กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน
I = Ic + A·d²
หน้าตัดประกอบ
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

วิธีการ

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
P = ?12400 mm400 mmØ40Ø60δ = 0.25 mm

แท่งหนึ่งประกอบด้วยท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 400 mm, E = 200 GPa) ต่อปลายชนปลายกับท่อนที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm, ยาว 400 mm, E = 110 GPa) ยึดปลายหนึ่งและดึงอีกปลาย จงหาโหลดตามแนวแกน P ที่ทำให้มันยืดทั้งหมด 0.25 mm

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: บรอนซ์, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
Ø 40 mmทองเหลือง0.5 mØ 12 mmทองเหลือง2 mP = 30 kN

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 30 kNช่วงที่ 1: Ø40 mm, 0.5 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 2 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)
δ = mm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
T = 200 N·md = 40 mmL = 0.8 mφ = ?

เพลาตันเหล็กกล้าถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 200 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
d = 20 mmTB​ = 250 N·mTC​ = 200 N·mABC0.5 m0.8 m

เพลา อะลูมิเนียม ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm ยึดที่ A แรงบิด 250 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 0.5 m และแรงบิด 200 N·m ในทิศทางตรงข้ามกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 0.8 m จงหาขนาดของมุมบิด φC ของปลาย C ในหน่วยองศา

d = 20 mmTB = 250 N·mTC = 200 N·mAB = 0.5 mBC = 0.8 mG = 26 GPa
φC = °
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
M0​ = 40 kN·mAB2 m3 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับโมเมนต์คู่ควบตามเข็มนาฬิกา M0 = 40 kN·m ที่ x = 2 m จาก A และไม่มีแรงอื่น จงหาโมเมนต์ดัด Mx ที่ตำแหน่งซ้ายของโมเมนต์คู่ควบเล็กน้อย ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 5 mM0 = 40 kN·m ตามเข็มนาฬิกา ที่ 2 m
Mx = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
w = 16 kN/mAB3 m4 m1 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอบนบางส่วนของช่วงคาน จงหาระยะ x0 จาก A ถึงหน้าตัดที่โมเมนต์ดัดมากที่สุด

L = 8 mw = 16 kN/m จาก 3 ถึง 7 m
x0 = m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
1002524020xขนาดเป็น mm

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ix ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
150 mm200 mm120 mm80 × 50xIx​ = ?

แผ่น 150 mm × 200 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 80 mm สูง 50 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 120 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 150 mmh = 200 mmช่องตัด: 80 × 50 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
σx​ = 140σy​ = 100τxy​ = 60MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 140 MPa, σᵧ = 100 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θp จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°

σx = 140 MPaσy = 100 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
σx​ = −80σy​ = −20τxy​ = −20MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa และ τₓᵧ = −20 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 15° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x

σx = −80 MPaσy = −20 MPaτxy = −20 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
w = 4 kN/mδL = 8 m

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δmax ที่กึ่งกลางช่วง

w = 4 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
w = 4 kN/mABδ6 m

คานไม้ช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 100 mm รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคานต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 จงหาความลึกที่น้อยที่สุด hreq ของหน้าตัด

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)b = 100 mm
hreq = mm
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 3 m25 × 50 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
P = 50 kNL = 6 md = ?หน้าตัด

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 50 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 50 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P = 86.88 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

ความอ่อนตัว

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1.592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·2827) = 1.286 × 10⁻⁶ mm/N

โหลด

P = 0.25/2.878 × 10⁻⁶ = 86876 N = 86.88 kN

คำตอบ

P = 86.88 kN
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 5.425 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 23.87 MPa
σ2 = 265.3 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ1 = σ1L1/E1 = 23.87·500/100000 = 0.1194 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 265.3·2000/100000 = 5.305 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.425 mm

คำตอบ

δ = 5.425 mm
3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 0.4559 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(80000·251327) = 0.007958 rad
φ = 0.007958·180/π = 0.4559°

คำตอบ

φ = 0.4559°
4.การบิดของเพลา

คำตอบ: φC = 18.94 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

แรงบิดภายใน

ให้ทิศของ TC เป็นบวก

TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC − TB = 200 − 250 = −50 N·m

มุมบิดของแต่ละท่อน

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = −50000·500/(26000·15708) = −0.06121 rad
φBC = 200000·800/(26000·15708) = 0.3918 rad

มุมบิดของปลาย C

φC = −0.06121 + 0.3918 = 0.3306 rad → |φC| = 18.94°

คำตอบ

φC = 18.94°
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mx = −16 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์คู่ควบที่กระทำทำให้แผนภาพโมเมนต์ดัดกระโดดเท่ากับขนาดของโมเมนต์คู่ควบ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

โมเมนต์รอบ A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก: RB·L − M0 = 0 สมดุลในแนวดิ่ง: RA + RB = 0

RB = M0/L = 40/5 = 8 kN (ขึ้น)
RA = −RB = −8 kN (ลง)

ตัดที่ตำแหน่งซ้ายของโมเมนต์คู่ควบเล็กน้อย

ส่วนซ้ายมีเพียง RA

Mx = RA·a = −8·2 = −16 kN·m

คำตอบ

Mx = −16 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: x0 = 4.5 m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 16·4 = 64 kN กระทำที่ x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 16·4·5
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 40 = 24 kN

แรงเฉือนเป็นศูนย์

แรงเฉือนเริ่มต้นที่ RA คงที่ตลอดส่วนที่ไม่มีแรงกระทำ และลดลงด้วยความชัน w ภายในแรงกระทำ

RA − w·(x0 − 3) = 0
x0 = 3 + 24/16 = 4.5 m

คำตอบ

x0 = 4.5 m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 52.03 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 240 + 25/2 = 252.5 mm
เอว: Aw = 20·240 = 4800 mm², yw = 240/2 = 120 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2500·252.5 + 4800·120)/7300 = 165.4 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 100·25³/12 + 2500·(252.5 − 165.4)² = 1.911 × 10⁷ mm⁴
เอว: 20·240³/12 + 4800·(120 − 165.4)² = 3.292 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.911 × 10⁷ + 3.292 × 10⁷ = 5.203 × 10⁷ mm⁴ = 52.03 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 52.03 × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 97.32 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (30000·100 − 4000·120)/(30000 − 4000) = 96.92 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

150·200³/12 + 30000·3.077² = 100.3 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

80·50³/12 + 4000·23.08² = 2.964 × 10⁶ mm⁴

ลบ

Ix = 97.32 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 97.32 × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θp = 35.78 °

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

στxyCσ1​σ2​

มุมบนวงกลม

จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ

2θp = atan2(2·60, 140 − 100) = 71.57°

มุมบนชิ้นส่วน

θp = 35.78°

คำตอบ

θp = 35.78°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σθ = −85.98 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

สมการการแปลง

σθ = −50 + −30·0.866 + −20·0.5 = −85.98 MPa

คำตอบ

σθ = −85.98 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δmax = 53.47 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 4 N/mm, L = 8000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่น

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 53.47 mm

คำตอบ

δmax = 53.47 mm
12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: hreq = 353.5 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 4 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

เกณฑ์ระยะแอ่น

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·16.67) = 3.682 × 10⁸ mm⁴

ความลึกที่ต้องการ

bh³/12 = Ireq → h = (12·3.682 × 10⁸/100)1/3 = 353.5 mm

คำตอบ

hreq = 353.5 mm

ในทางปฏิบัติ ให้เลือกความลึกมาตรฐานถัดไปที่สูงกว่าค่านี้

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 3.57 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·3000 = 6000 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/6000² = 3570 N = 3.57 kN

คำตอบ

Pcr = 3.57 kN
14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 86.4 mm

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

Pcr = n·P = 3·50000 = 150000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 86.4 mm

คำตอบ

d = 86.4 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 277.8 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials