าสูงสุดอยู่ใต้แรงกระทำ
โมเมนต์สูงสุด
Mmax = RA·1.5 − w·1.5²/2 = 24.75·1.5 − 3·1.5²/2 = 33.75 kN·m
คำตอบ
Mmax = 33.75 kN·m
เกิดที่ x = 1.5 m จาก A
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: ȳ = 26 mm
พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I
แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ให้ถือว่าฐานเต็มความกว้างและขาสองขาอยู่เหนือฐาน (สูง h − t) เพื่อไม่ให้นับซ้ำ
เบส: A1 = 180·20 = 3600 mm², y1 = 10 mm
ขาสองขา: A2 = 2·20·60 = 2400 mm², y2 = 20 + 60/2 = 50 mm
เซนทรอยด์
ȳ = (3600·10 + 2400·50)/6000 = 26 mm
คำตอบ
ȳ = 26 mm
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: Mallow = 18.31 kN·m
พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I
เซนทรอยด์
ȳ = (2800·310 + 2400·150)/5200 = 236.2 mm
ขอบบน: c = 320 − 236.2 = 83.85 mm
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
I = 140·20³/12 + 2800·73.85² + 8·300³/12 + 2400·86.15² = 5.118 × 10⁷ mm⁴
โมเมนต์ที่แต่ละขอบยอมให้
โค้งคว่ำ: ด้านบนรับแรงดึง ด้านล่างรับแรงอัด
ขอบบน: M = 30·5.118 × 10⁷/83.85 = 18.31 kN·m
ขอบล่าง: M = 120·5.118 × 10⁷/236.2 = 26 kN·m
ค่าที่เป็นตัวกำหนด
Mallow = min = 18.31 kN·m (ขอบบน)
คำตอบ
Mallow = 18.31 kN·m
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: τxy = 86.17 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
รัศมีที่ต้องการ
C = (80 + 0)/2 = 40 MPa
R = σ1 − C = 135 − 40 = 95 MPa
ความเค้นเฉือน
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 40²) = 86.17 MPa
คำตอบ
τxy = 86.17 MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σθ = −12.14 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
สมการการแปลง
σθ = 25 + −5·0.5 + 40·−0.866 = −12.14 MPa
คำตอบ
σθ = −12.14 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: δ = 30.33 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
w = 10 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
ระยะแอ่น
δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·1.61 × 10¹²) = 30.33 mm
คำตอบ
δ = 30.33 mm
12.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: hreq = 328.2 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
w = 4 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²
เกณฑ์ระยะแอ่น
δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·16.67) = 3.682 × 10⁸ mm⁴
ความลึกที่ต้องการ
bh³/12 = Ireq → h = (12·3.682 × 10⁸/125)1/3 = 328.2 mm
คำตอบ
hreq = 328.2 mm
ในทางปฏิบัติ ให้เลือกความลึกมาตรฐานถัดไปที่สูงกว่าค่านี้
13.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 20.47 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/3000² = 20470 N = 20.47 kN
คำตอบ
Pcr = 20.47 kN
14.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: σcr = 27.76 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
รัศมีไจเรชันและความเพรียว
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7.5 = 266.7
ความเค้นวิกฤต
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266.7² = 27.76 MPa
คำตอบ
σcr = 27.76 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials