กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งเหล็กกล้า ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 55 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 150 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 120 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 100 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 100 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด P_max

แท่ง: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaท่อ: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลา ทองเหลือง ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm และยาว 0.8 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm และยาว 1.5 m แรงบิด 200 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

T = 200 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 0.8 md₂ = 30 mm, L₂ = 1.5 m

τ_max = MPa

4.การบิดของเพลายาก

เพลาตันต้องส่งกำลัง 100 kW ที่ 300 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 100 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 0.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 4 mw = 8 kN/m จาก 0 ถึง 4 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 3 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 8 mP = 35 kN ที่ 3 mw = 5 kN/m จาก 0 ถึง 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 5 kN·m หาความเค้นดัด σ_ล่าง ที่ขอบล่าง

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_ล่าง = MPa

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = 130 MPa, σᵧ = 80 MPa และ τₓᵧ = 20 MPa (แรงดึงเป็นบวก) ชิ้นส่วนย่อยถูกหมุน 60° ทวนเข็มนาฬิกา จงหาความเค้นตั้งฉาก σ_y′ บนหน้าของชิ้นส่วนย่อยที่หมุนแล้วซึ่งตั้งฉากกับแกน y′ ที่หมุนแล้ว

σ_x = 130 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 110 MPa และ τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 355 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์ฟอน มิเซส (พลังงานการบิดเบี้ยว)

σ_x = 20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานยื่นรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว หาระยะแอ่น δ ที่ปลายอิสระ

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w และแรงจุด P ที่กึ่งกลางช่วง ใช้การซ้อนทับหาระยะแอ่น δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

P = 14 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 1.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 20 mm

P_cr = kN

14.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 45 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 45 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)

d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 560.2 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 55·1000/490.9 = 112 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 112/200000 = 0.0005602 = 560.2 µε

คำตอบ

ε = 560.2 µε

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P_max = 807 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·9346 = 1.076 × 10⁹ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.00075, 0.001) = 0.00075 (เหล็กกล้า)

โหลดสูงสุด

P_max = 0.00075·1.076 × 10⁹ = 806997 N = 807 kN

คำตอบ

P_max = 807 kN

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 37.73 MPa

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

ความเค้นในแต่ละท่อน

T = 200 N·m = 200000 N·mm

τ_AB = 16·200000/(π·50³) = 8.149 MPa

τ_BC = 16·200000/(π·30³) = 37.73 MPa

คำตอบ

τ_max = 37.73 MPa

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 74 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 100000/31.42 = 3183 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·3.183 × 10⁶/(π·40)) = 74 mm

คำตอบ

d = 74 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 7 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN กระทำที่ x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

ตัดที่ x = 0.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 16·0.5 − 8·0.5·0.25 = 7 kN·m

คำตอบ

M_x = 7 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 103.1 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN กระทำที่ x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·3 + 5·8·4

R_B = 265/8 = 33.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 33.13 = 41.88 kN

ตัดที่ x = 3 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 41.88·3 − 5·3·1.5 = 103.1 kN·m

คำตอบ

M_x = 103.1 kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 27.03 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

เอว: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·205 + 4000·100)/5800 = 132.6 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 180·10³/12 + 1800·(205 − 132.6)² = 9.454 × 10⁶ mm⁴

เอว: 20·200³/12 + 4000·(100 − 132.6)² = 1.758 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9.454 × 10⁶ + 1.758 × 10⁷ = 2.703 × 10⁷ mm⁴ = 27.03 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 27.03 × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_ล่าง = 62.53 MPa

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

เอว: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·135 + 1680·60)/5880 = 113.6 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 140·30³/12 + 4200·(135 − 113.6)² = 2.244 × 10⁶ mm⁴

เอว: 14·120³/12 + 1680·(60 − 113.6)² = 6.837 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.244 × 10⁶ + 6.837 × 10⁶ = 9.081 × 10⁶ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ

y = 113.6 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·113.6/9.081 × 10⁶ = 62.53 MPa

คำตอบ

σ_ล่าง = 62.53 MPa

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_y′ = 100.2 MPa

สมการการแปลงสำหรับหน้า y′

σ_y′ = 105 − 25·(−0.5) − 20·0.866 = 100.2 MPa

ตรวจสอบ

ผลรวมของความเค้นตั้งฉากไม่เปลี่ยนเมื่อหมุน

σ_x′ = 109.8 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 210 = σ_x + σ_y

คำตอบ

σ_y′ = 100.2 MPa

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 2.661

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = 65 MPa, R = 67.27 MPa

σ₁ = 132.3 MPa, σ₂ = −2.268 MPa, σ₃ = 0

ฟอน มิเซส

σ_vM = √(132.3² − 132.3·(−2.268) + (−2.268)²) = 133.4 MPa

n = 355/133.4 = 2.661

คำตอบ

n = 2.661

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ = 4.36 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

ระยะแอ่น

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 4.36 mm

คำตอบ

δ = 4.36 mm

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 20.78 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 14000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

δ_P = PL³/(48EI) = 14000·4000³/(48·1.7 × 10¹²) = 10.98 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 9.804 mm

บวกเข้าด้วยกัน

δ_max = 10.98 + 9.804 = 20.78 mm

คำตอบ

δ_max = 20.78 mm

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 4.922 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1050² = 4922 N = 4.922 kN

คำตอบ

P_cr = 4.922 kN

14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 40.36 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 40.36 mm

คำตอบ

d = 40.36 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 99.1 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials