กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 100 GPa) ทั้งสองยาว 800 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 100 kN จงหาระยะหด δ

P = 100 kNแท่ง: Ø40 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, ยาว 400 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 400 mm, E = 100 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 60 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ₂ ในท่อนที่ 2

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองเหลือง, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันเหล็กกล้าถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 200 N·md = 25 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลาตันต้องส่งกำลัง 100 kW ที่ 1450 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 75 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 100 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 2 m ถึงปลายอิสระ C คานรับแรงกระทำเป็นจุด P₁ ระหว่างจุดรองรับ และแรงกระทำเป็นจุด P₂ ที่ C จงหาโมเมนต์ดัด M_x ใต้แรง P₁ ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 10 mP₁ = 60 kN ที่ 5 mP₂ = 25 kN ที่ 10 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 8 m

M_x = kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน และแรงกระทำเป็นจุด P จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด M_max ในคาน

L = 5 mP = 35 kN ที่ 2 mw = 12 kN/m จาก 0 ถึง 5 m

M_max = kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 30 kN·m หาความเค้นดัด σ_ล่าง ที่ขอบล่าง

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_ล่าง = MPa

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = 110 MPa, σᵧ = 70 MPa และ τₓᵧ = −60 MPa (แรงดึงเป็นบวก) จงหามุม θ_s ระหว่าง −90° ถึง 90° จากแกน x ถึงเส้นแนวฉากของระนาบที่ความเค้นเฉือนมีค่าบวกสูงสุด +R (เฉือนเป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = 110 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 150 MPa, σᵧ = −50 MPa และ τₓᵧ = 10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 20° ตามเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = 150 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานยื่นรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว หาระยะแอ่น δ ที่ปลายอิสระ

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w และแรงจุด P ที่กึ่งกลางช่วง ใช้การซ้อนทับหาระยะแอ่น δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

P = 27 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 50 mm

P_cr = kN

14.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.1698 mm

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·2199 = 4.712 × 10⁸ N

ระยะหด

δ = 100000·800/4.712 × 10⁸ = 0.1698 mm

คำตอบ

δ = 0.1698 mm

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ₂ = 26.81 MPa

ความแข็ง

k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2

F₂ = 60000·314159/559596 = 33684 N

ความเค้น

σ₂ = 33684/1257 = 26.81 MPa (แรงอัด)

คำตอบ

σ₂ = 26.81 MPa

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 5.603 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·38350) = 0.09778 rad

φ = 0.09778·180/π = 5.603°

คำตอบ

φ = 5.603°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 35.5 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 100000/151.8 = 658.6 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·658572/(π·75)) = 35.5 mm

คำตอบ

d = 35.5 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 81.25 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งหมด แรงที่ส่วนยื่นก็ทำให้เกิดโมเมนต์รอบจุด A ด้วย

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·5 + 25·10

R_B = 550/8 = 68.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 68.75 = 16.25 kN

ตัดใต้ P₁ แล้วเก็บส่วนซ้ายไว้

M_x = R_A·5 = 16.25·5 = 81.25 kN·m

คำตอบ

M_x = 81.25 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_max = 78 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN กระทำที่ x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2 + 12·5·2.5

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 44 = 51 kN

V = 0 ที่ใด

V(2⁻) = R_A − w·2 = 27 kN

V(2⁺) = 27 − 35 = −8 kN

แรงเฉือนเปลี่ยนเครื่องหมายที่แรงกระทำ ดังนั้นค่าสูงสุดอยู่ใต้แรงกระทำ

โมเมนต์สูงสุด

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 51·2 − 12·2²/2 = 78 kN·m

คำตอบ

M_max = 78 kN·m

เกิดที่ x = 2 m จาก A

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 4.382 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

เอว: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·105 + 1800·50)/3800 = 78.95 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 200·10³/12 + 2000·(105 − 78.95)² = 1.374 × 10⁶ mm⁴

เอว: 18·100³/12 + 1800·(50 − 78.95)² = 3.008 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.374 × 10⁶ + 3.008 × 10⁶ = 4.382 × 10⁶ mm⁴ = 4.382 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 4.382 × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_ล่าง = 96.22 MPa

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267.5 mm

เอว: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·267.5 + 4680·130)/6780 = 172.6 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 140·15³/12 + 2100·(267.5 − 172.6)² = 1.896 × 10⁷ mm⁴

เอว: 18·260³/12 + 4680·(130 − 172.6)² = 3.485 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.896 × 10⁷ + 3.485 × 10⁷ = 5.381 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ

y = 172.6 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·172.6/5.381 × 10⁷ = 96.22 MPa

คำตอบ

σ_ล่าง = 96.22 MPa

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θ_s = −80.78 °

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

มุมบนวงกลม

บนวงกลมของมอร์ จุดบนสุด (+R) ห่าง 90° จากจุดหลัก σ₁ ส่วนบนชิ้นส่วนย่อยคือ 45°

cos 2θ_s = −60/63.25 = −0.9487, sin 2θ_s = −20/63.25 = −0.3162

2θ_s = atan2(−20, −60) = −161.6°

มุมบนชิ้นส่วน

θ_s = −80.78°

ตรวจสอบ: θ_s − θ_p = −80.78 − (−35.78) = −45°

คำตอบ

θ_s = −80.78°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_θ = 71.94 MPa

สมการการแปลง

τ_θ = −100·−0.6428 + 10·0.766 = 71.94 MPa

คำตอบ

τ_θ = 71.94 MPa

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ = 42.19 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่น

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·2.4 × 10¹²) = 42.19 mm

คำตอบ

δ = 42.19 mm

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 1.205 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 27000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·2000³/(48·4.6 × 10¹²) = 0.9783 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 0.2264 mm

บวกเข้าด้วยกัน

δ_max = 0.9783 + 0.2264 = 1.205 mm

คำตอบ

δ_max = 1.205 mm

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 96.89 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·2500 = 2500 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96.89 kN

คำตอบ

P_cr = 96.89 kN

14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 12.34 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/7.5 = 400

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

คำตอบ

σ_cr = 12.34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

การบิดของเพลา

วิธีการ

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

วิธีการ

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

วิธีการ

การแอ่นตัวของคาน

การโก่งเดาะของเสา

2โจทย์ฝึก

3สารละลาย

พื้นที่

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ระยะหด

คำตอบ

ความแข็ง

ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2

ความเค้น

คำตอบ

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

มุมบิด

คำตอบ

แรงบิด

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

คำตอบ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

ตัดใต้ P1 แล้วเก็บส่วนซ้ายไว้

คำตอบ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

V = 0 ที่ใด

โมเมนต์สูงสุด

คำตอบ

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

เซนทรอยด์

ทฤษฎีบทแกนขนาน

คำตอบ

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

เซนทรอยด์

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ความเค้นดัด

คำตอบ

มุมบนวงกลม

มุมบนชิ้นส่วน

คำตอบ

สมการการแปลง

คำตอบ

หน่วยที่สอดคล้องกัน

ระยะแอ่น

คำตอบ

หน่วยที่สอดคล้องกัน

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

บวกเข้าด้วยกัน

คำตอบ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

ความยาวประสิทธิผล

น้ำหนักวิกฤต

คำตอบ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

ความเค้นวิกฤต

คำตอบ

ตัดใต้ P₁ แล้วเก็บส่วนซ้ายไว้